Meetkundige berekeningen > Coordinaten in 3D
123456Coordinaten in 3D

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`O(0, 0, 0)` , `A(4, 0, 0)` , `B(4, 2, 0)` , `C(0, 2, 0)` , `D(0, 0, 3)` , `E(4, 0, 3)` , `G(0, 2, 3)` .

b

`vec(OE) = ((4),(0),(3))` , `vec(EG) = ((text(-)4),(2),(0))` en `vec(AG) = ((text(-)4),(2),(3))`

c

Met de stelling van Pythagoras (twee keer toepassen).

d

Met de stelling van Pythagoras (twee keer toepassen).

Opgave 1
a

`vec(CE)=((4),(text(-)2),(3))` , `vec(EC)=((text(-)4),(2),(text(-)3))` , `vec(DF)=((4),(2),(0))` en `vec(DB)=((4),(2),(text(-)3))` .

b

`E(4, 0, 3)` en `G(0, 2, 3)` geeft `N((4+0)/2, (0+2)/2, (3+3)/2) = N(2, 1, 3)` .
`D(0, 0, 3)` en `F(4, 2, 3)` geeft `N((0+4)/2, (0+2)/2, (3+3)/2) = N(2, 1, 3)` .

c

`OB^2=OA^2+AB^2=4^2+2^2` en `OF^2=OB^2+BF^2=4^2+2^2+3^2` .

d

`|vec(CE)|=|vec(EC)|=sqrt(4^2+2^2+3^2)=sqrt(29)` en `|vec(DF)|=sqrt(4^2+2^2)=sqrt(20)`

Opgave 2
a

`B(4, 2, 0)` en `D(0, 0, 3)` geeft `vec(BD) = ((0-4),(0-2),(3-0)) = ((text(-)4),(text(-)2),(3))` , dus `|vec(BD)| = sqrt((text(-)4)^2 + (text(-)2)^2 + 3^2) = sqrt(29)` .

b

`vec(MN) = ((2-4),(1-2),(3-{:1,5:})) = ((text(-)2),(text(-)1),({:1,5:}))` , dus `|vec(MN)| = sqrt((text(-)2)^2 + (text(-)1)^2 + 1,5^2) = sqrt(7,25)` .

Opgave 3
a

`A(4, text(-)3, 0), B(4, 3, 0), C(text(-)4, 3, 0), D(text(-)4, text(-)3, 0)` en `E(0, 0, 4)` .

b

`vec (AB)=((0),(8),(0)), vec(BD)=((text(-)8),(text(-)6),(0))` en `vec (CE)=((text(-)4),(3),(4))`

Opgave 4
a

Je kunt dan werken met coördinaten en vectoren.

b

`A(6, 0, 0)` , `C(0, 5, 0)` , `E(6, 0, 3)` , `F(6, 5, 3)` en `G(0, 5, 3)` .

c

`|vec(AG)| = sqrt(6^2+5^2+3^2)= sqrt(70)` .

Opgave 5

Je kunt hierbij met GeoGebra werken, bekijk het Practicum .

Neem bijvoorbeeld als hoekpunten `O(0, 0, 0)` , `A(4, 0, 0)` , `B(4, 7, 0)` , `C(0, 7, 0)` , `D(0, 0, 5)` , `E(4, 0, 5)` , `F(4, 7, 5)` en `G(0, 7, 5)` .

Opgave 6
a

`vec(AS) = ((text(-){:2,5:}),({:1,5:}),(2))` en dus is `|vec(AS)| = sqrt(12,5)` .

b

`S(2,5; 1,5; 2)` en `M(5, 3, 2)` dus `|SM|=sqrt(2,5^2+1,5^2)=sqrt(8,5)` .

c

`E(5, 0, 4)` en `N(2,5; 1,5; 1)` dus `|vec(EN)| = sqrt(2,5^2+1,5^2+3^2)=sqrt(17,5)` .

d

`sqrt(9,5)`

Opgave 7
a

`vec(ST) = ((0),(0),(6))` en dat is een vector evenwijdig aan de `z` -as.

b

`C(0, 4, 0)` en `M(3, 1, 3)` dus `|CM|=sqrt(3^2+3^2+3^2)=sqrt(27)=3sqrt(3)` .

c

`vec(OC) = ((4),(0),(0))` en `vec(MN) = ((2),(0),(0))` , dus beide vectoren zijn evenwijdig. De vierhoek is een trapezium.

d

`|vec(OM)|=|vec(CN)|=sqrt(19)`

Het trapezium is symmetrisch want `vec(OM)` en `vec(CN)` zijn even lang en `MN = 1/2 OC` .

