Meetkundige berekeningen > Coordinaten in 3D
123456Coordinaten in 3D

## Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

$O \left(0 , 0 , 0\right)$, $A \left(4 , 0 , 0\right)$, $B \left(4 , 2 , 0\right)$, $C \left(0 , 2 , 0\right)$, $D \left(0 , 0 , 3\right)$, $E \left(4 , 0 , 3\right)$, $G \left(0 , 2 , 3\right)$.

b

$\vec{O E} = \left(\begin{matrix}4 \\ 0 \\ 3\end{matrix}\right)$, $\vec{E G} = \left(\begin{matrix}\textrm{-} 4 \\ 2 \\ 0\end{matrix}\right)$ en $\vec{A G} = \left(\begin{matrix}\textrm{-} 4 \\ 2 \\ 3\end{matrix}\right)$

c

Met de stelling van Pythagoras (twee keer toepassen).

d

Met de stelling van Pythagoras (twee keer toepassen).

Opgave 1
a

$\vec{C E} = \left(\begin{matrix}4 \\ \textrm{-} 2 \\ 3\end{matrix}\right)$, $\vec{E C} = \left(\begin{matrix}\textrm{-} 4 \\ 2 \\ \textrm{-} 3\end{matrix}\right)$, $\vec{D F} = \left(\begin{matrix}4 \\ 2 \\ 0\end{matrix}\right)$ en $\vec{D B} = \left(\begin{matrix}4 \\ 2 \\ - 3\end{matrix}\right)$.

b

$E \left(4 , 0 , 3\right)$ en $G \left(0 , 2 , 3\right)$ geeft $N \left(\frac{4 + 0}{2} , \frac{0 + 2}{2} , \frac{3 + 3}{2}\right) = N \left(2 , 1 , 3\right)$.
$D \left(0 , 0 , 3\right)$ en $F \left(4 , 2 , 3\right)$ geeft $N \left(\frac{0 + 4}{2} , \frac{0 + 2}{2} , \frac{3 + 3}{2}\right) = N \left(2 , 1 , 3\right)$.

c

$O {B}^{2} = O {A}^{2} + A {B}^{2} = {4}^{2} + {2}^{2}$ en $O {F}^{2} = O {B}^{2} + B {F}^{2} = {4}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2}$.

d

$| \vec{C E} | = | \vec{E C} | = \sqrt{{4}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2}} = \sqrt{29}$ en $| \vec{D F} | = \sqrt{{4}^{2} + {2}^{2}} = \sqrt{20}$

Opgave 2
a

$B \left(4 , 2 , 0\right)$ en $D \left(0 , 0 , 3\right)$ geeft $\vec{B D} = \left(\begin{matrix}0 - 4 \\ 0 - 2 \\ 3 - 0\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\textrm{-} 4 \\ \textrm{-} 2 \\ 3\end{matrix}\right)$, dus $| \vec{B D} | = \sqrt{{\left(\textrm{-} 4\right)}^{2} + {\left(\textrm{-} 2\right)}^{2} + {3}^{2}} = \sqrt{29}$.

b

$\vec{M N} = \left(\left(2 - 4\right) , \left(1 - 2\right) , \left(3 - \left.1 , 5\right.\right)\right) = \left(\left(\textrm{-} 2\right) , \left(\textrm{-} 1\right) , \left(\left.1 , 5\right.\right)\right)$, dus $| \vec{M N} | = \sqrt{{\left(\textrm{-} 2\right)}^{2} + {\left(\textrm{-} 1\right)}^{2} + 1 , {5}^{2}} = \sqrt{7 , 25}$.

Opgave 3
a

$A \left(4 , \textrm{-} 3 , 0\right) , B \left(4 , 3 , 0\right) , C \left(\textrm{-} 4 , 3 , 0\right) , D \left(\textrm{-} 4 , \textrm{-} 3 , 0\right)$ en $E \left(0 , 0 , 4\right)$

b

$\vec{A B} = \left(\begin{matrix}0 \\ 8 \\ 0\end{matrix}\right) , \vec{B D} = \left(\begin{matrix}\textrm{-} 8 \\ \textrm{-} 6 \\ 0\end{matrix}\right)$ en $\vec{C E} = \left(\begin{matrix}\textrm{-} 4 \\ 3 \\ 4\end{matrix}\right)$

Opgave 4
a

Je kunt dan werken met coördinaten en vectoren.

b

$A \left(6 , 0 , 0\right)$, $C \left(0 , 5 , 0\right)$, $E \left(6 , 0 , 3\right)$, $F \left(6 , 5 , 3\right)$ en $G \left(0 , 5 , 3\right)$.

c

$| \vec{A G} | = \sqrt{{6}^{2} + {5}^{2} + {3}^{2}} = \sqrt{70}$.

