Modelleren > Modelleren
12345Modelleren

Voorbeeld 3

In een straat komen lantaarnpalen, waarbij de kosten zo laag mogelijk moeten zijn. Ontwerp een model voor de straatverlichting. Ga daarbij van de volgende gegevens uit:

  • De lichtsterkte `S` (watt per m2) is recht evenredig met het vermogen `P` (watt) van de lichtbron en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand (m) tot de lichtbron. Kun je verklaren waarom dit zo is?

  • Je verlicht de weg met straatlantaarns met een bepaald vermogen, een bepaalde hoogte en een bepaalde onderlinge afstand. Neem aan dat die niet variëren.

  • Wettelijk is vastgelegd dat de lichtsterkte op elk punt van een weg moet liggen tussen `10` en `320` watt/m2.

Daarnaast moet je rekening houden met afschrijving en onderhoud van de palen. Die kosten hangen onder andere af van de hoogte `h` en de onderlinge afstand `a` . Hogere palen zijn namelijk duurder en een kleinere onderlinge afstand betekent meer palen. Verder zijn er kosten voor de elektriciteit: bijvoorbeeld € 0,15 per kWh. Dit betekent dat een lamp van `1` kW die een uur brandt € 0,15 kost. Neem nu per jaar:

  • € 200,00 per lantaarnpaal voor schoonhouden, reparaties, schilderwerk en dergelijke;

  • € 50,00 per meter lantaarnpaal voor vervanging, afschrijving, onderhoud;

  • elektriciteit kost € 0,15 per kWh.

> antwoord

Om je op weg te helpen even een paar ideeën. De volgende variabelen kunnen een rol spelen:

  • `P` is de lichtsterkte in watt van de lamp in elke straatlantaarn.

  • `h` is de hoogte in meter van de straatlantaarn (en dus van de lamp, neem je aan).

  • `a` is de (vaste) onderlinge afstand in meter van een rij straatlantaarns aan één kant van de weg.

  • Aan beide zijden van de weg staan straatlantaarns en wel recht tegenover elkaar.

  • `b` is de breedte in meter van de weg (en dus van de twee rijen straatlantaarns, neem je aan).

  • `B` is de brandtijd (uur per jaar) dat de lampen branden.

De lichtsterkte `L` (watt per m2) van elke afzonderlijke lamp is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tot de lamp. Dit kun je nagaan door te bedenken dat een oppervlak dat twee keer zo ver van de lamp is verwijderd de lichtsterkte moet verdelen over een vier keer zo groot geworden oppervlakte. Het punt met de grootste lichtsterkte zit steeds recht onder de lamp en is:

`L = P/(h^2)`

Het punt met de kleinste lichtsterkte zit op het midden van de weg, midden tussen vier lantaarns in en heeft dus een lichtsterkte van:

`L = 4 * (P/(h^2 + (0,5a)^2 + (0,5b)^2)) `

Er wordt dus aangenomen dat andere lantaarns dan de omliggende geen bijdrage leveren aan de lichtsterkte in dit punt. Dit levert twee voorwaarden op vanwege de maximale en de minimale lichtsterkte op de weg. Het inschakelen van een spreadsheet zoals Excel is nu handig om mogelijke waarden van `P` , `h` , `a` en `b` door te rekenen. Bijvoorbeeld `P = 1000` , `h = 5` , `b = 8` en `a = 30` voldoet aan de twee voorwaarden, maar er zijn veel meer mogelijkheden.

De jaarlijkse kosten per meter weg kun je berekenen met de formule: `K = 2 * 1/a * (200 + 50h + B * P/1000 * 0,15)`

Nu moeten de waarden voor `P` , `h` , `a` , `b` en `B` zo worden gekozen dat niet alleen aan de twee voorwaarden, maar ook aan `K` minimaal is voldaan. Ook hier is werken met Excel handig.

Opgave 7

Bekijk het probleem van de goedkoopste straatverlichting in het voorbeeld.

a

Probeer eerst zelf met behulp van de modelcyclus een rekenmodel te ontwerpen.

Het is nuttig om jouw oplossing te vergelijken met de aanpak in het voorbeeld.

b

Laat zien hoe je aan de formules `L = P/(h^2)` en `L = 4 * (P/(h^2 + (0,5a)^2 + (0,5b)^2)) ` komt.

c

Welke twee voorwaarden leveren die formules op?

d

Laat zien hoe je aan de formule `K = 2 * 1/a * (200 + 50h + B * P/1000 * 0,15)` komt.

e

Probeer nu een oplossing voor het probleem te vinden. Pas eerst de aannames aan op grond van gegevens die je zelf hebt gevonden, bijvoorbeeld via internet.

verder | terug