Meetkundige berekeningen > Punten, lijnen, vlakken
123456Punten, lijnen, vlakken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Ja, ze liggen in het vlak en lopen niet evenwijdig.

b

Nee, ze liggen niet in hetzelfde vlak.

c

Ja, als je de kabels verlengd (en lijnen zijn oneindig lang). Ze liggen in het vlak en lopen niet evenwijdig.

d

Nee, ook niet als je de kabels verlengd. Ze liggen niet in hetzelfde vlak.

e

m.

Opgave 1
a

Door , en gaat het vlak en daar ligt niet in. Dus liggen de lijnen en niet in één vlak. Ze kruisen elkaar.

b

Omdat ze op de lijn liggen en die ligt in het vlak. Je kunt dat zien in een bovenaanzicht, of door de vectoren , en te vergelijken, ze zijn een veelvoud van elkaar en hebben dus dezelfde richting.

c

en . Dus nee, ze zijn niet evenwijdig, ze kruisen elkaar.

Opgave 2
a

Zie het bovenaanzicht bij c.

ligt op lijnstuk . Dit betekent dat punt in vlak ligt.

b

De lijnen liggen beide in vlak . Ze zijn duidelijk niet evenwijdig (kun je ook controleren met de richtingsvectoren), dus snijden ze elkaar.

c

Opgave 3
a

Deze zijn evenwijdig.

b

Deze snijden elkaar.

Opgave 4
a

De vlakken snijden elkaar.

b

De vlakken snijden elkaar.

Opgave 5
a

b

c

Opgave 6
a

Maak een tekening of maak de figuur in GeoGebra 3D.

Kruisende lijnen.

b

Snijdende lijnen, beide liggen in vlak .

c

Snijdende lijnen, beide liggen in vlak .

d

Kruisende lijnen.

e

Evenwijdige lijnen.

f

Samenvallende lijnen.

Opgave 7
a

Maak een tekening of maak de figuur in GeoGebra 3D.

, en liggen in zijvlak en ligt daar niet in. Beide lijnen liggen dus niet in één vlak. Ze kruisen elkaar dus.

b

Omdat (richtingsvectoren) liggen de punten , , en in één vlak. Beide lijnen zijn niet evenwijdig en snijden elkaar dus.

In een vooraanzicht zie je dat de -coördinaat van is en de -coördinaat .

In een bovenaanzicht zie je dat de -coördinaat van is.

Het snijpunt is .

c

, , en .

en .

Hun inproduct is zodat .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

Opgave 8
a

Punt ligt op lijn , maar ook in vlak want . Dus lijn snijdt vlak in .

b

Lijn ligt in vlak . De punten , het snijpunt van en , en , het snijpunt van en liggen zowel in vlak als in vlak en dus is lijn de snijlijn van beide vlakken. en snijden elkaar (want liggen in vlak ) en daarom snijdt het vlak .

c

en dus is .

d

ligt in . Punt ligt in en in . Beide vlakken hebben een snijlijn en daar gaat doorheen.

Opgave 9
a

ligt in vlak en is evenwijdig met (richtingsvectoren).

b

ligt in het -vlak en ook. Deze lijnen zijn (richtingsvectoren) niet evenwijdig en snijden elkaar dus. In een vooraanzicht (kijken in de -richting) kun je het snijpunt zien: .

Opgave 10
a

Bekijk vlak .
Dit vlak snijdt volgens de lijn , waarin het snijpunt van en is.
Dit vlak snijdt volgens de lijn , waarin het snijpunt van en is.
De lijnen en zijn niet evenwijdig (richtingsvectoren) en snijden elkaar dus. Daarom hebben beide gegeven vlakken een gemeenschappelijk punt en snijden ze elkaar.

b

, en .

De vlakken zijn evenwijdig.

Opgave 11
a

en .

b

De lijnen en hebben een snijpunt, want ze liggen beide in het -vlak en zijn niet evenwijdig.

Opgave 12

Welke beweringen zijn waar?

