Meetkundige berekeningen > Inproduct in 3D
123456Inproduct in 3D

Voorbeeld 2

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Je ziet hier in een 3D cartesisch assenstelsel een balk `OABC.DEFG` met `A(5, 0, 0)` , `C(0, 3, 0)` en `D(0, 0, 4)` .

Bereken de hoek tussen de lijnen `AG` en `EC` .

> antwoord

Ga na, dat de hoek tussen `AG` en `EC` hetzelfde is als de hoek tussen de richtingsvectoren `vec(AG)` en `vec(EC)` .

Verder is `vec(AG) = ((text(-)5),(3),(4))` en `vec(EC) = ((text(-)5),(3),(text(-)4))` .
Hun inproduct is `18 = sqrt(50)*sqrt(50)*cos(varphi)` .

Voor de hoek `varphi` tussen beide vectoren geldt: `cos(varphi)=18/(50)` . En dus is `varphi~~68,9^@` .

Opgave 10

In het voorbeeld zie je hoe je de hoek tussen twee lijnen kunt bepalen met behulp van het inproduct van twee richtingsvectoren van die lijnen.

a

Wat is een richtingsvector van een lijn?

b

Bereken met behulp van het inproduct de hoek tussen de lijnen `AF` en `AG` .

Ook lijnen die elkaar helemaal niet snijden kunnen toch wel een hoek ten opzichte van elkaar maken. Neem bijvoorbeeld de lijnen `OB` en `EF` .

c

Waarom snijden deze lijnen elkaar niet? Hoe zou je hun onderlinge hoek toch zichtbaar kunnen maken?

d

Bereken onderlinge de hoek van de lijnen `OB` en `EF` met met behulp van het inproduct van hun richtingsvectoren.

Opgave 11

De punten `A(4, 0, 0)` , `B(0, 4, 0)` , `C(text(-)4, 0, 0)` , `D(0, text(-)4, 0)` en `T(0, 0, 6)` zijn de hoekpunten van een piramide. 

a

Bereken de hoek tussen de lijnen `AT` en `BT` . Geef je antwoord in graden nauwkeurig.

b

Welke hoek maken de lijnen `AT` en `BC` met elkaar? Geef je antwoord in graden nauwkeurig.

Opgave 12

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Dit is een regelmatig achtvlak (octaëder) met `A(3, 0, 0)` , `B(0, 3, 0)` , `E(0, 0, 3)` en `F(0, 0, text(-)3)` . `M` is het midden van `ED` .

Bereken de hoek die de lijnen `FM` en `BE` met elkaar maken. Rond af op één decimaal.

verder | terug