Modelleren

Modelleren > Evenredigheden

Overzicht

12345Evenredigheden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

De eerste uitspraak klopt: bij `h = 100` hoort `a ~~ 35730` m en dat is meer dan `35` km.

De tweede uitspraak klopt niet: bij `h = 50` hoort `a ~~ 25265` m en dan `35` km is niet twee keer zo veel.

De derde uitspraak klopt: bij `h = 100` hoort `a ~~ 25265` m en dat is afgerond `25` km.

Opgave 1

`I=6^3=216` , dus de inhoud is `216` cm³.

Dan wordt `I=(2r)*(2r)*(2r)=2*2*2*r^3=8r^3` .

De inhoud wordt `2^3=8` keer zo groot.

`1000^(1/3)=10` cm.

Opgave 2

`7,19*5^3=898,75` kg.

`7,19*r^3=10` geeft `r^3=10/(7,19)` en dus `r=(10/(7,19))^(1/3)~~1,12` .

De lengte is dan ongeveer `1,1` dm.

Het gewicht wordt `3^3=27` keer zo groot.

`G=7,87*r^3`

Opgave 3

Er zijn `6` vierkante grensvlakken met elk een oppervlakte van `r^2` .

De oppervlakte `A` is recht evenredig met de tweedemacht van `r` .

De oppervlakte is dan `6*5^2=150` cm².

`6*2*r^2 = 6*(sqrt2*r)^2` . De ribben moeten dan `sqrt(2)` keer zo groot worden.

`A = (1/6r)^(1/2)` of `r = sqrt(1/6A)`

Opgave 4

`y` is recht evenredig met `x` , de evenredigheidsconstante is `0,8` .

Er is geen evenredigheid.

`y` is recht evenredig met `x^8` . De evenredigheidsconstante is `0,005` .

`y` is recht evenredig met `x^(1/5)` . De evenredigheidsconstante is `(1/20)^(1/5)~~0,549` .

`y` is recht evenredig met `x^5` . De evenredigheidsconstante is `75` .

Opgave 5

`4/3pi`

`4/3pi*10^3~~4189` cm³.

`4/3pi*r^3=1000` geeft `r^3=1000/(4/3pi)` en dus `r=(750/pi)^(1/3)~~6,2` .

De straal is dan ongeveer `6,2` cm.

`4/3pi*r^3`	`=`	`I`
`r^3`	`=`	`(3I)/(4pi)`
`r`	`=`	`((3I)/(4pi))^(1/3)~~0,62*I^(1/3)`

De macht is `1/3` en de evenredigheidsconstante is ongeveer `0,62` .

Opgave 6

`4 pi*6^2 = 144pi` cm².

Vul `2r` in, in plaats van `r` . Dan krijg je: `A=4pi(2r)^2=4*4pir^2` .

Dit kun je ook als volgt beredeneren: omdat `A` recht evenredig is met de tweedemacht van `r` volgt dat als `A` vier keer zo groot wordt, `r` dan `sqrt(4)=2` keer zo groot wordt.

`A=4pi r^2` geeft `r^2=A/(4pi)` en dus `r = (A/(4pi))^(1/2)` . Dit kun je ook schrijven als `r= (0,5)/sqrt(pi)*A^(1/2)` . De evenredigheidsconstante is: `(1/(4pi))^(1/2)= (0,5)/sqrt(pi)` .

Opgave 7

`T=2pi(l/(9,81))^(1/2)=2pi*(1/(9,81))^(1/2)*l^(1/2)~~2,006*l^(1/2)` . Je ziet nu dat de evenredigheidsconstante ongeveer `2,006` is.

`2pi(l/(9,81))^(1/2)`	`=`	`T`
`(l/(9,81))^(1/2)`	`=`	`T/(2pi)`
`l/(9,81)`	`=`	`(T/(2pi))^2`
`l`	`=`	`9,81(1/(2pi))^2T^2`
`l`	`~~`	`0,248*T^2`

De evenredigheidsconstante is ongeveer `0,248` .

`T=2pi*(l/(9,81))^(1/2)=2pi*((0,10)/(9,81))^(1/2)~~0,63`

De slingertijd is dan ongeveer `0,63` s.

`l=9,81*(1/(2pi))^2*8^2~~15,9` , dus het koord is dan ongeveer `16` m.

Opgave 8

De meeh-coëfficiënt.

Breid de tabel uit met een kolom voor `G^(2/3)` en een kolom voor `H/(G^(2/3))` .
Als het goed is, vind je in de laatste kolom steeds (ongeveer) hetzelfde getal, namelijk `8,9` . Dit is de gevraagde meeh-coëfficiënt.
Voor de Schotse Hooglanders geldt: `H = 8,9 * G^(2/3)` .

`510 ~~ 8,9 * G^(2/3)` geeft `G^(2/3) ~~ 57,3` en dus `G ~~ (57,3)^(1,5) ~~ 434` kg.

`8,9 * G^(2/3) = H` geeft `G^(2/3) = 1/(8,9) * H` en dus `G = (1/(8,9))^(1,5) * H^(1,5)` .
De evenredigheidsconstante is dan `(1/(8,9))^1,5~~0,038` .

Minder dan twee keer zo groot, namelijk `2^(2/3) ~~ 1,59` keer zo groot.

Opgave 9

Je weet dat `H=c*G^(2/3)` .

Lees een punt af. Je ziet bijvoorbeeld dat bij een gewicht van `80` kg een aap een huidoppervlakte heeft van ongeveer `220` dm². Dit invullen in de formule geeft `220=c*80^(2/3)` en dus `c=220/80^(2/3)~~11,8` .

Als je een ander punt afleest, krijg je ook een waarde van `11,8` .

