Ruimtelijke figuren > Aanzichten/uitslagen
123456Aanzichten/uitslagen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Bekijk de Uitleg .

b

Bekijk de Uitleg .

Opgave 1
a

Het bovenaanzicht verandert daardoor niet.

b

Werk in het symmetrisch trapezium `ACGE` .

Trek vanuit `E` een loodlijn op `AC` . Noem het snijpunt `X` . Met de stelling van Pythagoras bereken je: `AC=sqrt(72)` en `EG=sqrt(18)` . Dus `AX=1/2*(sqrt(72)-sqrt(18))=1/2*(6sqrt(2)-3sqrt(2))=1 1/2sqrt(2)=sqrt(2,25)*sqrt(2)=sqrt(4,5)` .

De hoogte is `sqrt(6^2- (sqrt(4,5))^2)=sqrt(31,5 )~~5,6` cm.

c

Voor- en zijaanzicht krijgen nu een hoogte van ongeveer `sqrt(6^2-1,5^2) ~~5,8` cm.

Opgave 2
a
b

Je hebt de hoogte van één van beide trapezia nodig om deze te kunnen tekenen.

Die hoogte wordt nu `sqrt((6^2-1,5^2))=sqrt(33,75 )` cm.

c

Alleen de hoogtes van de vier opstaande zijvlakken worden nu anders, namelijk ongeveer `5,8` .

Opgave 3
a

Het bovenaanzicht is een vierkant `ABCD` met daarop de twee diagonalen die elkaar in `T` snijden. Alle zijden zijn `4` cm.

Het vooraanzicht en het zijaanzicht zijn gelijkbenige driehoeken met een basis van `4` cm en een hoogte van `5,3` cm. Het vooraanzicht is `Delta ABT` , het zijaanzicht `Delta BCT` .

b

Het bovenaanzicht is een vierkant met daarop de twee diagonalen die elkaar in de top snijden. Alle zijden zijn `6` cm.

Het vooraanzicht en het zijaanzicht zijn gelijkbenige driehoeken met een basis van `6` cm en een hoogte van `sqrt(6^2- (3 sqrt(2 )) ^2)=sqrt(18 )≈3sqrt(2)~~4,24` cm.

Opgave 4
a

Alle ribben zijn `4` dm en dus `40` cm. Op schaal `1:10` worden alle ribben dus `4` cm lang.

De hoogte van het dak is `sqrt(4^2-2^2)=sqrt(12)~~3,46` cm.

b

De hoogte van het puntdak heb je bij a al uitgerekend. Deze hoogte gebruik je bij het tekenen van de uitslag. Verder zijn alle ribben (op schaal) `4` cm lang. Het gat in de voorkant heeft een zelfgekozen straal.

Opgave 5

De hoogte van een zijvlak berekenen: `h_(text(zijvlak))=sqrt(6^2-3^2)=sqrt(27 )≈5,2` . Deze hoogte kun je gebruiken om de uitslag te tekenen.

Of:

Je tekent eerst `ABCD` . Dan neem je de lengte van `AB` tussen de passer en cirkel je vanuit de hoekpunten om, zodat je de snijpunten `T` krijgt. Verbind elke `T` met de bijbehorende hoekpunten van `ABCD` .

Opgave 6

Voor de uitslag van de linker figuur bereken je eerst de hoogte van een opstaand zijvlak: `sqrt(6^2-1,5^2)=sqrt(33,75 )` . Voor de aanzichten bereken je de hoogte van de afgeknotte piramide zelf: `sqrt(6^2- (1,5 sqrt(2 )) ^2)=sqrt(31,5 )` .

