Meetkundige berekeningen > Inproduct in 3D
123456Inproduct in 3D

Uitleg

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Hier zie je een driedimensionaal cartesisch `Oxyz` -assenstelsel.

Punt `F` heeft de coördinaten `(4, 2, 3)` .
Zo is `vec(OF) = ((4),(2),(3))` , `vec(OE) = ((4),(0),(3))` en `vec(EF) = ((0),(2),(0))` .
Je ziet dat ook in 3D geldt: `vec(OE) + vec(EF) = vec(OF)` , controleer maar met hun kentallen.

Je kunt met vectoren in 3D precies net zo rekenen als met vectoren in 2D. Je kunt ze optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met een getal door dit met de corresponderende kentallen te doen. Ook het inproduct van twee vectoren blijft op dezelfde manier geldig, er komt alleen een extra kental bij kijken:

`vec(a) * vec(b) = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |vec(a)|*|vec(b)|*cos(/_(vec(a),vec(b)))`

De hoek tussen de vectoren `vec(EO)` en `vec(EF)` is  `90^circ` . Met het inproduct kun je dit narekenen:
`vec(EO) = ((text(-)4),(0),(text(-)3))` en `vec(EF) = ((0),(2),(0))` geeft `vec(EO) * vec(EF) = text(-)4 * 0 + 0 * 2 + text(-)3 * 0 = 0`
En dus is `cos(/_(vec(EO), vec(EF))) = 0` en daarom `/_(vec(EO), vec(EF)) = 90^circ` .

Opgave 1

Bekijk de uitleg. De vectoren `vec(OB)` en `vec(BF)` staan loodrecht op elkaar.

a

Laat dit zien met behulp van het inproduct.

b

Ga door berekening na dat de vectoren `vec(OD)` en `vec(DF)` loodrecht op elkaar staan.

c

Laat ook zien dat `vec(OD)` en `vec(DB)` niet loodrecht op elkaar staan.

Opgave 2

Zie de uitleg. Neem `vec(AC)` en `vec(AF)` .

Gebruik het inproduct van beide vectoren om de hoek `varphi` ertussen in graden nauwkeurig te berekenen.

Opgave 3

Zie de uitleg. Neem `vec(AC)` en `vec(DF)` . Deze vectoren hebben geen gemeenschappelijk aangrijpingspunt. Toch maken ze een hoek met elkaar.

Gebruik het inproduct van beide vectoren om de hoek `varphi` ertussen in graden nauwkeurig te berekenen.

verder | terug