Modelleren

Opgave 8

Bij de aanschaf van een nieuwe auto heeft iemand de keuze uit twee uitvoeringen: een dieselversie en een benzineversie. Tussen deze versies bestaat een groot prijsverschil. Bovendien is de wegenbelasting verschillend en verschillen de brandstofprijzen.

Ga ervan uit dat de benzineversie een verbruik heeft van `8` L per `100` km en dat de dieselversie een verbruik heeft van `6` L per `100` km.

De dieselversie is jaarlijks € 1200,00 duurder dan de benzineversie.

Neem verder aan dat één liter benzine € 1,60 kost en dat de dieselprijs € 1,24 per liter is.

Welke auto moet hij kiezen? Los dit probleem op volgens de modelcyclus en waar nodig met behulp van de lijst met hulpvragen.

a

Beschrijf eerst je rekenmodel met de bijbehorende aannames.

b

Welke oplossing vind je?

c

Hoe zou je kunnen controleren of dit enigszins realistisch is?

Opgave 9

Een zwemmer is in nood voor de kust van Bergen. De tekening geeft een beeld van de situatie. De zwemmer in nood bevindt zich bij punt `B` in zee. Een lid van de reddingsbrigade ziet de zwemmer in nood en wil in actie komen. Zij bevindt zich in punt `A` . Ze wil natuurlijk via de snelste weg naar de drenkeling toe. Maar wat is de snelste weg?
Een deel van de weg moet ze rennend afleggen en een deel zwemmend. Ze rent met een gemiddelde snelheid van `6` m/s en ze zwemt met een gemiddelde snelheid van `1,5` m/s. Hoe kan ze het snelst hulp bieden? Noem het punt waar ze in het water stapt `K` .
Punt `K` kan overal langs de aangegeven `100` m-lijn liggen. De tijd die ze nodig heeft om in `B` te komen moet natuurlijk zo klein mogelijk zijn. Noem de totale tijd `t` , de gemiddelde snelheid over het strand `v_s` en de gemiddelde snelheid in zee `v_z` .

a

Druk `t` uit in `AK` , `KB` , `v_s` en `v_z` .

b

Formuleer een verband tussen `t` en `x` .

c

Bepaal met behulp van de grafische rekenmachine de minimale tijd die ze nodig heeft om de zwemmer te bereiken. Geef je antwoord in seconden in één decimaal nauwkeurig.

d

Bepaal de lengte van de snelste weg in m nauwkeurig.

Opgave 10

Om te bepalen welk gewicht een vliegtuig kan dragen geldt bij benadering de formule `W=0,03*d*V^2*S` . Hierin is `W` het gewicht in kg, `S` het vleugeloppervlak in m², `V` de kruissnelheid in m/s en `d` de luchtdichtheid in kg/m³.

a

Ga uit van een luchtdichtheid van `0,421` kg/m³. Welk gewicht kan een vliegtuig dragen waarvan het vleugeloppervlak `350` m² en de kruissnelheid `700` km/h is? Geef je antwoord in kg nauwkeurig.

b

Een vliegtuig met een kruissnelheid van `250` m/s en een vleugeloppervlak van `100` m² moet `12000` kg kunnen dragen. Wat is de minimale luchtdichtheid waarbij het vliegtuig kan vliegen?

c

In de luchtvaart wordt vaak gewerkt met de vleugelbelasting, dat is het gewicht in kg per m² vleugeloppervlak.

Ga uit van een luchtdichtheid van `0,369` kg/m³. De vleugelbelasting is recht evenredig met een macht van `V` . Wat is de evenredigheidsconstante?

d

Wat gebeurt er met de vleugelbelasting als de kruissnelheid van een vliegtuig `1,4` keer zo groot wordt?

Opgave 11

De beheerder van een groot communicatienetwerk wil een kabel leggen tussen twee eilanden in de Stille Oceaan die `300` km van elkaar verwijderd liggen (hemelsbreed gerekend over zee). Deze kabel kan op de nagenoeg vlakke zeebodem tussen beide eilanden worden gelegd. Hoeveel kabel moet er minder worden getrokken als daarvoor een rechte tunnel tussen beide eilanden wordt geboord?

a

Maak een schets van de situatie en schrijf de aannames op die je moet doen om hier iets zinnigs over te kunnen zeggen.

b

Ontwerp een geschikt rekenmodel. Neem hierbij mee dat de aarde een omtrek van `40000` km heeft.

c

Probeer de gestelde vraag zo goed mogelijk te beantwoorden. Schrijf ook enkele beperkingen van de kwaliteit van je antwoord op.

Opgave 12

Een grote kelder kan worden afgesloten met een rechthoekig luik. De lengte `AB` van het luik is `5` meter. Het luik sluit het keldergat precies af. In de figuur is een model van de situatie in een zijaanzicht getekend. De uiteinden van het luik ( `A` en `B` ) lopen over rails `CD` en `EC` .
Bij het openen en sluiten wordt `A` aangedreven door een elektromotor, die `A` een constante snelheid geeft van `0,1` meter per seconde. Ga er bij de vragen steeds van uit dat deze snelheid onmiddellijk bij het openen en sluiten van het luik optreedt.
Het luik wordt vanuit geheel geopende stand ( `A` valt dan samen met `C` en `B` valt dan samen met `E` ) gesloten.

a

Bereken hoeveel het punt `B` is gezakt, `20` seconden nadat het sluiten begonnen is. Geef je antwoord in m en rond af op twee decimalen.

`t` is de tijd (s) die verstreken is nadat het sluiten van het luik begonnen is. De afstand `d` (m) die het punt `B` dan afgelegd heeft, is afhankelijk van `t` .

b

Stel een formule op voor `d(t)` .

Bij het sluiten van het luik is `v` de snelheid (m/s) van het punt `B` op tijdstip `t` .

c

Bereken op welk tijdstip deze snelheid gelijk is aan `0,05` meter per seconde. Geef je antwoord in gehele seconden nauwkeurig.

(naar: examen wiskunde B havo in 2000, tweede tijdvak)

Verwerken