De drie aanzichten:

Voor de uitslag van de rechter figuur bereken je de zijden van `ΔPQR` . Deze zijn allemaal `sqrt(8)` . De uitslag:

De drie aanzichten:

Opgave 7

Aan de hand van de aanzichten kun je beredeneren dat het grondvlak een rechthoek is met `AB=4` cm en `AD=3` cm. Ook zie je hier dat de top `T` recht boven punt `C` staat. Uit het voor- en zijaanzicht zie je verder dat de hoogte van de piramide `3` cm is. Het wordt dus een piramide `T.ABCD` met grondvlak `ABCD` een rechthoek van `4` bij `3` .
De top `T` zit recht boven punt `C` met `CT=3` .

Opgave 8
a

Je berekent de omtrek van de grondcirkel van de kegel en de omtrek van de cirkel waar de kegelmantel een deel van is. De grootte van dat deel wordt bepaald door de sectorhoek. Deel je de omtrek van de grondcirkel door de omtrek van de cirkel waar de kegelmantel een deel van is, dan weet je welk deel van de `360 ^@` de sectorhoek is. Je vindt ongeveer `114 ^@` .
Voor de uitslag teken je nu de cirkel met straal `AT=sqrt(40 )` .
Daarbinnen meet je een sector met (met het middelpunt als hoekpunt) een hoek van `114 ^@` af.
De grondcirkel van de kegel voeg je nog toe.

b

De grondcirkel is een cirkel met een middelpunt en straal `3` cm.

De omtrek van de grondcirkel is `2*pi*3=6pi` .

De straal van de andere cirkel is `sqrt(3^2+4^2)=5` cm. De omtrek van de andere cirkel is dan ook ` 2*pi*5=10pi` .

De sectorhoek is dan `(6pi)/(10pi)=6/10 * 360^@=216^@` .

c

De cilinder heeft twee grondcirkels met straal `3` cm.

De hoogte van de cilinder is `4` cm en de omtrek van de cilinder is `2*pi*3=6pi~~18,8` cm. De cilindermantel is een rechthoek met lengte `18,8` cm en breedte `4` cm.

Opgave 9
a

Zes gelijkzijdige driehoeken met zijden van `4` cm.

b

Maak een cirkel met straal `4` cm. Zet in het middelpunt naast elkaar zes hoeken van `60 °` uit. De benen van die hoeken snijden de cirkel in zes punten. Als je steeds twee opvolgende punten met elkaar verbindt, krijg je de regelmatige zeshoek.

c

De lengte van `EC` is tweemaal de hoogte van de gelijkzijdige driehoek met zijden van `4` . Deze hoogte is `sqrt(4^2-2^2)=sqrt(12)` . Dus `EC=2sqrt(12)~~6,9` .

d

Van het grondvlak zijn alle ribben `4` eenheden, het gaat dus om de opstaande ribben.
Ribbe `DT=6` en ribben `CT=ET=sqrt(4^2+6^2)=sqrt(52 )` .
Ribben `BT=FT=sqrt( (4 sqrt(3 )) ^2+6^2)=sqrt(84 )` .
Ribbe `AT=sqrt(8^2+6^2)=10` .

e
Opgave 10
a
b
c

Vlak `PBQH` is een ruit met zijden van `sqrt(6^2+3^2)=sqrt(45 )` cm.
Diagonaal `PQ=sqrt(6^2+6^2)=sqrt(72 )` cm.
Met behulp van goniometrie bereken je `∠PHQ=∠PBQ≈78,5 ^@` . De andere twee hoeken zijn `101,5 ^@` .

Opgave 11
a

Het grondvlak van de piramide bestaat uit vijf gelijkbenige driehoeken met een tophoek van `(360^@) /2=72 ^@` en een basis van `4` cm.
De twee benen van deze driehoeken hebben een lengte van `AS=2/ (sin(36^@)) ≈3,4`  cm. Dat is de straal van de cirkel waar de hoekpunten van vijfhoek `ABCDE` op liggen.
De hoogte `TS` van de piramide bereken je bijvoorbeeld met behulp van de stelling van Pythagoras in `ΔAST` . Je vindt: `TS=sqrt(4^2-AS^2)≈2,1`  cm.

