`|vec v|=sqrt(3^2+5^2)=sqrt(34)` en `|vec w|=sqrt(6^2+4^2)=sqrt(52)` .

Hun inproduct is `vec v*vec w=2=sqrt(34)*sqrt(52)*cos(varphi)` dus `varphi~~87,3^@` .

De hoek tussen de vectoren is ongeveer `87,3^@` .

Bijvoorbeeld `((4),(6))` of `((2),(3))` .

`vec z =((21),(text(-)7))`

`|OB|=sqrt(8^2+4^2)=sqrt(80)` en `Delta OSA` is gelijkvormig met `Delta BSC` .

`(|AO|)/(|CB|)=8/4=2` geeft `|OS|=(|BO|)/3*2=2/3sqrt(80)` .

`Delta OTD` is gelijkvormig met `Delta PTF` .

`|BF|=8/2=4` en `|BP|=12` .

Ze kruisen elkaar omdat punt `N` niet in het vlak `AMD` (het `xz` -vlak) ligt.

De onderlinge afstand zie je in een bovenaanzicht als loodlijnstuk vanuit `O` op lijn `AC` .

`|AC|=sqrt(8^2+8^2)=sqrt(128)` .

De onderlinge afstand tussen de lijnen is `(8*8)/(sqrt(128))=sqrt(32)` .

`vec (MN)=((text(-)8),(8),(text(-)2))` en `vec(OD)=((0),(0),(8))` .

Hun inproduct is `text(-)16=sqrt(132)*8*cos(varphi)` dus `varphi~~100^@` .

De hoek tussen de lijnen `MN` en `OD` is ongeveer `80^@` .

Trek `EF` door totdat die het `yz` -vlak snijdt. Dit snijpunt is `Q(0, 16, 8)` .

De gevraagde hoek is (bijvoorbeeld) `angle DQE` .

`tan (angle DQE)=8/16` geeft `angle DQE ~~27^@` .

`|vec(AB)|=sqrt(2^2+5^2+4^2)=sqrt(45)`

`vec (AB)=((text(-)7),(text(-)2),(12))` en `vec(AC)=((text(-)2),(text(-)3),(2))` .

Hun inproduct is `44=sqrt(197)*sqrt(17)*cos(varphi)` dus `varphi~~41^@` .

De hoek tussen de vectoren is ongeveer `41^@` .

Neem `D(x, y, z)` . Het inproduct tussen de vectoren moet `0` zijn.

Bijvoorbeeld staat de vector `((4),(0),(2))` loodrecht op vector `vec (AB)` . Je kunt ook een andere vector nemen, zolang het inproduct maar `0` is.

`vec(AD)=((x-2),(y-5),(z+4))=((4),(0),(2))` geeft `D(6, 5, text(-)2)` .

`|DE|=sqrt(3^2+5^2+6^2)=sqrt(70)` .

De hoogte van `Delta DAE` met `DA` als basis is `sqrt((sqrt(70))^2-5^2)=sqrt(45)` .

`text(oppervlakte )Delta DAE=text(oppervlakte )Delta CBF=1/2*10*sqrt(45)=5sqrt(45)` .

De hoogte van trapezium `ABFE` is `sqrt((sqrt(70))^2-3^2)=sqrt(61)` .

`text(oppervlakte ) ABFE=text(oppervlakte )DCFE=1/2*(12+6)/2*sqrt(61)=9sqrt(61)` .

De totale oppervlakte van het dak is `2*5sqrt(45)+2*9sqrt(61)=10sqrt(45)+18sqrt(61)` m².

Het vooraanzicht is een gelijkbenige driehoek. De gevraagde hoek `alpha` is de tophoek.

`tan(1/2alpha)=5/6` geeft `alpha~~80^@` .

In een bovenaanzicht zie je dat dit evenwijdige lijnen zijn. De gevraagde afstand is de lengte van het rode lijnstukje `a` .

`|AH|=sqrt(10^2+6^2)=sqrt(136)` en `a=(10*6)/sqrt(136)~~5,14` .

De afstand tussen de lijnen `AE` en `CF` is ongeveer `5,14` m.

Bekijk een zijaanzicht.

De afstand van punt `D` en vlak `DAE` is de lengte van lijnstuk `b` .

Deze lengte kun je met gelijkvormigheid uitrekenen: `a=(12*6)/sqrt(45)~~10,73` .

De afstand tussen punt `D` en vlak `DAE` is ongeveer `10,73` m.

Bovenaanzicht maken en je ziet dat die afstand `3` is.

Teken `RS // // PQ` . De gevraagde doorsnede is trapezium `PQRS` .

`PQRS` is een symmetrisch trapezium met `|RS| = 6` , `|PQ| = 3` en `|QR| = |PS| = 1/2 sqrt(45)` .

Die hoek is `30^@` . (Maak een zijaanzicht.)

Die afstand is `1/4 sqrt(27)` . (Maak een zijaanzicht.)

Maak een bovenaanzicht. Je vindt `F(6, 4, 6)` en `G(3, 7, 6)` .

