Meetkundige berekeningen > Punten, lijnen, vlakken
123456Punten, lijnen, vlakken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Ja, ze liggen in het vlak `FGSR` en lopen niet evenwijdig.

b

Nee, ze liggen niet in hetzelfde vlak.

c

Ja, als je de kabels verlengd (en lijnen zijn oneindig lang). Ze liggen in het vlak `ACSQ` en lopen niet evenwijdig.

d

Nee, ook niet als je de kabels verlengd. Ze liggen niet in hetzelfde vlak.

e

`2` m.

Opgave 1
a

Door `B` , `R` en `F` gaat het vlak `BRF` en daar ligt `Q` niet in. Dus liggen de lijnen `BR` en `FQ` niet in één vlak. Ze kruisen elkaar.

b

Omdat ze op de lijn `AC` liggen en die ligt in het vlak. Je kunt dat zien in een bovenaanzicht, of door de vectoren `vec(AE)` , `AG` en `AS` te vergelijken, ze zijn een veelvoud van elkaar en hebben dus dezelfde richting.

c

`vec(BR) = ((text(-)4),(text(-)4),(5))` en `vec(FS) = ((text(-)2),(0),(5))` . Dus nee, ze zijn niet evenwijdig, ze kruisen elkaar.

Opgave 2
a

Zie het bovenaanzicht bij c.

`D` ligt op lijnstuk `OB` . Dit betekent dat punt `D` in vlak `BOPR` ligt.

b

De lijnen liggen beide in vlak `AOPQ` . Ze zijn duidelijk niet evenwijdig (kun je ook controleren met de richtingsvectoren), dus snijden ze elkaar.

c

`(5;5;12,5)`

Opgave 3
a

Deze zijn evenwijdig.

b

Deze snijden elkaar.

Opgave 4
a

De vlakken snijden elkaar.

b

De vlakken snijden elkaar.

Opgave 5
a

`4`

b

`8`

c

`text(-)4`

Opgave 6
a

Kruisende lijnen.

b

Snijdende lijnen, beide liggen in vlak `ABGD` .

c

Snijdende lijnen, beide liggen in vlak `MPCR` .

d

Kruisende lijnen.

e

Evenwijdige lijnen.

f

Samenvallende lijnen.

Opgave 7
a

`B` , `F` en `E` liggen in zijvlak `BCFE` en `A` ligt daar niet in. Beide lijnen liggen dus niet in één vlak. Ze kruisen elkaar dus.

b

Omdat `MN text(//) DF` (richtingsvectoren) liggen de punten  `D` , `M` , `F` en `N` in één vlak. Beide lijnen zijn niet evenwijdig en snijden elkaar dus. Het snijpunt is `S(4, 0, text(-)4)`

c

ongeveer `37°`

Opgave 8
a

Punt `C` ligt op lijn `DC` , maar ook in vlak `AGE` want `EG text(//) AC` . Dus lijn `DC` snijdt vlak `AGE` in `C` .

b

Lijn `DB` ligt in vlak `OBFD` . De punten `M` , het snijpunt van `AC` en `OB` , en `N` , het snijpunt van `EG` en `DF` liggen zowel in vlak `ACGE` als in vlak `OBFD` en dus is lijn `MN` de snijlijn van beide vlakken. `DB` en `MN` snijden elkaar (want liggen in vlak `OBFD` ) en daarom snijdt `DB` het vlak `AGE` .

c

`AC text(//) EG` en dus is `EG text(//) ACD` .

d

`BF` ligt in `OBFD` . Punt `D` ligt in `ACD` en in `OBFD` . Beide vlakken hebben een snijlijn en daar gaat `BF` doorheen.

Opgave 9
a

`AE` ligt in vlak `AFCE` en is evenwijdig met `FC` (richtingsvectoren).

b

`FM` ligt in het `yz` -vlak en `BE` ook. Deze lijnen zijn (richtingsvectoren) niet evenwijdig en snijden elkaar dus. In een vooraanzicht (kijken in de `x` -richting) kun je het snijpunt zien: `S(0, text(-)3, 6)` .

