Doen, bekijk door de figuur te draaien hoe je die tekening het beste kunt maken.

Doen, bekijk door de figuur te draaien hoe je die tekening het beste kunt maken.

Noem deze afstand `a` , dan kun je in een vooraanzicht ( `x` -richting) met gelijkvormigheid zien: `a/5 = 2/(sqrt(41))` . Dit betekent: `a = 10/(sqrt(41))` .

Teken vlak `ABFE` . Dit is een symmetrisch trapezium met `|AB| = 6` , `|EF| = 2` en hoogte `sqrt(20)` . Verder geldt dat `|AE|=sqrt(24)` .

Daarin kun je de loodrechte afstand van `F` tot `AE` aangeven. Dit is lijnstuk `FF'` .

`Delta AE'E` is gelijkvormig met `Delta EF'F` .

`sqrt(24)/2=sqrt(20)/(|FF'|)` geeft `|FF'|=(2sqrt(20))/sqrt(24)~~1,83` .

Gebruik een bovenaanzicht van het geheel. Je ziet beide lijnen als evenwijdige lijnen naast elkaar lopen. Hun kortste onderlinge afstand is dan de afstand van `(0,5; 0,5)` tot `(text(-)0,5; text(-)0,5)` en dat is `sqrt(2)` .

Gebruik een vooraanzicht van het geheel. Je kunt daarin hun onderlinge afstand `a` aangeven.
Met gelijkvormigheid (op dezelfde manier als bij a) vind je dan:

`a/2 = 4/(sqrt(20))` , zodat `a = 8/(sqrt(20))~~1,79` .

Deze lijn snijdt het vlak `BCGF` en dan is hun onderlinge (kortste) afstand altijd `0` .

Omdat deze lijnen elkaar snijden.

Noem het snijpunt van beide lijnen `U`

De gevraagde hoek is `/_AUB` .

Met `|AB|=10` , `|BR| = |AQ| = sqrt(57)` en `|RQ|=2` kun je trapezium `ABRQ` op ware grootte tekenen. Daarmee kun je ook `Delta AUB` op ware grootte tekenen. Dit is een gelijkbenige driehoek met een basis van `10` en benen `|AU| = |BU| = 5/4 * sqrt(57)` (gelijkvormigheid gebruiken).

`sin(1/2 angle AUB)= 5/(5/4 sqrt(57)) = 4/(sqrt(57))` geeft `angle AUB~~ 2 * 32^@ ~~ 64^@` .

Die hoek is even groot omdat `FS // // EP` .

De gevraagde hoek bereken je nu in rechthoek `FGSR` .

`tan(1/2 varphi) = 1/(2,5) = 0,4` (zie antwoord c) geeft `varphi ~~44^@` .

Omdat `GS // // FR` is dit `/_FRB` .

En `tan(/_FRB) = (sqrt(32))/5` , zodat de gevraagde hoek ongeveer `49^@` is.

Dit kan ook met behulp van het inproduct van `vec(BR)` en `vec(GS)` . Je hoeft dan niet verder na te denken over welke hoek het nu precies is.

`tan(/_FBR) = 5/(sqrt(32))` , dus `/_FBR ~~ 41^@` .

`tan(0,5*varphi) = 5/(6,25)` , dus `varphi ~~ 77^@` .

`vec(AE) = ((text(-)2),(2),(4))` en `vec(BF) = ((text(-)2),(text(-)2),(4))` .

Hun inproduct is `16 = 24 cos(varphi)` dus `varphi ~~ 48^@` .

De hoek tussen de lijnen `AE` en `BF` is ongeveer `48^@` .

`vec(AE) = ((text(-)2),(2),(4))` en `vec(CG) = ((2),(text(-)2),(4))` .

Hun inproduct is `8 = 24 cos(varphi)` dus `varphi ~~ 71^@` .

De hoek tussen de lijnen `AE` en `CG` is ongeveer `71^@` .

Punt `P(2, 1, 0)` is de loodrechte projectie van `F` op vlak `ABCD` , dus de gevraagde hoek is `/_PBF` .

`tan(/_PBF) = 4/(sqrt(8))` geeft `/_PBF ~~ 55^@` .

