Modelleren > Optimaliseringsproblemen
12345Optimaliseringsproblemen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

en

b

Bekijk de vergelijkingen bij a. Je wilt maximaliseren, onder voorwaarde dat , ofwel .

Vul dat in bij de formule voor : .

Je wilt het maximum van deze functie bepalen. Die ligt op , en dus .

Opgave 1
a

De lengte is m. De oppervlakte wordt: m2.

b

De breedte is dan m. De oppervlakte wordt: m2. En dat is kleiner.

c

De andere afmeting is dan m en de oppervlakte wordt: m2.

d

Met de GR of met behulp van differentiëren zoek je het minimum van: .
Je vindt een minimum van m2 bij m.

Opgave 2
a

Dan is de voorkant van de fabriekshal en de breedte ervan dus: .
De oppervlakte van het terrein is dan: .

b

Met de GR of met behulp van differentiëren zoek je het minimum van: .
Je vindt een minimum van m2 bij m.

Opgave 3
a

Het blik is zuiver cilindervormig, het materiaal is overal even dik en eventuele opstaande randjes worden verwaarloosd. De hoeveelheid materiaal wordt dus alleen bepaald door de oppervlakte ervan.

b

De onder- en de bovenkant van het blik zijn cirkels met straal en de mantel is een rechthoek met een hoogte van cm en een breedte die gelijk is aan de omtrek van de grondcirkel.

c

Met vind je en dus: .
Als je nu in de formule voor deze uitdrukking invult voor , dan vind je: .

d

De gevonden functie heeft een minimum (GR of differentiëren) op .
Nu gebruik je om te vinden.

Opgave 4

Neem aan dat het pakje een zuivere balk is met afmetingen , en , alle drie in cm.
Uit en volgt: .
Met de GR vind je dat minimaal is als cm.

Het pakje met de kleinste oppervlakte heeft cm en cm.

Opgave 5
a

Bijvoorbeeld , met in eurocent.

b

De winst is maximaal als . En dat betekent dat hij de prijs eigenlijk met eurocent zou moeten verhogen om maximale winst te krijgen. Dus nee, beter niet.

c

Stel dat het aantal pakken yoghurt is dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule: .

Je vindt een maximum bij . Dus een afname van pakken. Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met eurocent moet verhogen voor maximale winst.

Stel is het aantal extra pakken yoghurt dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule: .

Je vindt een maximum bij . Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met eurocent moet verhogen voor maximale winst.

Opgave 6
a

, dus de opbrengst is € 6412,50.

b

c

is maximaal als .

Opgave 7
a

De lengte en breedte zijn dan en de hoogte .

Dus: .

b

Bepaal het maximum bijvoorbeeld met de GR. Je vindt dat het maximum cm3 is bij .

Opgave 8
a

geeft en .
Hieruit kun je afleiden dat de prijs is wanneer er autopeds worden verkocht. Dit betekend dat: .

b

invullen geeft: .

c

d

Maximum bepalen met de GR geeft . Er is maximale winst als . De prijs van een autoped is dan € 64,44.

e

en die functie heeft een minimum bij een afzet van stuks.

Opgave 9

Noem de diepte en de hoogte , beide in dm.
m3 = 1000 dm3, dus: en dus .

Voor de totale oppervlakte in m2 geldt: .
Substitutie van in de formule van geeft .

Bepaal het minimum met de grafische rekenmachine. Je vindt dm. De bijbehorende waarde voor de hoogte is ongeveer dm.

Opgave 10
a

De lengte van het linker voetpad is en de lengte van het rechter voetpad is .

Los op: . Dit geeft .

b

Nu moet minimaal zijn. Dit levert op: m en .

Dus de totale lengte is dan ongeveer m.

naar: examen wiskunde B havo in 2011, eerste tijdvak

Opgave 11

Neem voor het grondvlak van de rechthoekige ruimte een vierkant met zijde . Met behulp van gelijkvormigheid kun je dan afleiden dat de hoogte ervan gelijk is aan . De inhoud ervan is dan .
Met behulp van je GR vind je een maximale inhoud als en dus . De afmetingen zijn dus m.

Opgave 12Camping
Camping

Noem een kampeerplaats bij meter. Voor elke plaats is dan m2 nodig. Omdat je over ha beschikt, kun je plaatsen aanleggen. De prijs per overnachting wordt: .
De totale opbrengst per nacht wordt: .
Maximum met de GR bepalen geeft .
Een kampeerplaats wordt ongeveer m breed.

Opgave 13Kamelen verdelen
Kamelen verdelen

Zet in één weide kamelen en in de andere weides achtereenvolgens kamelen. De weide met kamelen is die in het centrum van Amsterdam.

Nu is:

Er is dus een verdeling waarbij er kamelen in de weide in het centrum van Amsterdam komen.

Stel dat er hooguit kamelen in de weide in het centrum van Amsterdam komen. Dan komen er in de weide die het één na drukst is hooguit kamelen en de weide die op twee na het drukst is, krijgt dan hooguit kamelen, enzovoort.

In totaal zijn er dan hooguit kamelen over de weides verdeeld. Er blijven dan nog kamelen over. Er is dus geen oplossing met minder dan kamelen.

Het minimale aantal kamelen is .

Opgave 14
a

Doen.

b

Neem aan dat de breedte van zo’n poster wordt voorgesteld door dm. Leid een formule af voor de oppervlakte van het bedrukte deel als functie van .

maximaliseren geeft dm.

De poster moet ongeveer bij dm worden.

Opgave 15

Het sportveld is ongeveer bij m.

verder | terug