Meetkundige berekeningen > Inproduct in 3D
123456Inproduct in 3D

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De tangens van de gevraagde hoek is , dus .

b

Dit gaat het beste met het inproduct in drie dimensies, zie de Uitleg 1.

Opgave 1
a

en .
Het inproduct is .

b

en .
Het inproduct is .

c

en .
Hun inproduct is . De cosinus van de hoek tussen beide is dus niet en daarom staan de vectoren niet loodrecht op elkaar.

Opgave 2

en .

En geeft .

Opgave 3

en .

En geeft .

Opgave 4
a

Deze vectoren liggen ook op de lijn.

b

en .

geeft .

Omdat je de scherpe hoek moet hebben is de hoek tussen de lijnen ongeveer .

Opgave 5
a

Ze liggen ook op die lijn en geven dus zijn richting aan.

b

Inproduct: geeft .

c

Inproduct: geeft .

De hoek tussen beide lijnen is .

Opgave 6

De hoek tussen de lijnen is hetzelfde als de hoek tussen de vectoren. Met behulp van het inproduct kun je de hoek uitrekenen:

en .

Het inproduct van beide vectoren is zodat .

Omdat je de scherpe hoek neemt, is de hoek tussen beide vectoren ongeveer .

Opgave 7
a

en .

Hun inproduct is , dus .

b

en .

Het inproduct van deze vectoren is .

c

en in het rechthoekige voorvlak maken en bij punt een rechte hoek met elkaar.

Opgave 8
a

en geven en .

Hun inproduct is , dus .

De hoek tussen de vectoren en is ongeveer .

b

en .

Hun inproduct is , dus .

c

Uit volgt dat . Dit geldt ook voor de andere hoeken.

Opgave 9

Situatie I: .
Situatie II: .
Situatie III: .
Situatie IV: .
Situatie V : .
Situatie VI: want de projectie van de blauwe vector op de rode is .

Opgave 10
a

Een vector die geheel op de lijn ligt.

b

Hun richtingsvectoren zijn en .
Het inproduct van beide vectoren is en dit geeft .
(Je kunt dit in de figuur ook wel zien, is een gelijkbenige rechthoekige driehoek.)

c

Dan moeten ze in één vlak liggen en dat is hier niet zo. Maar als je een bovenaanzicht van de balk tekent, dan kun je hun onderlinge hoek goed zien en ook eenvoudig berekenen.

d

De richtingsvectoren zijn en .

Hun inproduct is , dus .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

Opgave 11
a

en .

Hun inproduct is , dus .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

b

en .

Hun inproduct is , dus .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

Opgave 12

dus en .

Hun inproduct is , dus .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

Opgave 13

Hun inproduct is , dus .

De hoek tussen de vectoren is ongeveer .

Opgave 14

Als het inproduct is van twee vectoren, dan staan ze loodrecht op elkaar.

en

De vectoren en staan loodrecht op elkaar. Dit zelfde geldt voor de vectoren en .

Opgave 15
a

en .

, en

b

en .

Hun inproduct is , dus .

Opgave 16
a

, , en .

en .

Hun inproduct is , dus .

De hoek tussen de lijnen is ongeveer .

b

en .

Hun inproduct is , dus .

en .

Opgave 17
a

Bijvoorbeeld of .

b

Het inproduct moet zijn: geeft .

Opgave 18
a
b

en

Hun inproduct is , dus en .

Op dezelfde wijze vind je dat en .

De lijnstukken en zijn even lang zijn.

Vierhoek is een symmetrisch trapezium.

c

en .

De hoogte van de vierhoek is .

De oppervlakte van .

Opgave 19Gegeven hoek, welke vector?
Gegeven hoek, welke vector?

geeft .

Dus en , zodat .

Aangezien en altijd groter of gelijk aan is, geldt dat voor elke waarde van . Er zijn dus geen oplossingen.

Dus er is geen waarde voor waarvoor de vectoren een hoek van met elkaar maken.

Opgave 20Kubus in kubus
Kubus in kubus
a

Laat zien dat de lijnstukken , en even lang zijn. Laat ook zie dat , en .

b

Bepaal eerst de coördinaten van de hoekpunten van die je nog niet weet.

Opgave 21
a

b

Opgave 22
a

b

c

Het is . De grootte ervan is .

verder | terug