In een vooraanzicht kun je die hoek `varphi` aangeven.

De gezochte hoek is `angle BSA` .

`tan(0,5angle BSA) = 3/6` geeft `angle BSA~~ 53^@` .

`vec (ED)=((text(-)5),(0),(3))` en `vec (EF)=((0),(5),(text(-)4))` .

Hun inproduct is `text(-)12=sqrt(34)*sqrt(41)*cos(varphi)` dus `varphi~~109^@` .

De hoek tussen de vectoren is ongeveer `109^@` .

De hoek tussen lijnen is altijd de scherpe hoek. Dus de hoek tussen de lijnen `ED` en `EF` is ongeveer `180^@-109^@=71^@` .

Omdat `DE` en `DG` niet loodrecht op de snijlijn van beide vlakken (de `z` -as) staat. `OA` en `OC` staan dat wel en die maken een hoek van `90^@` .

`vec (AT)=((text(-)4),(4),(6))` en `vec (CT)=((4),(text(-)4),(6))` .

Hun inproduct is `4=sqrt(68)*sqrt(68)*cos(varphi)` dus `varphi~~87^@` .

De hoek tussen de lijnen `AT` en `CT` is ongeveer `87^@` .

`vec (AT)=((text(-)4),(4),(6))` en `vec (TB)=((4),(4),(text(-)6))` .

Hun inproduct is `text(-)36=sqrt(68)*sqrt(68)*cos(varphi)` dus `varphi~~122^@` .

De hoek tussen de lijnen `AT` en `TB` is ongeveer `58^@` .

`vec (AT)=((text(-)4),(4),(6))` en `vec (BC)=((text(-)8),(0),(0))`

Hun inproduct is `32=sqrt(68)*8*cos(varphi)` dus `varphi~~61^@` .

De hoek tussen de lijnen `AT` en `BC` is ongeveer `61^@` .

Omdat anders `DEFG` geen (plat) vlak is. De lijnen `DG` en `EF` moeten evenwijdig lopen.

Het vlak door `DG` en evenwijdig met `AE` is het `yz` -vlak. De gevraagde afstand is daarom `5` .

Het `yz` -vlak staat loodrecht op `OA` staat. De gevraagde is dus de lengte van het loodlijnstuk `OS` op lijn `DG` . Je kunt de lengte van dit loodlijnstuk berekenen met goniometrie.

`|DG|=sqrt(41)` en `angle ODG=5/sqrt(41)` .

`|OS| = |OD| * sin(/_ODG) = 9 * 5/(sqrt(41)) = 45/(sqrt(41))~~7,03` .

Maak een bovenaanzicht, dit is een vierkant van `4` bij `4` .

Het snijpunt van de diagonalen `AC` en `OB` is `M` .

De gevraagde afstand: `|OM| =1/2|OB|=1/2sqrt(50) =2,5sqrt(2)` .

Noem `O'` het snijpunt van de loodlijn uit `O` op `AT` .

De gevraagde afstand is `|OO'|` .

`Delta AOT` is gelijkvormig met `Delta TRO` .

`|AT|=sqrt(68)` , `|AO|=sqrt(32)` en `|OT|=6` .

`sqrt(68)/6=sqrt(32)/|OO'|` geeft `|OO'| ~~4,12` .

Het vlak `ADT` is een vlak waar `AT` in ligt en dat evenwijdig is met `BC` . In een vooraanzicht (in de `x` -richting kijken) kun je dan de gevraagde afstand tekenen, loodrecht op vlak `ABT` . Dit is lijnstuk `a` .

De oppervlakte van de driehoek is `1/2*8*6=24` .

Je kunt ook `a` als hoogte nemen, dan heeft de basis een lengte van `sqrt(52)` .

`1/2*sqrt(52)*a=24` geeft `a=48/sqrt(52)~~6,66` .

(Je kunt ook gelijkvormigheid gebruiken.)

Dat is dezelfde afstand als bij b werd gevraagd, dus ongeveer `6,66` .

Verleng `DE` tot die lijn de `x` -as snijdt in `P` .

Verleng `DG` tot die lijn de `y` -as snijdt in `Q` .

`PQ` is de snijlijn van beide vlakken.

