Meetkundige berekeningen > Inproduct in 3DAntwoorden van de opgaven
De tangens van de gevraagde hoek is `tan(alpha) = 3/(sqrt(20))` , dus `alpha ~~ 34^@` .
Dit gaat het beste met het inproduct in drie dimensies, zie
`vec(OB) = ((4),(2),(0))`
en
`vec(BF) = ((0),(0),(3))`
.
Het inproduct is
`4*0 + 2*0 + 0*3 = 0`
.
`vec(OD) = ((0),(0),(3))`
en
`vec(BF) = ((4),(2),(0))`
.
Het inproduct is
`0*4 + 0*2 + 3*0 = 0`
.
`vec(OD) = ((0),(0),(3))`
en
`vec(DB) = ((4),(2),(text(-)3))`
.
Hun inproduct is
`0*4 + 0*2 + 3*text(-)3 = text(-)9`
. De cosinus van de hoek tussen beide is dus niet
`0`
en daarom staan de vectoren niet loodrecht op elkaar.
`vec(AC) = ((text(-)4),(2),(0))`
en
`vec(AF) = ((0),(2),(3))`
.
`((text(-)4),(2),(0)) * ((0),(2),(3)) = text(-)4*0 + 2*2 + 0*3 = 4 = sqrt(20)*sqrt(13)
cos(varphi)`
En `cos(varphi) = 4/(sqrt(20)*sqrt(13))` geeft `varphi ~~ 76^@` .
`vec(AC) = ((text(-)4),(2),(0))`
en
`vec(DB) = ((4),(2),(text(-)3))`
.
`((text(-)4),(2),(0)) * ((4),(2),(text(-)3)) = text(-)4*4 + 2*2 + 0*text(-)3 = 20 =
sqrt(20)*sqrt(29) cos(varphi)`
En `cos(varphi) = 20/(sqrt(20)*sqrt(29))` geeft `varphi ~~ 34^@` .
Deze vectoren liggen ook op de lijn.
`vec (AB)=((3),(1),(2))` en `vec (BC)=((text(-)6),(text(-)1),(text(-)3))` .
`((3),(1),(2))((text(-)6),(text(-)1),(text(-)3))=text(-)25 = sqrt(14)*sqrt(46)*cos(varphi)` geeft `varphi~~170^@` .
Omdat je de scherpe hoek moet hebben is de hoek tussen de lijnen ongeveer `10^@` .
Ze liggen ook op die lijn en geven dus zijn richting aan.
Inproduct: `20 = sqrt(20)*sqrt(29)*cos(varphi)` geeft `varphi ~~ 34^@` .
Inproduct: `text(-)20 = sqrt(20)*sqrt(29)*cos(varphi)` geeft `varphi ~~ 146^@` .
De hoek tussen beide lijnen is `180^@-146^@=34^@` .
De hoek tussen de lijnen is hetzelfde als de hoek tussen de vectoren. Met behulp van het inproduct kun je de hoek uitrekenen:
`vec (AB)=((4),(text(-)3),(5))` en `vec (AC)=((text(-)9),(4),(text(-)3))` .
Het inproduct van beide vectoren is `text(-)63=sqrt(50)*sqrt(106)*cos(varphi)` zodat `varphi~~150^@` .
Omdat je de scherpe hoek neemt, is de hoek tussen beide vectoren ongeveer `30^@` .
`vec(ED) = ((text(-)5),(0),(0))` en `vec(EC) = ((text(-)5),(3),(text(-)4))` .
Hun inproduct is `25 = 5 * sqrt(50) * cos(varphi)` , dus `varphi = 45^@` .
`vec (DG)=((0),(3),(0))` en `vec (BF)=((0),(0),(4))` .
Het inproduct van deze vectoren is `0` .
`vec(DG) = vec(EF)` en in het rechthoekige voorvlak maken `vec(EF)` en `vec(BF)` bij punt `F` een rechte hoek met elkaar.
`A(4, 0, 0)` en `M(2, 0, 3)` geven `vec (OA)=((4),(0),(0))` en `vec (OM)=((2),(0),(3))` .
