Ruimtelijke figuren > Doorsneden
123456Doorsneden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Bekijk de Uitleg .

b

In de richting `PQ` of in de richting `AG` .

c

`APGQ` is een ruit.

d

Bekijk de Uitleg . De hoeken bereken je door goniometrie te gebruiken in één van de vier rechthoekige driehoeken die ontstaat als je beide diagonalen tekent. Ga na, dat je twee hoeken van `78^@` en twee hoeken van `102^@` vindt.

e

De oppervlakte is `1/2*sqrt(50 )*sqrt(75 )≈30,6` cm2.

Opgave 1
a

Omdat ze in hetzelfde vlak liggen, zijn er maar twee opties. Of ze snijden elkaar, of ze zijn evenwijdig aan elkaar.
Ze liggen ook in twee vlakken die evenwijdig aan elkaar zijn. Dit betekent dat ze elkaar niet kunnen snijden. Ze moeten dus wel evenwijdig aan elkaar zijn.

b

`EM=sqrt(37,5)` en `AG=sqrt(75)` .

De zijden van `ΔESG` en `ΔMSA` verhouden zich als `2:1` .

Dus `ES=2/3sqrt(37,5)` en `GS=2/3sqrt(75)` .

`ES^2+GS^2=50=EG^2`

Daarom is `∠S=90^@` .

c

Omdat je er dan loodrecht op kijkt.

d

`PQ` is even lang als diagonaal `DB` . Dus `PQ=sqrt(5^2+5^2)=sqrt(50)` .

`AG` is een schuine zijde in `ΔACG` . `AC=sqrt(50)` , dus `AG=sqrt(50+5^2)=sqrt(75)` .

e

Gebruik dat `AG=sqrt(75)` en `PQ=sqrt(50)` en delen elkaar loodrecht middendoor. Met goniometrie, bijvoorbeeld met `tan(1/2*∠G)=(1/2sqrt(50))/(1/2sqrt(75))` , bereken je `∠A=∠G=78,5^@` en `∠H=∠P=101,5^@` .

Opgave 2
a

De snijlijn door `P` met vlak `BCGF` moet evenwijdig zijn met die met vlak `ADHE` . Dat is het geval als de driehoeken `AHE` en `PRF` gelijkvormig zijn. Daarom moet `FR=2,5` cm en dus het midden van `FG` zijn.

b
c

Vierhoek `APRH` bevat alle snijlijnen van het vlak door `A` , `P` en `H` met de kubus. Alle punten erbinnen horen daarom bij de doorsnede. Alle punten erbuiten niet, want die liggen buiten de kubus.

Opgave 3
a

Omdat `AF // // PQ` is `(BF)/(AB) = (3)/(6) = (QH)/(HP) = (QH)/4` .
Hieruit volgt: `QH=2` en dus `DQ=1` .
`AF=sqrt(6^2+3^2)=sqrt(45 )`
`FP=sqrt(4^2+2^2)=sqrt(20 )`
`PQ=sqrt(4^2+2^2)=sqrt(20 )`
`AQ=sqrt(4^2+1^2)=sqrt(17 )`

b

`AH=sqrt(3^2+4^2)=5` en `HP=4` , dus `AP=sqrt(5^2+4^2)=sqrt(41 )` .

`HF=sqrt(6^2+4^2)=sqrt(52)` en `HQ=2` , dus `FQ=sqrt((sqrt(52)) ^2+2^2)=sqrt(56 )` .

c

Omdat voorvlak en achtervlak van de balk evenwijdige vlakken zijn, zijn ook de snijlijnen met vlak `AFPQ` evenwijdig: `AF` // `PQ` .

d

`AF=sqrt(45)` , `AP=sqrt(41)` en `PF=sqrt(20)` . Teken eerst `ΔAFP` , daarna kun je het trapezium afmaken door te gebruiken dat `PQ////AF` is.

Opgave 4
a

Bereken eerst de lengtes van alle zijden van het trapezium. `PT=3` cm en `QR=1,5` cm, want `Q` en `R` zijn middens. `TR=sqrt(2^2+2^2)=sqrt(8)` . Van vierhoek `PQRT` zijn hoek `PTR` en hoek `TRQ` recht. Nu kun je het trapezium tekenen.

b

`tan(∠TPQ)= (sqrt(8 )) /(1,5)` geeft `∠TPQ≈62^@` en dan is `∠RQP=180^@ - ∠TPQ≈118^@` .
De oppervlakte van het trapezium is `sqrt(8 )*1,5 +0,5 *sqrt(8 )*1,5 =2,25sqrt(8)=4,5 sqrt(2 )` .

Opgave 5
a

Eerst worden de lijnstukken `PQ` en `QR` getekend.
Omdat `QR` in vlak `BCGF` ligt, kan die lijn in dat vlak worden verlengd. In het grondvlak snijdt `QR` het verlengde van `CB` in `K` . In het achtervlak snijdt `QR` het verlengde van `CG` in `L` . De lijn door `K` en `P` is de snijlijn van vlak `PQR` met het grondvlak. De lijn door `L` en evenwijdig aan `PQ` is de snijlijn van vlak `PQR` met het achtervlak. Dit levert de punten `S` , `T` en `U` op de ribben op die ook in vlak `PQR` liggen. De gevraagde doorsnede is `PQRSTU` .

b

Elke gelijkzijdige driehoek in `PQRSTU` heeft zijden van `4 sqrt(2 )` cm.
De hoogte ervan is `2 sqrt(6 )` cm.
De oppervlakte van `PQRSTU` is dus `6 *0 ,5 *4 sqrt(2 )*2 sqrt(6 )=24 sqrt(12 )=48 sqrt(3 )` cm2.

c

Verleng `ES` tot hij het verlengde van `FG` snijdt in `N` .
Trek snijlijn `NQ` . Deze lijn snijdt `CG` in `V` . De gevraagde doorsnede is vierhoek `EQVS` .

