Meetkundige berekeningen > Coordinaten in 3D
123456Coordinaten in 3D

Uitleg

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

In de ruimte kun je elk punt van coördinaten voorzien door een `x` -as, een `y` -as en een `z` -as loodrecht op elkaar te zetten en van dezelfde schaalverdeling te voorzien. Het snijpunt van de drie assen is `O` . Je hebt dan een driedimensionaal cartesisch assenstelsel.

Hier zie je een driedimensionaal cartesisch `Oxyz` -assenstelsel met balk `OABC.DEFG` .
Punt `F` heeft de coördinaten `(4, 2, 3)` .
Je ziet: eerst de `x` -coördinaat, dan de `y` coördinaat en tenslotte de `z` -coördinaat.
De coördinaten van enkele andere hoekpunten zijn:
`O(0, 0, 0)` , `A(4, 0, 0)` , `B(4, 2, 0)` en `D(0, 0, 3)` .

In een 3D assenstelsel kun je ook werken met vectoren, alleen in plaats van twee kentallen heb je er nu drie. Zo is:
`vec(OF) = ((4),(2),(3))`

Verder is:
`vec(OE) = ((4),(0),(3))` , `vec(EG) = ((text(-)4),(2),(0))` en `vec(AG) = ((text(-)4),(2),(3))` .

Ook het midden van een lijnstuk kun je op dezelfde manier berekenen als in een gewoon tweedimensionaal assenstelsel. Ga na dat voor het midden `M` van lijnstuk `BF` geldt: `M((4+4)/2, (2+2)/2, (0+3)/2) = M(4; 2; 1,5)` .

De lengte van `vec(OF)` kan worden berekend door de stelling van Pythagoras uit te breiden naar drie dimensies: `|vec(OF)| = sqrt(4^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(29)` .

Opgave 1

Bekijk Uitleg 1. Werken met coördinaten en vectoren in drie dimensies is in veel gevallen een eenvoudige uitbreiding van het werken in twee dimensies.

a

Beschrijf de vectoren `vec(CE)` , `vec(EC)` , `vec(DF)` en `vec(DB)` met kentallen.

b

Bereken het midden `N` van lijnstuk `EG` . Laat zien dat `N` ook het midden van lijnstuk `DF` is.

c

Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige driehoek toe te passen hoe de lengte van `vec(OF)` wordt berekend.

d

Bereken de lengtes van de vectoren `vec(CE), vec(EC)` en `vec(DF)` .

Opgave 2

Bekijk in Uitleg 1 hoe je afstanden tussen punten kunt berekenen in 3D.

a

Bereken de afstand tussen de punten `B` en `D` .

`M` is het midden van `BF` en `N` is het midden van `EG` .

b

Bereken `|MN|` .

Opgave 3

Getekend is piramide `ABCD.E` in een 3D cartesisch assenstelsel.

a

Geef de coördinaten van de hoekpunten van de piramide.

b

Beschrijf de vectoren `vec(AB)` , `vec(BD)` en `vec(CE)` met kentallen.

verder | terug