Meetkundige berekeningen > Inproduct in 3D
123456Inproduct in 3D

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De tangens van de gevraagde hoek is `tan(alpha) = 3/(sqrt(20))` , dus `alpha ~~ 34^circ` .

b

Dit gaat het beste met het inproduct in drie dimensies, zie de uitleg.

Opgave 1
a

`vec(OB) = ((4),(2),(0))` en `vec(BF) = ((0),(0),(3))` .
Het inproduct is `4*0 + 2*0 + 0*3 = 0` .

b

`vec(OD) = ((0),(0),(3))` en `vec(BF) = ((4),(2),(0))` .
Het inproduct is `0*4 + 0*2 + 3*0 = 0` .

c

`vec(OD) = ((0),(0),(3))` en `vec(DB) = ((4),(2),(text(-)3))` .
Het inproduct is `0*4 + 0*2 + 3*text(-)3 = text(-)9` . De cosinus van de hoek tussen beide is dus niet `0` en daarom staan de vectoren niet loodrecht op elkaar.

Opgave 2

`vec(AC) = ((text(-)4),(2),(0))` en `vec(AF) = ((0),(2),(3))` .
`((text(-)4),(2),(0)) * ((0),(2),(3)) = text(-)4*0 + 2*2 + 0*3 = 4`

`4= sqrt(20)*sqrt(13) cos(varphi)`

`cos(varphi) = 4/(sqrt(20)*sqrt(13))`

`varphi ~~ 76^@` .

Opgave 3

`vec(AC) = ((text(-)4),(2),(0))` en `vec(DB) = ((4),(2),(text(-)3))` .
`((text(-)4),(2),(0)) * ((4),(2),(text(-)3)) = text(-)4*4 + 2*2 + 0*text(-)3 = 20`

`20= sqrt(20)*sqrt(29) cos(varphi)`

`cos(varphi) = 20/(sqrt(20)*sqrt(29))`

`varphi ~~ 34°`

Opgave 4
a

Deze liggen ook op de lijn. 

b

ongeveer `10^(circ)`

Opgave 5
a

Ze liggen ook op die lijn en geven dus zijn richting aan.

b

Bereken hun inproduct: `20 = sqrt(20)*sqrt(29)*cos(varphi)` geeft `varphi ~~ 34^@` .

c

Bereken hun inproduct: `text(-)20 = sqrt(20)*sqrt(29)*cos(varphi)` geeft `varphi ~~ 146^@` .

Opgave 6

ongeveer `30°`

Opgave 7
a

`vec(ED) = ((text(-)5),(0),(0))` en `vec(EC) = ((text(-)5),(3),(text(-)4))`

Bereken het inproduct.

`25 = 5 * sqrt(50) * cos(varphi)`

`varphi = 45°`

b

Het inproduct is `0` .

c

`vec(DG) = vec(EF)` en in het rechthoekige voorvlak maken `vec(EF)` en `vec(BF)` bij punt `F` een rechte hoek met elkaar.

Opgave 8
a

ongeveer `56^@`

b

`/_ATC ~~ 67^@`

c

Uit `vec(AB) * vec(AD) = 0` volgt dat `/_BAD = 90^@` . Dit geldt ook voor de andere hoeken.

Opgave 9

Situatie I: `vec(a)*vec(b) = 16`
Situatie II: `vec(a)*vec(b) = = 0`
Situatie III: `vec(a)*vec(b) = text(-)8`
Situatie IV: `vec(a)*vec(b) = 32`
Situatie V: `vec(a)*vec(b) = 64`
Situatie VI: `vec(a)*vec(b) = 32`

Opgave 10
a

Een vector die geheel op de lijn ligt.

b

Hun richtingsvectoren zijn `vec(AF) = ((0),(3),(4))` en `vec(AG) = ((text(-)5),(3),(4))`
Het inproduct van beide vectoren is `25 = 5 * sqrt(50) * cos(varphi)` en dit geeft `varphi = 45^@` .
(Je kunt dit in de figuur ook wel zien, `Delta AFG` is een gelijkbenige rechthoekige driehoek.)

c

Dan moeten ze in één vlak liggen en dat is hier niet zo. Maar als je een bovenaanzicht van de balk tekent, dan kun je hun onderlinge hoek goed zien en ook eenvoudig berekenen.

d

De richtingsvectoren zijn `vec(OB) = ((5),(3),(0))` en `vec(EF) = ((0),(3),(0))` .

Bereken het inproduct. 

`9 = 3 * sqrt(34) * cos(varphi)`

`varphi ~~ 59°`

De hoek tussen de lijnen `OB` en `EF` is ongeveer `59°` .

Opgave 11
a

ongeveer  `46^@`

b

ongeveer  `67^@`

Opgave 12

ongeveer `26,6°`

Opgave 13

ongeveer `125,8°`

Opgave 14

`vec a` en `vec c`

`vec b` en `vec d`

Opgave 15
a

`vec (OP)=((4),(0),(4))` , `vec(PQ)=((text(-)4),(3),(text(-)3))` en `vec(OQ)=((0),(3),(1))`

`((4),(0),(4))+((text(-)4),(3),(text(-)3))=((0),(3),(1))`

b

ongeveer  `77^@`

Opgave 16
a

ongeveer `71°`

b

ongeveer `66` °, `66` °, `114` ° en `114` °

Opgave 17
a

Bijvoorbeeld `((3),(3),(text(-)3))` of `((text(-)10),(5),(0))` .

b

`p = text(-)2,2`

Opgave 18
a

ongeveer  `80°`

b

`/_CBM =angle BCN~~ 74°`  en  `/_BMN =angle MNC~~ 106°`

`|BM|=|BN|=sqrt(14)`

Vierhoek `BMNC` is een symmetrisch trapezium.

c

ongeveer `11,7`

Opgave 19

nee

Opgave 20
a

`~~ 85` °

b

`a = 2`

Opgave 21
a

Laat zien dat de lijnstukken `SP` , `SW` en `SR` even lang zijn. Laat ook zie dat `vec(SW) _|_ vec(SP)` , `vec(SW) _|_ vec(SR)` en `vec(SR) _|_ vec(SP)` .

b

Doen.

Opgave 22
a

`~~ 62^@` .

b

`~~ 68^@`

c

Het is `/_CBT` . De grootte ervan is `~~ 68^@` .

verder | terug