Oppervlakte en inhoud > Inhoud van ruimtelijke figurenAntwoorden van de opgaven
Je vermenigvuldigt de oppervlakte van het grondvlak met de hoogte. De formule wordt dus `πr^2*h` .
De kegel heeft een inhoud die `1/3` deel is van die van de cilinder, dus de inhoud van de kegel is `1/3π r^2h` .
Voor de halve bol is
`h=r`
en de inhoud is
`2`
keer die van de kegel.
De inhoud van de halve bol is
`2/3π r^2*r=2/3π r^3`
.
De inhoud van een bol is
`4/3π r^3`
.
De inhoud van de cilinder is `pi*10^2*20=200 pi` cm3.
De inhoud van de bol is `4/3pi *10^3= (4000 pi) /3` cm3.
De straal van de aarde is
`40000/ (2 pi) ≈6366,2`
km.
De inhoud is daarom ongeveer
`6366,2^3*4/3π ≈1,081 *10^12`
km3.
Je dompelt het onder in een rechthoekige (balkvormige) bak water en meet dan hoe ver het water stijgt. Met de verplaatsing van het water kun je het volume van het ondergedompelde lichaam bepalen.
De inhoud van het afgezaagde stuk is `1/3*1/2*10*10*10` , dus de gevraagde inhoud is `10 *10 *10 -1/3*1/2*10 *10 *10 =833 1/3` cm3.
Je berekent de inhoud met de formule `V=G*h` met `h=6` cm.
`G` is de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde `6` cm: `G=1/2*6*sqrt(6^2-3^2)` . Dus: `V=1/2*6 *sqrt(6^2-3^2)*6 =18 sqrt(27 )` cm3
Je moet het verschil berekenen van de inhoud van de grote cilinder (op basis van de buitendiameter) en de kleine cilinder (op basis van de binnendiameter).
Cilinder buitendiameter: `V=pi*0,9^2*150=121,5 pi` cm3.
Cilinder binnendiameter: `V=pi*0,7^2*150=73,5 pi` cm3.
De gevraagde inhoud is dan: `V=pi *0,9^2*150 -pi *0,7^2*150 =48 pi` cm3.
`55 *100 =5500` cm3.
De inhoud bereken je met: `V=1/3*G*h` .
`G=6*6=36` cm2.
`h=sqrt(6^2-(0,5*sqrt(72))^2)=sqrt(18)` . Bekijk hiertoe een rechthoekige driehoek loodrecht op het grondvlak.
De inhoud is dus `V=1/3*6 *6 *sqrt(18 )=12 sqrt(18 )` cm3.
Je hebt de oppervlakte nodig van het grondvlak. Dit is een gelijkzijdige driehoek met ribben van `6` cm en daarnaast heb je de hoogte van het viervlak nodig. Dan kun je de inhoud berekenen met: `V=1/3*G*h` .
De oppervlakte van de driehoek is: `G=1/2*6*sqrt(6^2-3^2)=3sqrt(27)` cm2.
Hoogte viervlak: `h=sqrt(24)` .
Deze hoogte kun je als volgt berekenen: `sqrt(6^2-(2/3sqrt(27))^2)=sqrt(24)` (Kun je dit verklaren?)
De inhoud is `V=1/3*1/2*6 *sqrt(27 )*sqrt(24)=sqrt(648)` cm3.
`V=1/3*pi *2^2*10 =13 1/3 pi` cm3.
In een willekeurig zijvlak bereken je de opstaande ribben naar de ontbrekende top
via
`r/ (r+6) =2/6`
en dus
`r=3`
.
De hoogte van de complete piramide is dan
`sqrt(9^2- (sqrt(18 )) ^2)=sqrt(63 )`
.
De hoogte van de ontbrekende bovenste piramide is
`sqrt(3^2- (sqrt(2 )) ^2)=sqrt(7 )`
.
De gevraagde inhoud is
`1/3*6 *6 *sqrt(63 )-1/3*2 *2 *sqrt(7 )≈91,72`
cm3.
De inhoud van het massieve lichaam is in het voorbeeld berekend. Op dezelfde manier bereken je de inhoud van de binnenruimte als het lichaam niet massief is.
De stralen die je nodig hebt, zijn dan `10-0,2=9,8` cm en `6-0,2=5,8` cm. Met de verhouding `h/(90+h)=(5,8)/(9,8)` krijg je `h=130,5` . De hoogte van de (afgeknotte) binnenkegel is dus `220,5` cm.
De inhoud van de binnenruimte is dan
`V=1/3pi *9,8^2*220,5 -1/3pi*5,8^2*130,5 +0,5 *4/3π *5,8^3~~17988`
cm3.
