Meetkundige berekeningen

Meetkundige berekeningen > Punten, lijnen, vlakken

123456Punten, lijnen, vlakken

Voorbeeld 1

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Van de kubus `OABC.DEFG` is `M` het midden van `AE` en `N` het midden van `AB` .
Bepaal de onderlinge ligging van de lijnen:

`DF` en `MB`
`MC` en `DN`
`BG` en `DN`

> antwoord

Voor de onderlinge ligging van `DF` en `MB` kun je zo redeneren:

`DF` en `MB` zijn niet evenwijdig, vergelijk eventueel hun richtingsvectoren.
`MB` en punt `F` liggen in het voorvlak.
Punt `D` ligt niet in het voorvlak.
`DF` en `MB` liggen dus niet in één vlak en kunnen elkaar daarom niet snijden.
`DF` en `MB` zijn kruisende lijnen.

Voor de onderlinge ligging van `CM` en `DN` kun je zo redeneren:

`CM` en `DN` zijn niet evenwijdig, vergelijk eventueel hun richtingsvectoren.
`CM` en punt `H` liggen in het vlak `HMC` .
Ligt punt `N` ook in dat vlak?
`MN` en `CD` zijn evenwijdig (richtingsvectoren) en vormen dus vlak `MNCH` .
`CM` en `DN` liggen in vlak `MNCH` en zijn dus evenwijdig.

Voor de onderlinge ligging van `BG` en `DN` kun je zo redeneren:

Beide lijnen liggen in vlak `ABGD` .
De lijnen zijn niet evenwijdig, dus snijden ze elkaar.

Opgave 5

In Voorbeeld 1 wordt beredeneerd dat de lijnen `BG` en `DN` elkaar snijden.

Welke `y` -coördinaat heeft het snijpunt?

Bekijk een bovenaanzicht (met de applet of teken het zelf) en bepaal zo de `x` -coördinaat van het snijpunt.

Bekijk het vooraanzicht en bepaal zo de `z` -coördinaat van het snijpunt.

Opgave 6

In Voorbeeld 1 zie je hoe je de onderlinge ligging van lijnen kunt beredeneren. Gegeven is de kubus `OABC.DEFH` met `A(6, 0, 0)` , `C(0, 6, 0)` en `D(0, 0, 6)` . `M` is het midden van `AE` . Op de ribben van deze kubus liggen `P(6, 2, 0)` , `Q(6, 5, 0)` en `R(0, 2, 6)` .
Beredeneer de onderlinge ligging van de lijnen:

`EF` en `OD`

`PR` en `QG`

`PR` en `CM`

`QR` en `CM`

`PR` en `BG`

`PQ` en `AB`

Opgave 7

Het prisma `ABC.DEF` is gegeven door `A(0, text(-)3, 0)` , `B(4, 0, 0)` , `C(0, 3, 0)` en `D(0, text(-)3, 4)` . Verder is `M` het midden van `AB` en `N` het midden van `BC` .

Beredeneer dat de zijvlaksdiagonalen `AE` en `BF` elkaar kruisen.

Beredeneer dat de lijnen `DM` en `FN` elkaar snijden. Welke coördinaten heeft hun snijpunt `S` ?

Welke hoek maken de lijnen `DM` en `FN` met elkaar?

verder | terug