Modelleren > Optimaliseringsproblemen
12345Optimaliseringsproblemen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`O=b*h` en `2b+2h=10`

b

`h=b=2,5` ; je kan het beste dus een vierkant raam maken.

Opgave 1
a

De lengte is `2400/30 = 80` m. De oppervlakte wordt: `(30 + 20 + 10)(80 + 10 + 10) = 6000` m2.

b

De breedte is dan `2400/80 = 30` m. De oppervlakte wordt: `(30 + 10 + 10)(80 + 20 + 10) = 50 * 110 = 5500` m2. En dat is kleiner.

c

De andere afmeting is dan `2400/x` m en de oppervlakte wordt: `A(x) = (x + 10 + 10)(2400/x + 10 + 20) = (x + 20)(2400/x + 30)` m2

d

Met de GR zoek je het minimum van: `A(x) = (x + 20)(2400/x + 30)`
Je vindt een minimum van `5400` m2 bij `x = 60` m.

Opgave 2
a

Dan is de voorkant van de fabriekshal `x - 20` en de breedte ervan dus: `2400/(x - 20)`
De oppervlakte van het terrein is dan: `A(x) = x(2400/(x - 20) + 30)`

b

Met de GR zoek je het minimum van: `A(x) = x(2400/(x - 20) + 30)`
Je vindt een minimum van `5400` m2 bij `x = 60` m.

Opgave 3
a

Het blik is zuiver cilindervormig, het materiaal is overal even dik en eventuele opstaande randjes worden verwaarloosd. De hoeveelheid materiaal wordt dus alleen bepaald door de oppervlakte ervan.

b

De onder- en de bovenkant van het blik zijn cirkels met straal `r` en de mantel is een rechthoek met een hoogte van `h` cm en een breedte die gelijk is aan de omtrek van de grondcirkel.

c

Met `I=1000` vind je `1000 =πr^2 h` en dus: `h=1000/ (πr^2)`
Als je nu in de formule voor `A` deze uitdrukking invult voor `h` , dan vind je: `A(r)=2000/r+2 πr^2`

d

De gevonden vergelijking `A(r)=2000/r+2pir^2` beschrijft een kromme met een minimum op `r~~5,4` . Zo gebruik je `h=1000/(pir^2)` om `h~~10,8` te vinden.

Opgave 4

Het pakje met de kleinste oppervlakte heeft `x ~~ 5,8` cm en `h ~~ 5,9` cm.

Opgave 5
a

Bijvoorbeeld `W(x) = (90 - 4x)(1000 + 100x) - 60(1000 + 100x) = text(-)400x^2 - 1000x + 30000` , met `W` in eurocent.

b

De winst is maximaal als `x = text(-)1,25` . En dat betekent dat hij de prijs eigenlijk met `5`  eurocent zou moeten verhogen om maximale winst te krijgen. Dus nee, beter niet.

c

Stel dat `x` het aantal pakken yoghurt is dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule:

`(90-0,04(x-1000))x-60x`

Je vindt nu dat er een maximum is bij `x=875` . Dus een afname van `125` pakken. Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met `5`  eurocent moet verhogen voor maximale winst.

Stel `x` is het aantal extra pakken yoghurt dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule:

`W=(90-0,04x)(1000+x)-60(1000+x)`

Je vindt nu dat er een maximum is bij `x=text(-)125` . Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met `5`  eurocent moet verhogen voor maximale winst.

Opgave 6
a

€ 6412,50

b

`TO(p)=(600 -6 p)(10 +0,25 p)=6000 +90 p-1,5 p^2`

c

`TO` is maximaal als `p=30` .

Opgave 7
a

`I=x (20 -2 x) ^2`

b

`593` cm3

Opgave 8
a

`q = 12 - 0,1p`
`0,1p = 12 - q`
`p = 120 - 10q`
Uit deze formule kunnen we afleiden dat de prijs `0` is wanneer er `12000` autopeds worden verkocht. Dit betekend dat: `0 le q le 12` .

b

`TO=120 q-10 q^2`

c

`TW=TO-TK`

`TW=text(-)1 ,5 q^3+12 ,5 q^2`

d

€ 64,44

e

`GTK=1 ,5 q^2-22 ,5 q+120` met een minimum bij een afzet van `7500` stuks.

Opgave 9

De diepte is dan ongeveer `18,3` dm en de hoogte ongeveer `9,1` dm.

Opgave 10
a

`x = 52,5`

b

ongeveer `128` m

naar: examen 2011 - I havo B

Opgave 11

`8 \times 8 \times 2` m

Opgave 12

Noem een kampeerplaats `x` bij `x` meter. Voor elke plaats is dan `x^2+20` m2 nodig. Omdat je over `1` ha beschikt, kun je `10000/ ((x^2+20 ))` plaatsen aanleggen. De prijs per overnachting wordt: `2 ,50 x+4 ,50`
De totale opbrengst per nacht wordt: `TO(x)=10000/ (x^2+20) *(2,50 x+4,50 )= (25000 x+45000) / (x^2+20)`
Maximum met de GR bepalen geeft `x≈3,02` .
Een kampeerplaats wordt ongeveer `3` m breed.

Opgave 13

`70` kamelen

Opgave 14
a

Doen.

b

Neem aan dat de breedte van zo’n poster wordt voorgesteld door `x` dm. Leid een formule af voor de oppervlakte `A` van het bedrukte deel als functie van `x` .

`A(x)=(x-2 )(100/x-3 )`

`A(x)` maximaliseren geeft `x≈8,2` dm.

De poster moet ongeveer `8,2` bij `12,2` dm worden.

Opgave 15

Het sportveld is ongeveer `100` bij `64` m.

verder | terug