Meetkundige berekeningen > Punten, lijnen, vlakken
123456Punten, lijnen, vlakken

Voorbeeld 1

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Van de kubus `OABC.DEFG` is `M` het midden van `AE` en `N` het midden van `AB` .
Bepaal de onderlinge ligging van de lijnen:

  • `DF` en `MB`  

  • `MC` en `DN`

  • `BG` en `DN`

> antwoord

Voor de onderlinge ligging van `DF` en `MB` kun je zo redeneren:

  • `DF` en `MB` zijn niet evenwijdig, vergelijk eventueel hun richtingsvectoren.

  • `MB` en punt `F` liggen in het voorvlak.

  • Punt `D` ligt niet in het voorvlak.

  • `DF` en `MB` liggen dus niet in één vlak en kunnen elkaar daarom niet snijden.

  • `DF` en `MB` zijn kruisende lijnen.

Voor de onderlinge ligging van `CM` en `DN` kun je zo redeneren:

  • `CM` en `DN` zijn niet evenwijdig, vergelijk eventueel hun richtingsvectoren.

  • `CM` en punt `H` liggen in het vlak `HMC` .

  • Ligt punt `N` ook in dat vlak?

  • `MN` en `CD` zijn evenwijdig (richtingsvectoren) en vormen dus vlak `MNCH` .

  • `CM` en `DN` liggen in vlak `MNCH` en zijn dus evenwijdig.

Voor de onderlinge ligging van `BG` en `DN` kun je zo redeneren:

  • Beide lijnen liggen in vlak `ABGD` .

  • De lijnen zijn niet evenwijdig, dus snijden ze elkaar.

Opgave 5

In het voorbeeld wordt beredeneerd dat de lijnen `BG` en `DN` elkaar snijden.

a

Wat is de `y` -coördinaat van het snijpunt?

b

Teken het bovenaanzicht en bepaal zo de `x` -coördinaat van het snijpunt.

c

Teken het vooraanzicht en bepaal zo de `z` -coördinaat van het snijpunt.

Opgave 6

In het voorbeeld zie je hoe je de onderlinge ligging van lijnen kunt beredeneren. Gegeven is de kubus `OABC.DEFH` met `A(6, 0, 0)` , `C(0, 6, 0)` en `D(0, 0, 6)` . `M` is het midden van `AE` . Op de ribben van deze kubus liggen `P(6, 2, 0)` , `Q(6, 5, 0)` en `R(0, 2, 6)` .
Beredeneer de onderlinge ligging van de lijnen:

a

`EF` en `OD`

b

`PR` en `QG`

c

`PR` en `CM`

d

`QR` en `CM`

e

`PR` en `BG`

f

`PQ` en `AB`

Opgave 7

Het prisma `ABC.DEF` is gegeven door `A(0, text(-)3, 0)` , `B(4, 0, 0)` , `C(0, 3, 0)` en `D(0, text(-)3, 4)` . Verder is `M` het midden van `AB` en `N` het midden van `BC` .

a

Beredeneer dat de zijvlaksdiagonalen `AE` en `BF` elkaar kruisen.

b

Beredeneer dat de lijnen `DM` en `FN` elkaar snijden. Welke coördinaten heeft hun snijpunt `S` ?

c

Welke hoek maken de lijnen `DM` en `FN` met elkaar?

verder | terug