De hoogte van het trapezium is `sqrt((sqrt(19)^2-1^2))=sqrt(18)` .

De oppervlakte van `COMN` is `(4+2)/2*sqrt(18)=3sqrt(18) = 9sqrt(2)` .

Opgave 8
a

`M(4,5; 1,5; 4)` en `N(3, 5, 0)` geeft: `|vec(MN)| = sqrt((3-4,5)^2+(5-1,5)^2+(0-4)^2) = sqrt(30,5)` .

b

Maak een rechthoekige driehoek door vanuit `T` een lijn te trekken naar het midden `P` van `AB` .
`|AT|=sqrt((3-6)^2+(3-0)^2+(8-0)^2)=sqrt(82)` .
Er geldt: `cos(/_TAB)=(|AP|)/(|AT|)=3/sqrt(82)` , dus `/_TAB~~71^@` .

Opgave 9
a

`B(3, 1, 0)` , `D(text(-)1, 3, 0)` en `T(1, 2, 4)` .

b

Gebruik GeoGebra en de gevonden coördinaten.

Opgave 10
a

`|vec(BM)|=sqrt(4,5^2+1,5^2)=sqrt(22,5)`

b

`|vec(CM)|=sqrt(3^2+1,5^2+1,5^2)=sqrt(13,5)`

c

`N(0; 1,5; text(-)1,5)` dus `|vec(MN)| = sqrt(3^2+3^2)=sqrt(18)` .

Opgave 11
a

`C(text(-)2, 2, 0)` en `D(text(-)2, text(-)2, 0)` .

b

De vier opstaande ribben zijn alle vier evenlang en `|vec(AT)| = sqrt(2^2 + 2^2 + 4^2) = sqrt(24)` .

c

`|vec(DP)| = sqrt(2,5^2 + 2,5^2 + 3^2) = sqrt(21,5)`

Opgave 12
a

`vec (AB)=((text(-)3),(2),(2))`

b

`|vec (AB)|=sqrt(3^2+2^2+2^2)=sqrt(17)`

Opgave 13
a

`O(0, 0, 0)` , `B(6, 4, 0)` , `E(6, 0, 6)` , `F(6, 4, 6)` en `G(0, 4, 6)`

b

`M(6, 2, 0)` en `N(0, 4, 3)` geeft `vec(MN) = ((text(-)6),(2),(3))` .

`|MN| = |vec(MN)| = sqrt(6^2+2^2+3^2) = 7` .

c

`P(3; 3; 1,5)` geeft `|PF| = |vec(FP)| = sqrt(3^2 + 1^2 + 4,5^2) = sqrt(30,25)` .

Opgave 14
a

Bedenk dat `D(text(-)4, text(-)4, 0)` .

b

`P(text(-)1, 1, 6)` dus `|AP| = sqrt(5^2 + 5^2 + 6^2) = sqrt(86)` .

c

`|AP| = sqrt(86)` , `|AB| = 8` en `|BP| = sqrt(5^2 + 3^2 + 6^2) = sqrt(70)` .

`8^2 = (sqrt(86))^2 + (sqrt(70))^2 - 2 * sqrt(86) * sqrt(70) * cos(/_APB)` (cosinusregel)

Dus `cos(/_APB) = 46/(sqrt(6020)) = 0,5928......` en `/_APB ~~ 54^@` .