Het holle amsterdammertje heeft nu een volume van ongeveer
`18925 -17988=937`
cm3.
De inhoud van de halve kegel is `V_1=1/2*1/3 pi *1,5^2*3 =1,125 pi` m3.
De inhoud van de kwart bol is `V_2=1/4*4/3pi *1,5^3=1,125 pi` m3.
De inhoud van de derde figuur (diabolo) is `V_3=2 *(1/3pi *1,5^2*2,25 -1/3pi *0,5^2*0,75 )=3,25 pi` m3.
Het gaat het gemakkelijkst als je het schilddak in drie stukken verdeelt: een driehoekig prisma op zijn kant en aan weerszijden twee gelijke halve piramides. Beide halve piramides kun je samenvoegen tot één piramide.
De inhoud kun je dan als volgt berekenen:
Inhoud driehoekig prisma: `1/2*8*5*6=120` m3.
De samengevoegde piramide heeft een grondvlak van `8` m bij `3+3=6` m en een hoogte van `5` m. De inhoud van de samengevoegde piramide is dan: `1/3*8*6*5=80` m3.
Het totale volume onder het schilddak is dan `120+80=200` m3.
De inhoud van de figuur bereken je met de formule `V_(text(piramide))=1/3*G*h` . Je hebt dus `G` , de oppervlakte van het grondvlak nodig, en `h` de hoogte van de piramide.
Het grondvlak bestaat uit `5` gelijkbenige driehoeken met een tophoek van 72^@ en een basis van `4` . De hoogte van deze driehoek is dan `2/(tan(36^@))` . De oppervlakte van één zo'n driehoek is dan `1/2*4*2/(tan(36^@))` . En dus geldt: `G=5*1/2*4 *2/ (tan(36^@)) ≈27,53` .
De hoogte van deze regelmatige vijfzijdige piramide is `h=sqrt(4^2- (2/ (sin(36^@) )) ^2))≈2,10` .
De inhoud is daarom ongeveer `V=1/3*27,53 *2,10 ≈19,3` .
De tent bestaat uit een afgeknotte kegel (onderste deel van de tent) en een hele kegel (bovenste deel van de tent).
Bovenste deel: `V_b=1/3pi *1,5^2*1=3/4 pi` m3.
Onderste deel: `V_o=1/3pi *2^2*12 -1/3pi *1,5^2*9=9 1/4 pi` m3.
Totale inhoud: `V = 1/3pi *2^2*12 -1/3pi *1,5^2*9 +1/3pi *1,5^2*1 =10 pi` m3.
Met de stelling van Pythagoras zie je dat `r^2=a^2+(r-h)^2` , wat je kunt omschrijven naar `a^2=2rh-h^2` .
Zo zie je:
| `1/3pih^2(3r-h)` | `=` | `1/6pih^2(6r-2h)` | |
| `` | `=` | `1/6pih(6rh-2h^2)` | |
| `` | `=` | `1/6pih(3(2rh-h^2)+h^2)` | |
| `` | `=` | `1/6pih(3a^2+h^2)` |
`V_c` is de inhoud van de cilinder, `V_b` van de bol, en `V_s` van het bolsegment.
Je weet dat `V_c=pi*3^2*3=27pi` m3 en `V_b=4/3pi*4^3=256/3pi` m3.
Voor het bolsegment moet je dan nog de hoogte `h` berekenen. Met een dwarsdoorsnede zie je al gauw dat `h=r-b` . Hierbij is `b` de afstand tussen het vlak van het bolsegment en het middelpunt van de bol.
`b^2=4^2-3^2=7` , dus `h=4-sqrt(7)` . Zo kom je op:
| `V_s` | `=` | `1/3pi(4-sqrt(7))^2(3*4-4+sqrt(7))` | |
| `` | `=` | `1/3pi(23-8sqrt(7))(8+sqrt(7))` | |
| `` | `=` | `1/3pi(128-41sqrt(7))` |
De inhoud van de bolwoning is dus:
|
`V_(text(bolwoning))` |
`=` |
`V_b+V_c-V_s` |
|
|
`` |
`=` |
`256/3pi+27pi-(128/3pi-41/3sqrt(7)pi)` |
|
|
`` |
`=` |
`209/3pi+41/3sqrt(7)pi` |
De inhoud van de bolwoning is dus exact `(209/3+41/3sqrt(7))pi` m3.
Inhoud linker figuur: `72` cm3.
Inhoud middelste figuur: `72` cm3.
Inhoud rechter figuur: `104` cm3.
De inhoud is ongeveer `1,278` liter.
Ongeveer `905` m3.