Je hebt rechthoekige driehoek `OLK` met daarin hoogtelijn `OS` .

`|OL|=15` en `|OK|=11,25` en `|KL|=sqrt(15^2+11,25^2)=18,75` .

`11,25*15=18,75*|OS|` geeft `|OS|=9` .

`tan(/_OSD) = 9/9 = 1` en dit geeft `angle OSD=45^@` .

Die hoek zie je meteen in een vooraanzicht (in de `x` -richting kijken). Dit is een gelijkbenige driehoek.

`tan(1/2*alpha)=4/6` , waarbij `alpha` de gezochte hoek is en `alpha~~67^@` .

`|AP| = |CP| = (8sqrt(52))/(sqrt(68))` .

De gezochte hoek is `angle APC` .

`sin(1/2*angle APC)=(1/2|AC|)/(|AP|)=(1/2sqrt(128))/((8sqrt(52))/(sqrt(68)))` geeft `angle APC~~108^@` .

De hoek tussen de vlakken `ABT` en `BCT` is `180^@-108^@=72^@` .

Bekijk een vooraanzicht of een zijaanzicht. Die afstand is `4` .

Bekijk een zijaanzicht. De gezochte afstand is de afstand van `E` tot `AD` .

`|AD|=sqrt(6^2+4^2)=sqrt(52)` .

Met gelijkvormigheid vind je voor de afstand `(6*4)/sqrt(52)=24/sqrt(52)=6/13sqrt(52)` .

`vec (AG)=((text(-)4),(4),(6))` en `vec (EF)=((0),(4),(0))`

Hun inproduct is `16=sqrt(68)*4*cos(varphi)` dus `varphi~~61^@` .

De hoek tussen de lijnen `AG` en `EF` is ongeveer `61^@` .

De gezochte hoek `alpha` is gelijk aan `angle CBG` .

`tan(alpha)=6/4` geeft `alpha~~56^@` .

`M(4, text(-)4, 2)` en `N(0, 4, 8)` .
`|vec(MN)| = |((text(-)4),(8),(6))| = sqrt(116)` .

`8`

Die afstand is `|NH|` en dus `sqrt(4^2 + 8^2) = sqrt(80)` .

Maak een bovenaanzicht. De afstand van punt `N` tot vlak `ACGE` is de lengte van lijnstuk `N N'` , waarbij `N'` het snijpunt is van de loodlijn door `N` op `EG` .

`|EG|=sqrt(128)` en `|NG|=4` .

`Delta EFG` is gelijkvormig met `Delta GN'N` , dus `|N N'|=4/sqrt(128)*8=sqrt(8)` .

ongeveer `7,8`

Teken een bovenaanzicht (kijk in de `z` -richting) en werk met verhoudingen.

De lengte van lijnstuk `b` is de gevraagde afstand.

De gevraagde afstand is `(4*8)/(sqrt(80))~~3,6` .

`30^@`

`vec(BC) = ((text(-)8),(0),(0))` en `vec(AS) = ((text(-)4),(4),(8))` .

Hun inproduct is `32=8*sqrt(96)*cos(varphi)` dus `varphi~~66^@` .

De hoek tussen de lijnen `BC` en `AS` is ongeveer ` 66^@` .

`90^@`

`tan(alpha)=8/(1/2sqrt(128))` geeft `alpha~~55^@` .

`tan(alpha)=(0,5sqrt(128))/4` geeft `alpha~~55^@` .

Bekijk een vooraanzicht.

`tan(alpha)=8/16` geeft `alpha~~27^@` .

Maak een bovenaanzicht van de situatie. Die afstand is `6` .

De gevraagde afstand is de afstand van `F` tot `DE` . (Teken eventueel eerst een bovenaanzicht.)

`|DE|=sqrt(6^2+4^2)=sqrt(52)` en met gelijkvormigheid vind je `8*6/sqrt(52)=48/sqrt(52)` .

`Q(6,0,4)` , `vec (BQ)=((6),(text(-)4),(4))` en `vec (CF)=((0),(0),(8))` .

Hun inproduct is `32=sqrt(68)*8*cos(varphi)` dus `varphi~~61^@` .

De hoek is ongeveer `61^@` .