Opgave 10

`G = 7,9 * 4/3pi r^3 ~~ 33,09 r^3`

Uit `G =7,9*4/3pi r^3` volgt `r ~~ (G/(33,09))^(1/3)` en dus: `A ~~ 4pi * (G/(33,09))^(2/3) ~~ 1,22 G^(2/3)` .

De constante `c ~~ 4pi(1/(33,09))^(2/3) ≈ 1,22` .

Opgave 11

`y` is recht evenredig met `x^7` . De evenredigheidsconstante is `64` .

`y(0,5)=0,5`

`x = (15000/64)^(1/7) ~~ 2,181`

Met `4^7 = 16384` .

Opgave 12

`1/3 pi`

`1/3pi*5^3~~131` cm³.

`1/3pi*r^3`	`=`	`V`
`r^3`	`=`	`(3V)/pi`
`r`	`=`	`((3V)/pi)^(1/3) = (3/pi)^(1/3)V^(1/3)~~0,985V^(1/3)`

`r` is recht evenredig met `V^(1/3)` . De evenredigheidsconstante is ongeveer `0,985` .

`r=((3*500)/pi)^(1/3)~~7,8` cm.

Opgave 13

Er is geen evenredigheid.

`y=2^(7/5)*x^(7/5)` is recht evenredig met `x^(7/5)` . De evenredigheidsconstante is `2^(7/5)~~2,639` .

`y` is recht evenredig met `x^(0,55)` . De evenredigheidsconstante is `525` .

Er is geen evenredigheid.

`y=10x^4` is recht evenredig met `x^4` . De evenredigheidsconstante is `10` .

Opgave 14

`3/200`

`(3s^2)/200`	`=`	`12`
`s^2`	`=`	`800`
`s`	`=`	`sqrt(800)~~28,28` (want `text(-)sqrt(800)` voldoet niet)

De maximumsnelheid is dan ongeveer `28` km/h.

`s = sqrt((200r)/3)`
Dit is een machtsverband: `s` is recht evenredig met `r^(1/2)` .

`sqrt(200/3)`

`r = 100` geeft `s = sqrt(20000/3) ~~ 82` km/h.

`r = 50` geeft `s = sqrt(10000/3) ~~ 58` km/h.

`82 lt 2xx58 = 116` , dus de uitspraak is niet waar.

Opgave 15

`E = c*w^3` waarin `E` de hoeveelheid opgewekte energie is en `w` de windsnelheid in m/s.

Bij `w=10,0` is `E=c*10,0^3` en bij `w=9,5` is `E=c*9,5^3` .

`((c*9,5)/(c*10,0))^3~~0,86` , dus de energieopbrengst is bij `9,5` m/s ongeveer `0,86` keer zo groot als bij `10,0` m/s. Dit komt neer op een daling van ongeveer `14` %.

`2^(1/3)~~1,26` , dus de windsnelheid moet dan met ongeveer `26` % toenemen.

(bron: pilotexamen wiskunde havo B in 2012, tweede tijdvak)

Opgave 16De wet van Kleiber

De wet van Kleiber

De formule moet de vorm `Z = c * m^p` hebben.
Gegevens van een muis invullen: `0,19=c * 0,20^p` .
Gegevens van een paard invullen: `85,4=c * 605,0^p` .
Dit betekent: `(85,4)/(0,19) = (605,0^p)/(0,20^p)` en dus `449,47 ~~ 3025^p` .
Met de grafische rekenmachine vind je `p ~~ 0,76` en daarmee `c ~~ 0,65` . De formule wordt: `Z ~~ 0,65 * m^(0,76)` .

De formule moet de vorm `Z = c * m^p` hebben.
Gegevens van een rat invullen: `0,75=c * 1,1^p` .
Gegevens van een mens invullen: `18,0=c * 76,1^p` .
Dit betekent: `(18,0)/(0,75) = (76,1^p)/(1,1^p)` en dus `24 ~~ 69^p` .
Met de grafische rekenmachine vind je `p ~~ 0,75` en daarmee `c ~~ 0,7` . En dus wordt de formule: `Z ~~ 0,7 * m^(0,75)` .
Dus ja, je vindt afgerond dezelfde evenredigheidsconstante als Kleiber.

`0,7 * 1000^(0,75) ~~124` L.

Opgave 17Oppervlakte en inhoud cilinder

Oppervlakte en inhoud cilinder

Voor de oppervlakte `A` geldt: `A = 2pi r * 2r + 2 * pi r^2 = 6pi r^2` .

Voor de inhoud `V` geldt: `V = pir^2*2r=2pi r^3` .

Als je `r` uitdrukt in `V` krijg je: `r = (1/(2pi))^(1/3) * V^(1/3)` .

Als je dit substitueert in de formule voor `A` krijg je `A = 6pi * (1/(2pi))^(2/3) * V^(2/3) ~~ 5,536 V^(2/3)` , dus `c ~~ 5,536` .

Opgave 18

`5 * 3^4 = 405`

`x = +-(12000/405)^(1/4) ~~ +- 2,33`

Met `4^4 = 256` .

Opgave 19

`G = 7,9 r^3`

`r ~~ 4,0` cm.

`r = (G/(7,9))^(1/3)` .

`c ~~ 0,50` .

Opgave 20

`A = 6r^2`

Uit `G = 7,9 r^3` volgt `r = (1/(7,9))^(1/3) * G^(1/3) ~~ 0,502 G^(1/3)` .
Dus is `A = 6r^2 ~~ 6 * 0,502^2 * G^(2/3) ~~ 1,51 G^(2/3)` en `c ~~ 1,51` .

`G ~~ 21,4` gram.

`c ~~ 0,50` .

verder | terug