Opgave 5

Je kunt hierbij met GeoGebra werken, bekijk het Practicum .

Neem bijvoorbeeld als hoekpunten $O \left(0 , 0 , 0\right)$, $A \left(4 , 0 , 0\right)$, $B \left(4 , 7 , 0\right)$, $C \left(0 , 7 , 0\right)$, $D \left(0 , 0 , 5\right)$, $E \left(4 , 0 , 5\right)$, $F \left(4 , 7 , 5\right)$ en $G \left(0 , 7 , 5\right)$.

Opgave 6
a

$\vec{A S} = \left(\left(\textrm{-} \left.2 , 5\right.\right) , \left(\left.1 , 5\right.\right) , \left(2\right)\right)$ en dus is $| \vec{A S} | = \sqrt{12 , 5}$.

b

en $M \left(5 , 3 , 2\right)$ dus $| S M | = \sqrt{2 , {5}^{2} + 1 , {5}^{2}} = \sqrt{8 , 5}$.

c

$E \left(5 , 0 , 4\right)$ en dus $| \vec{E N} | = \sqrt{2 , {5}^{2} + 1 , {5}^{2} + {3}^{2}} = \sqrt{17 , 5}$.

d

$\sqrt{9 , 5}$

Opgave 7
a

$\vec{S T} = \left(\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 6\end{matrix}\right)$ en dat is een vector evenwijdig aan de $z$-as.

b

$C \left(0 , 4 , 0\right)$ en $M \left(3 , 1 , 3\right)$ dus $| C M | = \sqrt{{3}^{2} + {3}^{2} + {3}^{2}} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$.

c

$\vec{O C} = \left(\begin{matrix}4 \\ 0 \\ 0\end{matrix}\right)$ en $\vec{M N} = \left(\begin{matrix}2 \\ 0 \\ 0\end{matrix}\right)$, dus beide vectoren zijn evenwijdig. De vierhoek is een trapezium.

d

$| \vec{O M} | = | \vec{C N} | = \sqrt{19}$

Het trapezium is symmetrisch want $\vec{O M}$ en $\vec{C N}$ zijn even lang en $M N = \frac{1}{2} O C$.

De hoogte van het trapezium is $\sqrt{\left({\sqrt{19}}^{2} - {1}^{2}\right)} = \sqrt{18}$.

De oppervlakte van $C O M N$ is $\frac{4 + 2}{2} \cdot \sqrt{18} = 3 \sqrt{18} = 9 \sqrt{2}$.

Opgave 8
a

en $N \left(3 , 5 , 0\right)$ geeft: $| \vec{M N} | = \sqrt{{\left(3 - 4 , 5\right)}^{2} + {\left(5 - 1 , 5\right)}^{2} + {\left(0 - 4\right)}^{2}} = \sqrt{30 , 5}$.

b

Maak een rechthoekige driehoek door vanuit $T$ een lijn te trekken naar het midden $P$ van $A B$.
$| A T | = \sqrt{{\left(3 - 6\right)}^{2} + {\left(3 - 0\right)}^{2} + {\left(8 - 0\right)}^{2}} = \sqrt{82}$.
Er geldt: $\cos \left(\angle T A B\right) = \frac{| A P |}{| A T |} = \frac{3}{\sqrt{82}}$, dus $\angle T A B \approx {71}^{\circ}$.

Opgave 9
a

$B \left(3 , 1 , 0\right) , D \left(\textrm{-} 1 , 3 , 0\right)$ en $T \left(1 , 2 , 4\right)$.

b

Gebruik GeoGebra en de gevonden coördinaten.