Hun inproduct is `8=4*sqrt(13)*cos(varphi)` , dus `varphi~~56^@` .
De hoek tussen de vectoren `vec(OA)` en `vec(OM)` is ongeveer `56^@` .
`vec (TA)=((text(-)4),(0),(6))` en `vec (TC)=((4),(0),(6))` .
Hun inproduct is `20=sqrt(52)*sqrt(52)*cos(varphi)` , dus `angle ATC=varphi~~67^@` .
Uit `vec(AB) * vec(AD) = 0` volgt dat `/_BAD = 90^@` . Dit geldt ook voor de andere hoeken.
Situatie I:
`vec(a)*vec(b) = 4*4sqrt(2)*cos(45) = 16`
.
Situatie II:
`vec(a)*vec(b) = 4*4*cos(90) = 0`
.
Situatie III:
`vec(a)*vec(b) = 2sqrt(2)*2sqrt(6)*cos(135) = text(-)8`
.
Situatie IV:
`vec(a)*vec(b) = sqrt(20)*8*cos(26,565...)=32`
.
Situatie V :
`vec(a)*vec(b) = 8*2sqrt(32)*cos(45)=64`
.
Situatie VI:
`vec(a)*vec(b) = 8*4=32`
want de projectie van de blauwe vector op de rode is
`4`
.
Een vector die geheel op de lijn ligt.
Hun richtingsvectoren zijn
`vec(AF) = ((0),(3),(4))`
en
`vec(AG) = ((text(-)5),(3),(4))`
.
Het inproduct van beide vectoren is
`25 = 5 * sqrt(50) * cos(varphi)`
en dit geeft
`varphi = 45^@`
.
(Je kunt dit in de figuur ook wel zien,
`Delta AFG`
is een gelijkbenige rechthoekige driehoek.)
Dan moeten ze in één vlak liggen en dat is hier niet zo. Maar als je een bovenaanzicht van de balk tekent, dan kun je hun onderlinge hoek goed zien en ook eenvoudig berekenen.
De richtingsvectoren zijn `vec(OB) = ((5),(3),(0))` en `vec(EF) = ((0),(3),(0))` .
Hun inproduct is `9 = 3 * sqrt(34) * cos(varphi)` , dus `varphi ~~ 59^@` .
De hoek tussen de lijnen `OB` en `EF` is ongeveer `59^@` .
`vec(AT) = ((text(-)4),(0),(6))` en `vec(BT) = ((0),(text(-)4),(6))` .
Hun inproduct is `36=sqrt(52)*sqrt(52)*cos(varphi)` , dus `varphi~~46^@` .
De hoek tussen de lijnen `AT` en `BT` is ongeveer `46^@` .
`vec(AT) = ((text(-)4),(0),(6))` en `vec(BC) = ((text(-)4),(text(-)4),(0))` .
Hun inproduct is `16=sqrt(52)*sqrt(32)*cos(varphi)` , dus `varphi~~67^@` .
De hoek tussen de lijnen `AT` en `BC` is ongeveer `67^@` .
`M(0; text(-)1,5; 1,5)` dus `vec(FM) = ((0),(text(-){:1,5:}),({:4,5:}))` en `vec(BE) = ((0),(text(-)3),(3))` .
Hun inproduct is `18=sqrt(22,5)*sqrt(18)*cos(varphi)` , dus `varphi~~26,6^@` .
De hoek tussen de lijnen `FM` en `BM` is ongeveer `26,6^@` .
Hun inproduct is `text(-)14=sqrt(14)*sqrt(41)*cos(varphi)` , dus `varphi~~125,8^@` .
De hoek tussen de vectoren is ongeveer `125,8^@` .
Als het inproduct `0` is van twee vectoren, dan staan ze loodrecht op elkaar.
`vec a*vec c=0` en `vec b*vec d=0`
De vectoren `vec a` en `vec c` staan loodrecht op elkaar. Dit zelfde geldt voor de vectoren `vec b` en `vec d` .