`S` is het snijpunt van `BF` en `CE` is.

De gevraagde hoek is `alpha=/_QBS` .

`tan(alpha)=6/(1/2sqrt(128))` geeft `alpha~~47^@` .

De hoek is het grootst als `P` het midden is van `EF` en het kleinst als `P` samenvalt met hoekpunt `E` of `F` .

`P` is het midden van `EF` .

Trek `PQ` , het snijpunt met de `x` -as is `R` .

De hoek tussen lijn `PQ` en vlak `ABC` is `alpha=angle PRO` .

`tan(alpha)=4/6` geeft `alpha~~34^@` .

`P` valt samen met `E` .

Lijn `EP` snijdt het `xy` -vlak in punt `T` .

De hoek tussen lijn `PQ` en vlak `ABC` is `alpha=angle PTB` .

`TB=2*|AB|=2sqrt(52)` en `tan(alpha)=8/(2sqrt(52))` zodat `alpha~~29^@` .

De hoek varieert tussen ongeveer `29^@` en `34^@` .

`P` is het midden van `EF` .

Trek `PQ` , het snijpunt met de `x` -as is `R` .

De hoek tussen de vlakken is gelijk aan `alpha=angle PRO~~34^@` (zie antwoord e).

Werk met een vooraanzicht. Omdat `DEFG` een plat vlak is moet `DG // // EF` .
Hieruit volgt `D(0, 0, 12)` .

`|DE|=|FG|=sqrt(8^2+2^2)=sqrt(68)` en `|EF|=|GD|=sqrt(8^2+6^2)=10` .

`vec (DE)=((8),(0),(text(-)2))` en `vec (DG)=((0),(8),(text(-)6))` .

Hun inproduct is `12=sqrt(68)*10*cos(varphi)` dus `varphi~~82^@=angle EDG` .

Het is een parallellogram.

De afstand van `A` tot `DG` is de lengte van de hoogtelijn vanuit `A` op `DG` in driehoek `AGD` .

`A'` is het snijpunt van de hoogtelijn met `DG` . Dus `A A'` is de gevraagde afstand.

`vec (AD)=((text(-)8),(0),(12))` en `vec (GD)=((0),(text(-)8),(6))` .

Hun inproduct is `72=sqrt(128)*10*cos(varphi)` en dus `angle D=varphi=60,050...^@`

`sin(angle D)=(|A A' |)/(sqrt(208))` geeft `|A A' | ~~12,5` .

Die afstand is de hoogtelijn vanuit `A` in `Delta AFE` .

De lengte van de hoogtelijn met basis `AF` is `sqrt(10^2-(1/2sqrt(80))^2)=sqrt(80)` .

De lengte van hoogtelijn vanuit `A` is `(sqrt(80)*sqrt(80))/10=8` .

Verleng `DG` tot hij `OC` snijdt in `L(0, 16, 0)` .
Verleng `DE` tot hij `OA` snijdt in `K(48, 0, 0)` .
`OS` is een hoogtelijn in `Delta OKL` , `|OS| = 768/sqrt(2560)` .
Teken ook `SD` . De gevraagde hoek is `angle OSD` .

`tan(angle OSD)=12/(768/sqrt(2560))` geeft `angle OSD~~38,3^@` .

Maak een bovenaanzicht. Je vindt `F(6, 4, 6)` en `G(3, 7, 6)` .

Gebruik het inproduct van hun richtingsvectoren. Je vindt ongeveer `18^@` .

Teken in vierhoek `BDHF` een hoogtelijn vanuit het midden van `BD` op lijn `BF` . Bereken daarvan de lengte met behulp van gelijkvormigheid. Dan krijg je voor de gevraagde afstand `(12)/(sqrt(40))` .

Teken in vierhoek `BDHF` een hoogtelijn vanuit `F` op de (schuine) lijn die vlak `ACGE` voorstelt. Bereken daarvan de lengte met behulp van gelijkvormigheid. Dan krijg je voor de gevraagde afstand `(18)/(sqrt(37))` .

`2sqrt(6)` .

`8`

Die afstand is `2sqrt(2)` .

Die afstand is `4sqrt(2)` .

`60^@`

`~~ 55^@`