Opgave 10
a

$| \vec{B M} | = \sqrt{4 , {5}^{2} + 1 , {5}^{2}} = \sqrt{22 , 5}$

b

$| \vec{C M} | = \sqrt{{3}^{2} + 1 , {5}^{2} + 1 , {5}^{2}} = \sqrt{13 , 5}$

c

dus $| \vec{M N} | = \sqrt{{3}^{2} + {3}^{2}} = \sqrt{18}$.

Opgave 11
a

$C \left(\textrm{-} 2 , 2 , 0\right)$ en $D \left(\textrm{-} 2 , \textrm{-} 2 , 0\right)$.

b

De vier opstaande ribben zijn alle vier evenlang en $| \vec{A T} | = \sqrt{{2}^{2} + {2}^{2} + {4}^{2}} = \sqrt{24}$.

c

$| \vec{D P} | = \sqrt{2 , {5}^{2} + 2 , {5}^{2} + {3}^{2}} = \sqrt{21 , 5}$

Opgave 12
a

$\vec{A B} = \left(\begin{matrix}\textrm{-} 3 \\ 2 \\ 2\end{matrix}\right)$

b

$| \vec{A B} | = \sqrt{{3}^{2} + {2}^{2} + {2}^{2}} = \sqrt{17}$

Opgave 13
a

$O \left(0 , 0 , 0\right)$, $B \left(6 , 4 , 0\right)$, $E \left(6 , 0 , 6\right)$, $F \left(6 , 4 , 6\right)$ en $G \left(0 , 4 , 6\right)$

b

$M \left(6 , 2 , 0\right)$ en $N \left(0 , 4 , 3\right)$ geeft $\vec{M N} = \left(\begin{matrix}\textrm{-} 6 \\ 2 \\ 3\end{matrix}\right)$.

$| M N | = | \vec{M N} | = \sqrt{{6}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2}} = 7$.

c

geeft $| P F | = | \vec{F P} | = \sqrt{{3}^{2} + {1}^{2} + 4 , {5}^{2}} = \sqrt{30 , 25}$.

Opgave 14
a

Bedenk dat $D \left(\textrm{-} 4 , \textrm{-} 4 , 0\right)$.

b

$P \left(\textrm{-} 1 , 1 , 6\right)$ dus $| A P | = \sqrt{{5}^{2} + {5}^{2} + {6}^{2}} = \sqrt{86}$.

c

$| A P | = \sqrt{86}$, $| A B | = 8$ en $| B P | = \sqrt{{5}^{2} + {3}^{2} + {6}^{2}} = \sqrt{70}$.

${8}^{2} = {\left(\sqrt{86}\right)}^{2} + {\left(\sqrt{70}\right)}^{2} - 2 \cdot \sqrt{86} \cdot \sqrt{70} \cdot \cos \left(\angle A P B\right)$ (cosinusregel)

Dus $\cos \left(\angle A P B\right) = \frac{46}{\sqrt{6020}} = 0 , 5928. \ldots . .$ en $\angle A P B \approx {54}^{\circ}$.

Opgave 15
a

$A \left(4 , \textrm{-} 4 , 0\right)$, $B \left(4 , 4 , 0\right)$, $C \left(\textrm{-} 4 , 4 , 0\right)$, $D \left(\textrm{-} 4 , \textrm{-} 4 , 0\right)$, $E \left(2 , \textrm{-} 2 , 4\right)$, $F \left(2 , 2 , 4\right)$, $G \left(\textrm{-} 2 , 2 , 4\right)$ en $H \left(\textrm{-} 2 , \textrm{-} 2 , 4\right)$.

b

$A \left(4 , \textrm{-} 4 , 0\right)$ en $E \left(2 , \textrm{-} 2 , 4\right)$ dus $| A E | = \sqrt{{2}^{2} + {2}^{2} + {4}^{2}} = \sqrt{24}$.

De lengtes van alle andere opstaande ribben zijn even lang.

c

Het grondvlak heeft een oppervlakte van $8 \cdot 8 = 64$ en het bovenvlak een oppervlakte van $4 \cdot 4 = 16$.

De zijvlakken zijn vier dezelfde trapezia.