`O(0, 0, 0), P(4, 0, 4)` en `Q(0, 3, 1)` .
`vec (OP)=((4),(0),(4))` , `vec(PQ)=((text(-)4),(3),(text(-)3))` en `vec(OQ)=((0),(3),(1))`
`((4),(0),(4))+((text(-)4),(3),(text(-)3))=((0),(3),(1))`
`vec(OP) = ((4),(0),(4))` en `vec(OQ) = ((0),(3),(1))` .
Hun inproduct is `4 = sqrt(32)*sqrt(10)*cos(varphi)` , dus `varphi = /_POQ ~~ 77^@` .
`A(3, text(-)3, 0)` , `E(1,5; text(-)1,5; 3)` , `C(text(-)3, 3, 0)` en `G(text(-)1,5; 1,5; 3)` .
`vec (AE)=((text(-){:1,5:}),({:1,5:}),(3))` en `vec (CG)=(({:1,5:}),(text(-){:1,5:}),(3))` .
Hun inproduct is `4,5=sqrt(13,5)*sqrt(13,5)*cos(varphi)` , dus `varphi~~71^@` .
De hoek tussen de lijnen is ongeveer `71^@` .
`vec (AE)=((text(-){:1,5:}),({:1,5:}),(3))` en `vec(AB)=((0),(6),(0))` .
Hun inproduct is `9=sqrt(13,5)*6*cos(varphi)` , dus `varphi~~66^@` .
`angle EAB=angle ABF~~66^@` en `angle FEA=angle BFE~~180^@-66^@=114^@` .
Bijvoorbeeld `((3),(3),(text(-)3))` of `((text(-)10),(5),(0))` .
Het inproduct moet `0` zijn: `vec(v) * vec(w) = 1*3 + 2*4 + 5*p = 0` geeft `p = text(-)11/5 = text(-)2,2` .
`vec(BC) = ((text(-)4),(0),(0))` en `vec(BM) = ((text(-)1),(text(-)3),(2))` .
Hun inproduct is `text(-)4 = 4*sqrt(14)*cos(varphi)` , dus `varphi ~~ 106^@` en `angle CBM~~74^@` .
Op dezelfde wijze vind je dat `angle BCN=angle CBM~~74^@` en `/_BMN=/_MNC ~~ 106^@` .
`|BM|=|CN|=sqrt(1^2+3^2+2^2)=sqrt(14)`
De lijnstukken `BM` en `CN` zijn even lang zijn.
Vierhoek `BMNC` is een symmetrisch trapezium.
`BC=4` en `MN=2` .
De hoogte van de vierhoek is `sqrt((sqrt(16,25))^2-1^2)=sqrt(15,25)` .
De oppervlakte van `BMNC=0,5*(4+2)*sqrt(15,25)~~11,7` .
`vec(v)*vec(w)=11+p^2` geeft `11+p^2=sqrt(5+p^2)*sqrt(25+p^2)*cos(60^@)` .
Dus `11+p^2=0,5*sqrt(p^4+30p^2+125)` en `4p^4+88p^2+484=p^4+30p^2+125` , zodat `3p^4+58p^2+359=0` .
Aangezien `p^4` en `p^2` altijd groter of gelijk aan `0` is, geldt dat `3p^4+58p^2+359 ge 359` voor elke waarde van `p` . Er zijn dus geen oplossingen.
Dus er is geen waarde voor `p` waarvoor de vectoren een hoek van `60^@` met elkaar maken.
Laat zien dat de lijnstukken `SP` , `SW` en `SR` even lang zijn. Laat ook zie dat `vec(SW) _|_ vec(SP)` , `vec(SW) _|_ vec(SR)` en `vec(SR) _|_ vec(SP)` .
Bepaal eerst de coördinaten van de hoekpunten van `PQRS.TUVW` die je nog niet weet.
`~~ 85^@`
`a = 2`
`~~ 62^@`
`~~ 68^@`
Het is `/_CBT` . De grootte ervan is `~~ 68^@` .