Opgave 15
a

`A(4, text(-)4, 0)` , `B(4, 4, 0)` , `C(text(-)4, 4, 0)` , `D(text(-)4, text(-)4, 0)` , `E(2, text(-)2, 4)` , `F(2, 2, 4)` , `G(text(-)2, 2, 4)` en `H(text(-)2, text(-)2, 4)` .

b

`A(4, text(-)4, 0)` en `E(2, text(-)2,4)` dus `|AE|=sqrt(2^2+2^2+4^2)=sqrt(24)` .

De lengtes van alle andere opstaande ribben zijn even lang.

c

Het grondvlak heeft een oppervlakte van `8*8=64` en het bovenvlak een oppervlakte van `4*4=16` .

De zijvlakken zijn vier dezelfde trapezia.

`|AE|=sqrt(2^2+2^2+4^2)=sqrt(24)`

De hoogte van zo'n trapezium is `sqrt((sqrt(24))^2-2^2)=sqrt(20)` .

De totale oppervlakte is `64 + 16 + 4*0,5*(8+4)*sqrt(20) = 80 + 48sqrt(5)` .

d

Gebruik de cosinusregel in `Delta EGC` .

`|EG|=sqrt(4^2+4^2)=sqrt(32)` , `|CG|=sqrt(24)` en `|CE|=sqrt(6^2+6^2+4^2)=sqrt(88)` .

`88=32+24-2sqrt(32)*sqrt(24)*cos(angle EGC)` geeft `angle EGC~~125^@` .

Opgave 16

`11-4=7` , `text(-)7-text(-)3=text(-)4` en `3-0=3` .

De coördinaten van `B` zijn `(11, text(-)7, 3)` .

Opgave 17
a

Omdat `|AD| = 5` zijn de ribben van deze kubus allemaal `5` .

`B(7, 4, 0), C(3, 7, 0), E(4, 0, 5), F(7, 4, 5), G(3, 7, 5)` en `H(0, 3, 5)` .

b

`A(4, 0, 0)` en `G(3, 7, 5)` dus `|AG| = sqrt(1^2 + 7^2 + 5^2) = sqrt(75) = 5sqrt(3)` .

(Je kunt ook gebruik maken van het feit dat `AG` een lichaamsdiagonaal van de kubus is.)

c

`M(3,5; 3,5; 2,5)`

Opgave 18Tetraëder
Tetraëder

Het grondvlak is een gelijkzijdige driehoek met zijden van `6` . De hoogte van zo'n driehoek is `sqrt(6^2-3^2)=sqrt(27)=3sqrt(3)` . Dus de `y` coördinaat van punt `B` is `3sqrt(3)` .

De `x` -coördinaat van punt `B` is `1/2*6=3` .

Omdat een tetraëder een regelmatig viervlak is, waarvan de zijden een lengte hebben van `6` moet gelden dat `|vec (OC)|=|vec (AC)|=|vec(BC)|=6` .

Noem `C(x,y,z)` .

`vec(OC)=((x),(y),(z))` , `vec (AC)=((x-6),(y),(z))` en `vec (BC)=((x-3),(y-3sqrt(3)),(z))` .

`|vec(OC)|=|vec(AC)|` geeft `x^2+y^2+z^2=(x-6)^2+y^2+z^2` zodat `x=3` .

`|vec(OC)|=|vec(BC)|` geeft `3^2+y^2+z^2=0^2+(y-3sqrt(3))^2+z^2` zodat `y=sqrt(3)` .

`|vec(OA)|=3^2+sqrt(3)^2+z^2=6^2` geef `z^2=24` zodat `z=sqrt(24)=2sqrt(6)` .

De coördinaten van `C` zijn `(3, sqrt(3), 2sqrt(6))` .

Opgave 19
a

`A(0, text(-)3, 0)` , `B(4, 0, 0)` , `C(0, 3, 0)` , `D(0, text(-)3, 5)` , `E(4, 0, 5)` , `F(0, 3, 5)` .

b

`|GH| = sqrt(30,5)`

c

`/_GHB ~~ 60^@`

Opgave 20

`C(4, 7, 0)` , `D(1, 4, 0)` en `T(4, 4, 3)` .

verder | terug