Meetkundige berekeningen > Hoeken en afstanden
123456Hoeken en afstanden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Teken vlak en daarin een lijnstuk vanuit loodrecht op . De gevraagde afstand is de lengte van dat lijnstukje, dus m.

b

m.

c

m.

d

Gebruik de richtingsvectoren en . De hoek is ongeveer .

e

Dit is de hoek tussen en , zie de uitleg. De hoek is ongeveer .

f

Gebruik een vooraanzicht (dus kijk in de -richting) en gelijkvormigheid. De gevraagde afstand is m.

Opgave 1
a

Doen, bekijk door de figuur te draaien hoe je die tekening het beste kunt maken.

b

Doen, bekijk door de figuur te draaien hoe je die tekening het beste kunt maken.

c

Noem deze afstand , dan kun je in een vooraanzicht (-richting) met gelijkvormigheid zien: . Dit betekent: .

Opgave 2
a

Teken vlak . Dit is een symmetrisch trapezium met , en hoogte . Verder geldt dat .

Daarin kun je de loodrechte afstand van tot aangeven. Dit is lijnstuk .

is gelijkvormig met .

geeft .

b

Gebruik een bovenaanzicht van het geheel. Je ziet beide lijnen als evenwijdige lijnen naast elkaar lopen. Hun kortste onderlinge afstand is dan de afstand van tot en dat is .

c

Gebruik een vooraanzicht van het geheel. Je kunt daarin hun onderlinge afstand aangeven.
Met gelijkvormigheid (op dezelfde manier als bij a) vind je dan:

, zodat .

d

Deze lijn snijdt het vlak en dan is hun onderlinge (kortste) afstand altijd .

Opgave 3
a

Omdat deze lijnen elkaar snijden.

b

Noem het snijpunt van beide lijnen

De gevraagde hoek is .

Met , en kun je trapezium op ware grootte tekenen. Daarmee kun je ook op ware grootte tekenen. Dit is een gelijkbenige driehoek met een basis van en benen (gelijkvormigheid gebruiken).

geeft .

c

Die hoek is even groot omdat .

De gevraagde hoek bereken je nu in rechthoek .

(zie antwoord c) geeft .

Opgave 4
a

Omdat is dit .

En , zodat de gevraagde hoek ongeveer is.

Dit kan ook met behulp van het inproduct van en . Je hoeft dan niet verder na te denken over welke hoek het nu precies is.

b

, dus .

c

, dus .

Opgave 5
a

ongeveer

b

en .

Hun inproduct is dus .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

c

Punt is de loodrechte projectie van op vlak , dus de gevraagde hoek is .

geeft .

d

In een vooraanzicht kun je die hoek aangeven.

De gezochte hoek is .

geeft .

Opgave 6
a

en .

Hun inproduct is dus .

De hoek tussen de vectoren is ongeveer .

b

De hoek tussen lijnen is altijd de scherpe hoek. Dus de hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

c

Omdat en niet loodrecht op de snijlijn van beide vlakken (de -as) staat. en staan dat wel en die maken een hoek van .

Opgave 7
a

en .

Hun inproduct is dus .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

b

en .

Hun inproduct is dus .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

c

en

Hun inproduct is dus .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

Opgave 8
a

Omdat anders geen (plat) vlak is. De lijnen en moeten evenwijdig lopen.

b

Het vlak door en evenwijdig met is het -vlak. De gevraagde afstand is daarom .

c

Het -vlak staat loodrecht op staat. De gevraagde is dus de lengte van het loodlijnstuk op lijn . Je kunt de lengte van dit loodlijnstuk berekenen met goniometrie.

en .

.

d

Maak een bovenaanzicht, dit is een vierkant van bij .

Het snijpunt van de diagonalen en is .

De gevraagde afstand: .

Opgave 9
a

Noem het snijpunt van de loodlijn uit op .

De gevraagde afstand is .

is gelijkvormig met .

, en .

geeft .

b

Het vlak is een vlak waar in ligt en dat evenwijdig is met . In een vooraanzicht (in de -richting kijken) kun je dan de gevraagde afstand tekenen, loodrecht op vlak . Dit is lijnstuk .

De oppervlakte van de driehoek is .

Je kunt ook als hoogte nemen, dan heeft de basis een lengte van .

geeft .

(Je kunt ook gelijkvormigheid gebruiken.)

c

Dat is dezelfde afstand als bij b werd gevraagd, dus ongeveer .

