Meetkundige berekeningen > Punten, lijnen, vlakken
123456Punten, lijnen, vlakken

Uitleg

Hier zie je een constructie met staalkabels en vier stalen masten in een driedimensionaal cartesisch `Oxyz` -assenstelsel. Alle masten zijn evenwijdig aan de `z` -as en `5` m hoog. De constructie dient ter ondersteuning van een grote tent met een vierkant grondvlak van `10` m bij `10` m.

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

Punt `P` heeft de coördinaten `(4, 4, 5)` , punt `Q` is `(6, 4, 5)` .
In de figuur lijken allerlei kabels elkaar te snijden, maar dat is gezichtsbedrog, draai de figuur maar.

Zo liggen de kabels (en dus de lijnen) `FS` en `GR` in hetzelfde vlak `FGSR` . Lijnen die in hetzelfde vlak liggen lopen evenwijdig of snijden elkaar. Evenwijdig zijn ze niet en dus snijden ze elkaar.
Maar de lijnen `FS` en `DQ` liggen niet in hetzelfde vlak. Deze lijnen zijn niet evenwijdig, maar ze snijden elkaar ook niet. Het zijn kruisende lijnen.

Aanzichten helpen bij het beoordelen van de onderlinge ligging van punten, lijnen en vlakken. Bijvoorbeeld zie je in een bovenaanzicht dat punt `D` in het vlak `BOPR` ligt. En zie je in een vooraanzicht dat de lijnen `AQ` en `OP` elkaar snijden.

Soms kun je met coördinaten redeneren. Bijvoorbeeld de lijnen `EP` en `DS` lijken wel evenwijdig. Gelukkig weet je van al deze punten de coördinaten: `E(6, 4, 0)` , `P(4, 4, 5)` , `D(4, 4, 0)` en `S(4, 6, 5)` . Dus zijn de richtingsvectoren van beide lijnen:
`vec(EP) = ((text(-)2),(0),(5))` en `vec(DS) = ((0),(2),(5))`
Deze vectoren hebben niet dezelfde richting en dus zijn deze lijnen niet evenwijdig.

Opgave 1

Bekijk de uitleg en vooral de figuur, zonder hem eerst te draaien.

a

De lijnen `BR` en `FQ` lijken een snijpunt te hebben. Waarom is dat toch niet het geval? Hoe noem je hun onderlinge ligging?

b

Waarom liggen de punten `E` en `G` in vlak `ACSQ` ?

c

De lijnen `BR` en `FS` lijken evenwijdig. Is dat ook zo? Licht je antwoord toe met vectoren.

Opgave 2

Bekijk de uitleg.

a

Toon met behulp van het bovenaanzicht aan dat inderdaad punt `D` in vlak `BOPR` ligt.

b

Waarom kun je zeggen dat de lijnen  `AQ` en `OP` elkaar snijden?

c

Bepaal met behulp van het boven- en zijaanzicht de coördinaten van het snijpunt van de lijnen `AQ` en `OP` .

verder | terug