Om het vooraanzicht te kunnen tekenen heb je lengte `EC` nodig. Trek in het grondvlak een lijn van `E` naar `C` . Deze snijdt `DS` in punt `P` onder een hoek van `90^@` .

`∠CDP` kun je berekenen: `(180-72)/2=54^@` . Bekijk `ΔCDP` . `CP=4*sin(54^@)` cm. Dus `EC ~~CP*2~~6,5` cm.
Hiermee kun je de aanzichten tekenen, boven- en vooraanzicht is voldoende.

b

Begin met het tekenen van een regelmatige vijfhoek. Je kunt dit doen door een cirkel te tekenen met middelpunt `S` . Er komen vijf gelijkbenige driehoeken in met een tophoek van `72^@` . Zodoende heb je een regelmatige vijfhoek `ABCDE` . Op elke ribbe van `4` cm komt nu een gelijkzijdige driehoek met zijden van `4` cm. Deze teken je met gebruik van de passer.

Opgave 12
a
b

De uitslag bestaat uit een rechthoek van `8` bij `12` , twee gelijkbenige driehoeken en twee gelijkbenige trapezia. De hoogte `h_d` van zo'n driehoek en ` h_t` heb je nodig om de uitslag te tekenen. `h_t=sqrt(5^2+4^2)=sqrt(41)` en `h_d=sqrt(3^2+5^2)=sqrt(34)` .

Opgave 13

De bovenkant is een kegel met hoogte `1` en straal grondcirkel `1,5` m.
De onderkant is een afgeknotte kegel met straal grondcirkel `2` m en straal cirkel bovenkant `1,5` m en hoogte `3` m. Deze afgeknotte kegel is afkomstig van een kegel met een hoogte van `12` m.

Tentmantel

Hoogte kegel is `12` m, dus straal cirkel wordt `sqrt(12^2+2^2)=sqrt(148)` m. `1/4` deel hiervan is het echte tentdoek. De sectorhoek is dan `(2*pi*2)/(2*pi*sqrt(148))*360^@~~59^@` .

Tentdak

Hoogte kegel is `1` m dus de straal cirkel wordt `sqrt(1^2+1,5^2)=sqrt(3,25)` . De sectorhoek is dan `(2*pi*1,5)/(2*pi*sqrt(3,25))*360^@~~300^@` .

Opgave 14

De (stijve) kegelrok heeft de vorm van een afgeknotte kegel.
De grondcirkel heeft een omtrek van `3/4*2 π*119 =178,5 π` . De straal van de grondcirkel is dus `(178,5pi)/(2pi)=89,25` cm.
De bovencirkel heeft een omtrek van `3/4*2 π*19 =28,5 π` . De straal van de bovencirkel is dus `(28,5pi)/(2pi)=14,25` cm.
Hiermee kun je de aanzichten tekenen. Eventueel kun je ook nog de hoogte van de afgeknotte kegel berekenen (ongeveer `66,1` cm), maar nodig is dat niet. Het zijaanzicht is hier afgebeeld.

Opgave 15Antiprisma
Antiprisma

Het bovenvlak en het ondervlak zijn regelmatige achthoeken. Die bestaan uit acht gelijkbenige driehoeken met een tophoek van `45 ^@` en een basis van `5` cm. De twee benen van deze driehoeken hebben een lengte van `(2,5)/ (sin(22,5 ^@)) ≈6,5` cm. Dat is de straal van de cirkel waar de hoekpunten van deze achthoeken op liggen.

De zijkant bestaat uit zestien gelijkzijdige driehoeken met zijden van `5` cm.

Opgave 16
a

Het is alleen nodig om de hoogte van `T.ABCD` te berekenen, die is `sqrt(18 )` cm. De rest kun je construeren met passer en liniaal.

b

`QC=BP=sqrt(27)` en de hoogte van het grootste trapezium is `sqrt(24,74)` .

Opgave 17
verder | terug