Gebruik het inproduct van hun richtingsvectoren. Je vindt ongeveer `18^@` .

Teken in vierhoek `BDHF` een hoogtelijn vanuit het midden van `BD` op lijn `BF` . Bereken daarvan de lengte met behulp van gelijkvormigheid. Dan krijg je voor de gevraagde afstand `(12)/(sqrt(40))` .

Teken in vierhoek `BDHF` een hoogtelijn vanuit `F` op de (schuine) lijn die vlak `ACGE` voorstelt. Bereken daarvan de lengte met behulp van gelijkvormigheid. Dan krijg je voor de gevraagde afstand `(18)/(sqrt(37))` .

`8 * 1/2 * 4 * sqrt(80) = 16sqrt(80)` m².

`2 * 1/2 * 8 * 8 * 8 - 1/3 * 8 * 8 * 8 = 341 1/3` m².

`~~ 55^@` .

Teken in beide driehoeken hoogtelijnen vanuit `E` , resp. `F` op `BT` . Die hoogtelijnen hebben een gemeenschappelijk punt `P` op `BT` . Nu is `|FP| = |EP| = (4sqrt(80))/(sqrt(96))` .
Je kunt dan in `Delta EPF` de hoek `/_EPF` berekenen: `/_EPF ~~ 51^@` en dat is de gevraagde hoek.

`BD _|_ AC` en `|AM| = |BM| = |CM| = |DM|` als `M` het midden van `AC` is. Hiermee bereken je `B(6, 6, text(-)6sqrt(2))` en `D(6, 6, 6sqrt(2))` . Gebruik verder het inproduct: `/_DPB ~~ 103^@` .

Die afstand is de lengte van de hoogtelijn uit `P` in `Delta PBC` . De zijden van deze driehoek zijn `|PB| = sqrt(117)` , `|PC| = sqrt(153)` en `|BC| = 12` . Met de cosinusregel of met het inproduct kun je een hoek berekenen, bijvoorbeeld `/_PCB ~~ 52,7^@` . Dus is de gevraagde afstand `sqrt(117) * sin(52,7^@) ~~ 8,60` .

Gebruik een bovenaanzicht en een zijaanzicht. Je vindt dan `Q(3, 3, text(-)3sqrt(2))` , `R(3, 9, text(-)3sqrt(2))` , `S(3, 9, 3sqrt(2))` en `T(3, 3, 3sqrt(2))` . De gevraagde oppervlakte is `6 * 6sqrt(2) + 1/2 * 3 * 6sqrt(2) = 45sqrt(2)` .

Dit is een echt pittige opgave, beschouw hem als een uitdaging!

Tetraëder: `h=1/3rsqrt(6 )` .
Kubus: `h=r` .
Octaëder: `h=rsqrt(2 )` .

Alle grensvlakken zijn regelmatige veelhoeken. De hoeken daarvan zijn `60^@` (bij driehoeken), `90^@` (bij vierhoeken), `108^@` (bij vijfhoeken), `120^@` (bij zeshoeken), etc. De hoeken om elk hoekpunt van de figuur moeten samen kleiner zijn dan `360^@` , anders krijg je geen ruimtelijke figuur. Verder komen er in zo'n hoekpunt altijd `3` of meer vlakken bij elkaar. Het aantal mogelijkheden is dus beperkt:

• Komen er drie (gelijkzijdige) driehoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een tetraëder (regelmatig viervlak).

• Komen er vier (gelijkzijdige) driehoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een octaëder (regelmatig achtvlak).

• Komen er vijf (gelijkzijdige) driehoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een icosaëder (regelmatig twintigvlak).

• Komen er drie vierkanten in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een kubus.

• Komen er drie regelmatige vijfhoeken in elk hoekpunt bij elkaar, krijg je een dodecaëder (regelmatig twaalfvlak).

Alle andere mogelijkheden leveren `360^@` of meer op voor de hoeken rond elk hoekpunt...

Zie www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/ voor 19 bewijzen van de formule van Euler (Engelstalig).

Het bovenaanzicht wordt een vierkant met zijden van `40` mm en de twee diagonalen er in.
Bij elk hoekpunt en het snijpunt van de diagonalen komen twee letters: `P` en `Q` bij het snijpunt van de diagonalen en verder bij elk hoekpunt de letters van de punten die recht boven elkaar liggen.

`P` ligt `46 –13 =33` cm boven het midden van het grondvlak. De lengte van `AP` is `sqrt(20^2+20^2+33^2)` . De lengte van `AF` is `sqrt(40^2+46^2)` . De gevraagde lengte is `8 *sqrt(1889 )+8 *sqrt(3716 )≈835` cm.

De lengte van `PQ` is `46 –2 *13 =20` .
`QS:SG=PQ:CG=20 :46` (of `QS:SG=QM:MN=10 :23` , waarbij `M` en `N` de middens zijn van respectievelijk `PQ` en `EG` ). `QS=20/66*sqrt(1889 )` geeft `132`  mm (of `13,2` cm).