Meetkundige berekeningen > Vectoren en inproductUitleg
Je kunt twee vectoren ook met elkaar vermenigvuldigen. Een manier om dit te doen heet het inproduct van twee vectoren. Onder het inproduct van `vec(a)` en `vec(b)` versta je:
`vec(a) * vec(b) = |vec(a)| * |vec(b)| * cos(varphi)`
Hierin zijn `|vec(a)|` en `|vec(b)|` de lengtes van de vectoren `vec(a)` en `vec(b)` en is `varphi` de hoek tussen beide vectoren. Deze afspraak gaat je straks in staat stellen om hoeken te berekenen.
`vec(e_x) = ((1),(0))` en `vec(e_y) = ((0),(1))` zijn de twee eenheidsvectoren in een cartesisch `xy` -assenstelsel.
Deze twee vectoren maken een hoek van `90^@` en hebben daarom een inproduct van `0` :
`vec(e_x) * vec(e_y) = |vec(e_x)| * |vec(e_y)| * cos(90^@) = 1 * 1 * 0 = 0` .
Zo is ook:
`vec(e_x) * vec(e_x) = |vec(e_x)| * |vec(e_x)| * cos(0^@) = 1 * 1 * 1 = 1` .
En ook geldt `vec(e_y) * vec(e_y) = 1` .
Elke vector is te schrijven als een samenstelling van eenheidsvectoren. Neem bijvoorbeeld:
`vec(a) = ((text(-)2),(3)) = text(-)2 * ((1),(0)) + 3 * ((0),(1)) = text(-)2 vec(e_x) + 3 vec(e_y)` en `vec(b) = ((2),(1)) = 2 * ((1),(0)) + 1 * ((0),(1)) = 2 vec(e_x) + 1 vec(e_y)` .
Voor het inproduct van beide krijg je dan:
`vec(a) * vec(b) = (text(-)2 vec(e_x) + 3 vec(e_y)) * (2 vec(e_x) + 1 vec(e_y))`
Neem nu aan dat ook voor het inproduct van twee vectoren de regels voor het wegwerken van haakjes gelden. Gebruik verder de regels hierboven. Je vindt dan
`vec(a) * vec(b) = text(-)2 * 2 + 3 * 1 = text(-)1` .
Kennelijk hoef je alleen de overeenkomstige kentallen te vermenigvuldigen en de twee uitkomsten op te tellen om het inproduct van beide vectoren te krijgen.
Het inproduct van twee vectoren wordt gegeven door kentallen in een cartesisch assenstelsel te bepalen, en de vectoren te ontleden in eenheidsvectoren `vec(e_x)` en `vec(e_y)` .
Laat zien dat het inproduct van `((text(-)2),(3))` en `((2),(1))` inderdaad `text(-)2 *2 +3 *1 = text(-)1` is door haakjes weg te werken.
Bereken op dezelfde manier met behulp van eenheidsvectoren het inproduct van `((1),(4))` en `((2),(3))` .
In het algemeen geldt voor het inproduct van de vectoren `vec(a)` en `vec(b)` : `vec(a) *vec(b) =|vec(a) |*|vec(b) |*cos(φ)` waarin `φ` de hoek tussen `vec(a) ` en `vec(b) ` is. Neem nu `vec(a) =((text(-)2 ),(3 ))` en `vec(b) =((2 ),(1 ))` . Gebruik het inproduct van beide vectoren om de hoek `φ` ertussen te berekenen.
Neem `vec(a) =((1 ),(text(-)5 ))` en `vec(b) =((text(-)3 ),(text(-)2 ))` en bereken het inproduct van beide vectoren. Gebruik dit inproduct om de hoek `φ` tussen `vec(a)` en `vec(b)` te berekenen.
Neem `vec(a) =((a_x),(a_y))` en `vec(b) =((b_x),(b_y))` en laat zien dat `vec(a) *vec(b) =a_x*b_x+a_y*b_y` .