Meetkundige berekeningen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Toepassen

Opgave 10De vijf regelmatige lichamen
De vijf regelmatige lichamen

Al in de Oudheid was bekend dat er precies vijf regelmatige lichamen zijn. Dat zijn lichamen waarvan alle ribben en alle vlakken en alle hoeken gelijk zijn. Hier zie je er fraaie animaties van, die zijn gemaakt door Rüdiger Appel. Bekijk zijn website maar eens, je vind er deze figuren onder de naam "Platonic Solids" (dat is Engels voor "Platonische lichamen" ).
Je ziet in de applet (van links naar rechts) het tetraëder (regelmatig viervlak), de kubus (hexaëder, of regelmatig zesvlak), het octaëder (regelmatig achtvlak), het dodecaëder (regelmatig twaalfvlak) en het icosaëder (regelmatig twintigvlak).

Als je hun hoekpunten, hun ribben en hun grensvlakken telt, kom je tot:

aantal grensvlakken + aantal hoekpunten = aantal ribben + 2

Is dat toeval? Of kun je het verklaren?
En waarom zijn er niet meer dan vijf?

a

Neem en teken van het regelmatig viervlak, de kubus en het regelmatig achtvlak een dwarsdoorsnede waar minstens één ribbe een zijde van is en die door de draaias van de figuur gaat. Als je er zin in hebt moet je vooral ook proberen om dit in het regelmatig twaalfvlak en het regelmatig twintigvlak te doen!

b

Druk bij het regelmatig viervlak, de kubus en het regelmatig achtvlak de hoogte uit in .
De andere twee zijn erg moeilijk, een echte uitdaging!

c

Kun je verklaren waarom er niet meer dan vijf regelmatige lichamen zijn? (Tip: Denk aan de hoeken die in een hoekpunt bij elkaar komen.)

d

Probeer een verklaring te vinden voor de formule van Euler:
aantal grensvlakken + aantal hoekpunten = aantal ribben +

verder | terug