Opgave 10
a

Bekijk vlak `ACGE` .
Dit vlak snijdt `OMB` volgens de lijn `MS` , waarin `S` het snijpunt van `BO` en `AC` is.
Dit vlak snijdt `CFD` volgens de lijn `CT` , waarin `T` het snijpunt van `FD` en `EG` is.
De lijnen `MS` en `TC` zijn niet evenwijdig (richtingsvectoren) en snijden elkaar dus. Daarom hebben beide gegeven vlakken een gemeenschappelijk punt en snijden ze elkaar.

b

`BM text(//) ND` , `BO text(//) FD` en `OM text(//) NF` .

De vlakken zijn evenwijdig.

Opgave 11
a

`DF text(//) BE` en `DA text(//) BC` .

b

De lijnen `DF` en `BM` hebben een snijpunt, want ze liggen beide in het `yz` -vlak en zijn niet evenwijdig.

Opgave 12

Welke beweringen zijn waar?

Als twee lijnen in eenzelfde vlak liggen, dan snijden ze elkaar.

Een vlak wordt bepaald door drie punten, die niet op één lijn liggen.

Twee lijnen die niet dezelfde richtingsvector hebben snijden elkaar.

Twee vlakken die geen gemeenschappelijke punten hebben, zijn evenwijdig.

Opgave 13

De lijnen kruisen elkaar.

Opgave 14
a

Ja, want `AD text(//) MN` .

b

Nee, want `A` , `M` en `T` liggen in vlak `ABT` en daar ligt `O` niet in. Dit zijn twee kruisende lijnen.

c

`S(0, 8, 12)`

d

ongeveer `26,5°`

Opgave 15
a

`BF` en `E` liggen in één vlak, het voorvlak `ABFE` en punt `T` ligt daar niet in.

b

De lijnen zijn niet evenwijdig en liggen beide in vlak `ACGTE` .

Snijpunt: `(8 , text(-)4, text(-)4)`

c

Lijn `BF` ligt in vlak `ABFE` en dit vlak is niet evenwijdig met vlak `DGT` . Dit betekent dat lijn `BF` vlak `DGT` snijdt. 

Het snijpunt is  `(4, 4, 12)` .

d

Lijn `BM` ligt in vlak `ABM` en dit vlak is evenwijdig met vlak `EFT` . Dit betekent dat lijn `BM` evenwijdig is met vlak `EFT` .

Opgave 16
a
b

Nee. In een bovenaanzicht (kijk in de `z` -richting naar beneden op de figuur) kun je zien dat de vier opstaande ribben als je ze doortrekt niet door hetzelfde punt gaan.

c

Ze liggen beide in vlak `ABFE` en dat is een vlak omdat `AB` en `EF` evenwijdig zijn (controleren met vectoren). In het bovenaanzicht zie je dat de `x` -waarde van dit snijpunt `1` en de `y` -waarde `0` is. In het vooraanzicht (dus kijk in de `x` -richting op de figuur) zie je dat de `z` -waarde `6` is. Je vindt dus `S(1, 0, 6)` .

Opgave 17
a

`KB text(//) DL` , hieruit volgt dat `BLDK` een vlakke vierhoek is.

b

`vec(DN) = 2 * vec(DL)` . Dus ligt punt `N` op lijn `DL` .
`vec(BM) = 2 * vec(BL)` . Dus ligt punt `M` op lijn `BL` .
De punten `M` en `N` liggen beide in vlak `BLDK` en dus ligt ook de lijn door beide punten in vlak `BLDK` .

Opgave 18
a

`C(4, 0, 3sqrt(3))` en `F(text(-)4, 0, 3sqrt(3))` .

b

Ze zijn niet evenwijdig en liggen beide in vlak `ABMN` .

Snijpunt: `(text(-)1 1/3 , 0, sqrt(3))` .

c

Deze lijnen kruisen elkaar.

Opgave 19
a

`BC // FG` , gebruik richtingsvectoren.

b

Kruisende lijnen.

c

`AD` is evenwijdig met vlak `BCGF` .

d

`EA` en punt `B` liggen in vlak `ABGE` en punt `M` niet.

Opgave 20
a

Beide lijnen liggen in vlak `BCGF` . Snijpunt (maak aanzichten) is `(8, 6, text(-)5)` .

b

`~~ 25^@`

verder | terug