Meetkundige berekeningen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

en .

b

Hun inproduct is dus .

De hoek tussen de vectoren is ongeveer .

c

Bijvoorbeeld of .

d

Opgave 2
a

en is gelijkvormig met .

geeft .

b

is gelijkvormig met .

en .

c

Ze kruisen elkaar omdat punt niet in het vlak (het -vlak) ligt.

De onderlinge afstand zie je in een bovenaanzicht als loodlijnstuk vanuit op lijn .

.

De onderlinge afstand tussen de lijnen is .

d

en .

Hun inproduct is dus .

De hoek tussen de lijnen en is ongeveer .

e

Trek door totdat die het -vlak snijdt. Dit snijpunt is .

De gevraagde hoek is (bijvoorbeeld) .

geeft .

Opgave 3

Het ondervlak is een vierkant, daarom moet het bovenvlak ook een vierkant zijn. Omdat je de punten en weet kun je de punten en bepalen. (Maak eventueel een bovenaanzicht.)

en

Opgave 4
a

b

en .

Hun inproduct is dus .

De hoek tussen de vectoren is ongeveer .

c

Neem . Het inproduct tussen de vectoren moet zijn.

Bijvoorbeeld staat de vector loodrecht op vector . Je kunt ook een andere vector nemen, zolang het inproduct maar is.

geeft .

Opgave 5
a

.

De hoogte van met als basis is .

.

De hoogte van trapezium is .

.

De totale oppervlakte van het dak is m2.

b

Het vooraanzicht is een gelijkbenige driehoek. De gevraagde hoek is de tophoek.

geeft .

c

In een bovenaanzicht zie je dat dit evenwijdige lijnen zijn. De gevraagde afstand is de lengte van het rode lijnstukje .

en .

De afstand tussen de lijnen en is ongeveer m.

d

Bekijk een zijaanzicht.

De afstand van punt en vlak is de lengte van lijnstuk .

Deze lengte kun je met gelijkvormigheid uitrekenen: .

De afstand tussen punt en vlak is ongeveer m.

Opgave 6
a

Bovenaanzicht maken en je ziet dat die afstand is.

b

Teken . De gevraagde doorsnede is trapezium .

c

is een symmetrisch trapezium met , en .

d

Die hoek is . (Maak een zijaanzicht.)

e

Die afstand is . (Maak een zijaanzicht.)

Opgave 7
a

Maak een bovenaanzicht. Je vindt en .

b

Gebruik het inproduct van hun richtingsvectoren. Je vindt ongeveer .

c

Teken in vierhoek een hoogtelijn vanuit het midden van op lijn . Bereken daarvan de lengte met behulp van gelijkvormigheid. Dan krijg je voor de gevraagde afstand .

d

Teken in vierhoek een hoogtelijn vanuit op de (schuine) lijn die vlak voorstelt. Bereken daarvan de lengte met behulp van gelijkvormigheid. Dan krijg je voor de gevraagde afstand .

Opgave 8
a

m2.

b

m2.

c

.

d

Teken in beide driehoeken hoogtelijnen vanuit , resp. op . Die hoogtelijnen hebben een gemeenschappelijk punt op . Nu is .
Je kunt dan in de hoek berekenen: en dat is de gevraagde hoek.

Opgave 9
a

en als het midden van is. Hiermee bereken je en . Gebruik verder het inproduct: .

b

Die afstand is de lengte van de hoogtelijn uit in . De zijden van deze driehoek zijn , en . Met de cosinusregel of met het inproduct kun je een hoek berekenen, bijvoorbeeld . Dus is de gevraagde afstand .

c

Gebruik een bovenaanzicht en een zijaanzicht. Je vindt dan , , en . De gevraagde oppervlakte is .

Opgave 10De vijf regelmatige lichamen
De vijf regelmatige lichamen
a

Dit is een echt pittige opgave, beschouw hem als een uitdaging!

b

Tetraëder: .
Kubus: .
Octaëder: .

c

Alle grensvlakken zijn regelmatige veelhoeken. De hoeken daarvan zijn (bij driehoeken), (bij vierhoeken), (bij vijhoeken), (bij zeshoeken), etc. De hoeken om elk hoekpunt van de figuur moeten samen kleiner zijn dan , anders krijg je geen ruimtelijke figuur. Verder komen er in zo'n hoekpunt altijd of meer vlakken bij elkaar. Het aantal mogelijkheden is dus beperkt:

  • Komen er drie (gelijkzijdige) driehoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een tetraëder (regelmatig viervlak).

  • Komen er vier (gelijkzijdige) driehoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een octaëder (regelmatig achtvlak).

  • Komen er vijf (gelijkzijdige) driehoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een icosaëder (regelmatig twintigvlak).

  • Komen er drie vierkanten in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een kubus.

  • Komen er drie regelmatige vijfhoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een dodecaëder (regelmatig twaalfvlak).

Alle andere mogelijkheden leveren of meer op voor de hoeken rond elk hoekpunt...

d

Zie www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/ voor 19 bewijzen van de formule van Euler (Engelstalig).

Opgave 11Tafeltje
Tafeltje
a

Het bovenaanzicht wordt een vierkant met zijden van mm en de twee diagonalen er in.
Bij elk hoekpunt en het snijpunt van de diagonalen komen twee letters: en bij het snijpunt van de diagonalen en verder bij elk hoekpunt de letters van de punten die recht boven elkaar liggen.

b

ligt cm boven het midden van het grondvlak. De lengte van is . De lengte van is . De gevraagde lengte is cm.

c

De lengte van is .
(of , waarbij en de middens zijn van respectievelijk en ). geeft mm (of cm).

(bron: herexamen wiskunde B1,2 havo 2000, opgave 5)

verder | terug