Meetkundige berekeningen

Meetkundige berekeningen > Inproduct in 3D

123456Inproduct in 3D

Voorbeeld 2

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Je ziet hier in een 3D cartesisch assenstelsel een balk $OABC.DEFG$ met $A(5, 0, 0)$ , $C(0, 3, 0)$ en $D(0, 0, 4)$ .

Bereken de hoek tussen de lijnen $AG$ en $EC$ .

> antwoord

Ga na, dat de hoek tussen $AG$ en $EC$ hetzelfde is als de hoek tussen de richtingsvectoren $vec(AG)$ en $vec(EC)$ .

Verder is $vec(AG) = ((text(-)5),(3),(4))$ en $vec(EC) = ((text(-)5),(3),(text(-)4))$ .
Hun inproduct is $18 = sqrt(50)*sqrt(50)*cos(varphi)$ .

Voor de hoek $varphi$ tussen beide vectoren geldt: $cos(varphi)=18/(50)$ . En dus is $varphi~~68,9^@$ .

Opgave 10

In Voorbeeld 2 zie je hoe je de hoek tussen twee lijnen kunt bepalen met behulp van het inproduct van twee richtingsvectoren van die lijnen.

Wat is een richtingsvector van een lijn?

Bereken met behulp van het inproduct de hoek tussen de lijnen $AF$ en $AG$ .

Ook lijnen die elkaar helemaal niet snijden kunnen toch wel een hoek ten opzichte van elkaar maken. Neem bijvoorbeeld de lijnen $OB$ en $EF$ .

Waarom snijden deze lijnen elkaar niet? Hoe zou je hun onderlinge hoek toch zichtbaar kunnen maken?

Bereken onderlinge de hoek van de lijnen $OB$ en $EF$ met met behulp van het inproduct van hun richtingsvectoren.

Opgave 11

De punten $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 4, 0)$ , $C(text(-)4, 0, 0)$ , $D(0, text(-)4, 0)$ en $T(0, 0, 6)$ zijn de hoekpunten van een piramide.

Bereken de hoek tussen de lijnen $AT$ en $BT$ . Geef je antwoord in graden nauwkeurig.

Welke hoek maken de lijnen $AT$ en $BC$ met elkaar? Geef je antwoord in graden nauwkeurig.

Opgave 12

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Dit is een regelmatig achtvlak (octaëder) met $A(3, 0, 0)$ , $B(0, 3, 0)$ , $E(0, 0, 3)$ en $F(0, 0, text(-)3)$ . $M$ is het midden van $ED$ .

Bereken de hoek die de lijnen $FM$ en $BE$ met elkaar maken. Rond af op één decimaal.