Opgave 6
a

Ze liggen beide in vlak `TAC` . `K` ligt op `AC` en `AC` ligt in zijn geheel in het grondvlak `ABCD` .

b

Teken de lijn `KP` . Die lijn ligt in het grondvlak en in vlak `PQR` en snijdt `BC` in `M` en `DC` in `L` . Trek vervolgens de lijn door `L` en `Q` . Die lijn ligt in het achtervlak en snijdt daarom `DT` in `N` . `PMQNR` is de gevraagde doorsnede.

c

Verleng `AC` en teken de lijn door `R` en `Q` . Het snijpunt van deze lijnen is `K` .

Verleng `DC` en teken `KB` . Het snijpunt van deze lijnen is `L` .

Teken `LQ` , deze snijdt `DT` is `N` .

Teken doorsnede `BQNR` .

Opgave 7

Er zijn zeker twee geschikte manieren om dit te doen:

  • Trek een lijn door `R` en evenwijdig met `PQ` . Deze lijn snijdt `DF` in `S` . `PQRS` is de gevraagde doorsnede.

  • Verleng `QR` en `CF` tot ze elkaar snijden in `K` . Trek lijn `KP` . Deze lijn snijdt `DF` in `S` . `PQRS` is de gevraagde doorsnede.

Opgave 8

Verleng `AB` en `QP` tot ze elkaar snijden in `K` .
`KC` is een lijn in vlak `PQC` en snijdt ribbe `AD` in `L` .
De gevraagde doorsnede is vierhoek `PQCL` .

Opgave 9
a

Het makkelijkst gaat dit door een bovenaanzicht te tekenen en daarin de opstaande ribben te halveren.

b

De doorsnede is getekend door de middens van de opstaande ribben. Dus `QR=ST=UV=WP=2` .

Het vierkant `EFGH` heeft diagonalen van `2` . Dus de zijden van het vierkant zijn dan `sqrt(2)` . Dit maakt dat `RS=UT=VW=PQ=1/2sqrt(2)` .

De omtrek is `4 *2 +4 *1/2sqrt(2 )=8 +2 sqrt(2 )` .

Opgave 10
a

Bereken eerst de lengtes van de zijden in `ΔGHD` . `GD=HD=sqrt(3^2+4^2)=5` . Dus `ΔGHD` is gelijkbenig. Er geldt `GH=sqrt(4^2+4^2)=4sqrt(2)` . Met passer en geodriehoek kun je de doorsnede nu op ware grootte tekenen.

b

`cos(∠HGD)= (2 sqrt(2 )) /5` , dus `∠HGD≈55,6 ^@` .
Daarom is `∠GHD≈56 ^@` en `∠HDG≈68,9 ^@` .

c

`DH` en `AC` verlengen geeft snijpunt `K` .
`AB` en `DG` verlengen geeft snijpunt `L` .
De lijn door `K` en `L` is de gevraagde lijn.

Opgave 11

Teken lijnstuk `AP` en een lijn door `Q` evenwijdig met `AP` .

Deze lijn snijdt `DC` in `R` .
Teken `AR` en een lijn door `P` evenwijdig met `AR` . Deze lijn snijdt `FG` in `S` .
`APSQR` is de gevraagde doorsnede.

Opgave 12

Verleng `PQ` en `AC` ; deze snijden in `S1` .

Verleng `PR` en `EA` ; deze snijden in `S2` .

De punten `S_1` en `S_2` liggen beide in grondvlak `ABCDEF` . Teken de lijn door beide punten, deze lijn `l` ligt in de gevraagde doorsnede.

Verleng `AF` ; deze snijdt de grondlijn in `U` .

Teken `PU` ; deze snijdt `FT` in `K` .

Verleng `BC` ; deze snijdt de grondlijn in `V` .

Teken de lijn door `V` en `Q` ; deze snijdt `BT` in `L` .

De grondlijn snijdt `ED` in `M` en `CD` in `N` .

Teken nu de doorsnede `PLQNMRK` .

Opgave 13Kubuswoningen
Kubuswoningen
a

Begin met het tekenen van de lichaamsdiagonaal. Zie verder de figuur bij b.

b

Bekijk de figuur. Begin met het tekenen van het paarse diagonaalvlak. Eén van de diagonalen van dit vlak (blauwe lijn) wordt de verticale as van de kubus. Maak de kubus af.
Nu verdeel je voor de vloeren de verticale diagonaal in vier gelijke delen. Er komen dan drie punten op te liggen die op de juiste vloerhoogte liggen. Trek door die punten lijnen loodrecht op de verticale diagonaal en bepaal hun snijpunten met de zijvlakken of hoekpunten van de kubus. Maak met behulp van evenwijdigheid (onder andere aan de gestippelde zijvlaksdiagonalen) de vloeren af. In GeoGebra ziet dat er zo uit:

Opgave 14
a

`AE=AG` en dus staat `AM` ( `M` is het snijpunt van `GE` en `AF` ) loodrecht op `GE` en dus staat ook `AF` loodrecht op `GE` . Een vierhoek waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan is een vlieger.

b

Bereken eerst `GE=2sqrt(2)` , `AM~~3,8` en `MF~~1,9` .

c

`∠EAG≈41^@`

Opgave 15

Teken `QG` en een lijn door `P` en evenwijdig met `QG` . Deze lijn snijdt `CD` in `R` .
De gevraagde doorsnede is `PRGQ` .

verder | terug