Als twee lijnen in eenzelfde vlak liggen, dan snijden ze elkaar.

Een vlak wordt bepaald door drie punten, die niet op één lijn liggen.

Twee lijnen die niet dezelfde richtingsvector hebben snijden elkaar.

Twee vlakken die geen gemeenschappelijke punten hebben, zijn evenwijdig.

Opgave 13

De lijnen kruisen elkaar, want ze liggen niet in eenzelfde vlak en zijn niet evenwijdig.

Opgave 14
a

en .

en .

, daarom is . Dit betekent dat een vierhoek is.

b

Nee, want , en liggen in vlak en daar ligt niet in. Dit zijn twee kruisende lijnen.

c

In een bovenaanzicht zie je dat de -coördinaat is en de -coördinaat .

In een zijaanzicht zie je dat de -coördinaat is. De lijnen en vallen dan ook samen met de lijnen en .

d

en

en .

Hun inproduct is dus .

Opgave 15
a

en liggen in één vlak, het voorvlak en punt ligt daar niet in.

b

en .

De lijnen en zijn niet evenwijdig (richtingsvectoren zijn niet evenwijdig).

De lijnen liggen beide in vlak . Dus ze snijden elkaar.

In een rechter zijaanzicht zie je dat de -coördinaat van het snijpunt is en de -coördinaat .

In een vooraanzicht zie je dat de -coördinaat van het snijpunt is en de -coördinaat .

Snijpunt: .

c

Lijn ligt in vlak en dit vlak is niet evenwijdig met vlak . Dit betekent dat lijn vlak snijdt.

Omdat lijn recht omhoog gaat is de -coördinaat van het snijpunt en de -coördinaat ook .

In een rechter zijaanzicht zie je dat de -coördinaat van het snijpunt is.

Het snijpunt is dus .

d

Lijn ligt in vlak en dit vlak is evenwijdig met vlak . Dit betekent dat lijn evenwijdig is met vlak .

Opgave 16
a

Nee. In een bovenaanzicht (kijk in de -richting naar beneden op de figuur) kun je zien dat de vier opstaande ribben als je ze doortrekt niet door hetzelfde punt gaan.

b

en , dus .

De vectoren en hebben dus dezelfde richting. Dit betekent dat een vlak is.

en liggen beide in vlak en ze zijn niet evenwijdig, dit betekent dat ze elkaar snijden.

In een bovenaanzicht zie je dat de -waarde van dit snijpunt en de -waarde is. In een vooraanzicht zie je dat de -waarde is. Je vindt dus .

Opgave 17
a

, hieruit volgt dat een vlakke vierhoek is.

b

, , en .

. Dus ligt punt op lijn .
. Dus ligt punt op lijn .
De punten en liggen beide in vlak en dus ligt ook de lijn door beide punten in vlak .

Opgave 18Regelmatig driezijdig prisma
Regelmatig driezijdig prisma
a

Maak aanzichten en zet daarin de gegevens in.

De -coördinaat van is hetzelfde als die van en , dus .

De -coördinaat van is .

De -coördinaat van is .

Dus .

Op dezelfde manier vind je dat .

b

Ze zijn niet evenwijdig (richtingsvectoren) en liggen beide in vlak .

In een bovenaanzicht zie je dat de -coördinaat van het snijpunt is. In datzelfde aanzicht vind je met behulp van gelijkvormigheid dat de -coördinaat van snijpunt gelijk is aan .

In een vooraanzicht vind je met behulp van gelijkvormigheid dat de -coördinaat van het snijpunt gelijk is aan .

Het snijpunt is .

c

Deze lijnen kruisen elkaar.

Opgave 19
a

, gebruik richtingsvectoren.

b

Kruisende lijnen.

c

is evenwijdig met vlak .

d

en punt liggen in vlak en punt niet.

Opgave 20
a

Beide lijnen liggen in vlak . Snijpunt (maak aanzichten) is .

b

verder | terug