$| A E | = \sqrt{{2}^{2} + {2}^{2} + {4}^{2}} = \sqrt{24}$

De hoogte van zo'n trapezium is $\sqrt{{\left(\sqrt{24}\right)}^{2} - {2}^{2}} = \sqrt{20}$.

De totale oppervlakte is $64 + 16 + 4 \cdot 0 , 5 \cdot \left(8 + 4\right) \cdot \sqrt{20} = 80 + 48 \sqrt{5}$.

d

Gebruik de cosinusregel in $\Delta E G C$.

$| E G | = \sqrt{{4}^{2} + {4}^{2}} = \sqrt{32}$, $| C G | = \sqrt{24}$ en $| C E | = \sqrt{{6}^{2} + {6}^{2} + {4}^{2}} = \sqrt{88}$.

$88 = 32 + 24 - 2 \sqrt{32} \cdot \sqrt{24} \cdot \cos \left(\angle E G C\right)$ geeft $\angle E G C \approx {125}^{\circ}$.

Opgave 16

$11 - 4 = 7$, $\textrm{-} 7 - \textrm{-} 3 = \textrm{-} 4$ en $3 - 0 = 3$.

De coördinaten van $B$ zijn $\left(11 , \textrm{-} 7 , 3\right)$.

Opgave 17
a

Omdat $| A D | = 5$ zijn de ribben van deze kubus allemaal $5$.

$B \left(7 , 4 , 0\right) , C \left(3 , 7 , 0\right) , E \left(4 , 0 , 5\right) , F \left(7 , 4 , 5\right) , G \left(3 , 7 , 5\right)$ en $H \left(0 , 3 , 5\right)$.

b

$A \left(4 , 0 , 0\right)$ en $G \left(3 , 7 , 5\right)$ dus $| A G | = \sqrt{{1}^{2} + {7}^{2} + {5}^{2}} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$.

(Je kunt ook gebruik maken van het feit dat $A G$ een lichaamsdiagonaal van de kubus is.)

c

Opgave 18Tetraëder
Tetraëder

Het grondvlak is een gelijkzijdige driehoek met zijden van $6$. De hoogte van zo'n driehoek is $\sqrt{{6}^{2} - {3}^{2}} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$. Dus de $y$ coördinaat van punt $B$ is $3 \sqrt{3}$.

De $x$-coördinaat van punt $B$ is $\frac{1}{2} \cdot 6 = 3$.

Omdat een tetraëder een regelmatig viervlak is, waarvan de zijden een lengte hebben van $6$ moet gelden dat $| \vec{O C} | = | \vec{A C} | = | \vec{B C} | = 6$.

Noem $C \left(x , y , z\right)$.

$\vec{O C} = \left(\begin{matrix}x \\ y \\ z\end{matrix}\right)$, $\vec{A C} = \left(\begin{matrix}x - 6 \\ y \\ z\end{matrix}\right)$ en $\vec{B C} = \left(\begin{matrix}x - 3 \\ y - 3 \sqrt{3} \\ z\end{matrix}\right)$.

$| \vec{O C} | = | \vec{A C} |$ geeft ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {\left(x - 6\right)}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}$ zodat $x = 3$.

$| \vec{O C} | = | \vec{B C} |$ geeft ${3}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {0}^{2} + {\left(y - 3 \sqrt{3}\right)}^{2} + {z}^{2}$ zodat $y = \sqrt{3}$.

$| \vec{O A} | = {3}^{2} + {\sqrt{3}}^{2} + {z}^{2} = {6}^{2}$ geef ${z}^{2} = 24$ zodat $z = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.

De coördinaten van $C$ zijn $\left(3 , \sqrt{3} , 2 \sqrt{6}\right)$.

Opgave 19
a

$A \left(0 , \textrm{-} 3 , 0\right)$, $B \left(4 , 0 , 0\right)$, $C \left(0 , 3 , 0\right)$, $D \left(0 , \textrm{-} 3 , 5\right)$, $E \left(4 , 0 , 5\right)$, $F \left(0 , 3 , 5\right)$.

b

$| G H | = \sqrt{30 , 5}$

c

$\angle G H B \approx {60}^{\circ}$

Opgave 20

$C \left(4 , 7 , 0\right)$, $D \left(1 , 4 , 0\right)$ en $T \left(4 , 4 , 3\right)$.