Meetkundige berekeningen > Coordinaten in 3D
123456Coordinaten in 3D

Voorbeeld 1

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Je ziet hier in een 3D cartesisch assenstelsel een balk met , en . De lijnstukken en snijden elkaar in punt .
Bereken de lengte van lijnstuk .

> antwoord

Deze lengte kun je eenvoudig meetkundig berekenen door rechthoek te tekenen en daarin met de stelling van Pythagoras te werken. Je moet dan wel inzien, dat een rechthoek is en in een vlakke afbeelding van een ruimtelijke figuur zijn rechte hoeken niet altijd duidelijk. Rekenen met coördinaten en vectoren gaat daarentegen bijna altijd goed zonder rechte hoeken te herkennen.

Lees uit de figuur af dat , , en . Verder is het midden van bijvoorbeeld . (In een parallelprojectie zoals deze figuur zit elk midden van een lijnstuk ook echt in de figuur in het midden van dat lijnstuk.) En dus is .
Hieruit volgt .

En dus is de lengte van : .

Opgave 6

Bekijk Voorbeeld 1.

a

Reken de coördinaten van na en bereken exact de lengte van .

is het midden van .

b

Bereken exact de lengte van .

c

Punt is het midden van . Bereken exact de afstand dit punt tot punt .

ligt op zo, dat .

d

Bereken exact de afstand tot punt .

Opgave 7

Hier zie je een regelmatige vierzijdige piramide in een cartesisch 3D-assenstelsel. Het grondvlak is dus een vierkant met en de top ligt recht boven het midden van het snijpunt van de diagonalen van dit vierkant.

is het midden van en het midden van .

a

Laat zien dat evenwijdig is met de -as.

b

Bereken exact de lengte van .

c

Wat voor soort vierhoek is ? En hoe kun je dat afleiden uit de vectoren en ?

d

Bereken exact de oppervlakte van vierhoek .

verder | terug