Opgave 10
a

Verleng tot die lijn de -as snijdt in .

Verleng tot die lijn de -as snijdt in .

is de snijlijn van beide vlakken.

b

Je hebt rechthoekige driehoek met daarin hoogtelijn .

en en .

geeft .

c

en dit geeft .

Opgave 11
a

Die hoek zie je meteen in een vooraanzicht (in de -richting kijken). Dit is een gelijkbenige driehoek.

, waarbij de gezochte hoek is en .

b

.

De gezochte hoek is .

geeft .

De hoek tussen de vlakken en is .

Opgave 12

Welke beweringen zijn waar?

De afstand tussen twee kruisende lijnen is altijd .

De afstand tussen twee evenwijdige vlakken en is de lengte van het loodlijnstuk vanuit op vlak tot vlak .

De hoek tussen twee lijnen kun je bepalen door de hoek tussen hun richtingsvectoren te berekenen.

De hoek tussen twee vlakken kun je niet bepalen.

Opgave 13
a

Bekijk een vooraanzicht of een zijaanzicht. Die afstand is .

b

Bekijk een zijaanzicht. De gezochte afstand is de afstand van tot .

.

Met gelijkvormigheid vind je voor de afstand .

c

en

Hun inproduct is dus .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

d

De gezochte hoek is gelijk aan .

geeft .

Opgave 14
a

en .
.

b

c

Die afstand is en dus .

d

Maak een bovenaanzicht. De afstand van punt tot vlak is de lengte van lijnstuk , waarbij het snijpunt is van de loodlijn door op .

en .

is gelijkvormig met , dus .

e

ongeveer

f

Teken een bovenaanzicht (kijk in de -richting) en werk met verhoudingen.

De lengte van lijnstuk is de gevraagde afstand.

De gevraagde afstand is .

Opgave 15
a

b

en .

Hun inproduct is dus .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

c

d

geeft .

e

geeft .

f

Bekijk een vooraanzicht.

geeft .

Opgave 16
a

Maak een bovenaanzicht van de situatie. Die afstand is .

b

De gevraagde afstand is de afstand van tot . (Teken eventueel eerst een bovenaanzicht.)

en met gelijkvormigheid vind je .

c

, en .

Hun inproduct is dus .

De hoek is ongeveer .

d

is het snijpunt van en is.

De gevraagde hoek is .

geeft .

e

De hoek is het grootst als het midden is van en het kleinst als samenvalt met hoekpunt of .

is het midden van .

Trek , het snijpunt met de -as is .

De hoek tussen lijn en vlak is .

geeft .

valt samen met .

Lijn snijdt het -vlak in punt .

De hoek tussen lijn en vlak is .

en zodat .

De hoek varieert tussen ongeveer en .

f

is het midden van .

Trek , het snijpunt met de -as is .

De hoek tussen de vlakken is gelijk aan (zie antwoord e).

Opgave 17
a

Werk met een vooraanzicht. Omdat een plat vlak is moet .
Hieruit volgt .

b

en .

en .

Hun inproduct is dus .

Het is een parallellogram.

c

De afstand van tot is de lengte van de hoogtelijn vanuit op in driehoek .

is het snijpunt van de hoogtelijn met . Dus is de gevraagde afstand.

en .

Hun inproduct is en dus

geeft .

d

Die afstand is de hoogtelijn vanuit in .

De lengte van de hoogtelijn met basis is .

De lengte van hoogtelijn vanuit is .

e

Verleng tot hij snijdt in .
Verleng tot hij snijdt in .
is een hoogtelijn in , .
Teken ook . De gevraagde hoek is .

geeft .

Opgave 18Afgeknotte piramide
Afgeknotte piramide
a

Maak een bovenaanzicht. Je vindt en .

b

Gebruik het inproduct van hun richtingsvectoren. Je vindt ongeveer .

c

Teken in vierhoek een hoogtelijn vanuit het midden van op lijn . Bereken daarvan de lengte met behulp van gelijkvormigheid. Dan krijg je voor de gevraagde afstand .

d

Teken in vierhoek een hoogtelijn vanuit op de (schuine) lijn die vlak voorstelt. Bereken daarvan de lengte met behulp van gelijkvormigheid. Dan krijg je voor de gevraagde afstand .

Opgave 19
a

.

b

c

Die afstand is .

d

Die afstand is .

e

f

verder | terug