Modelleren > OptimaliseringsproblemenAntwoorden van de opgaven
`O=b*h` en `2b+2h=10`
Bekijk de vergelijkingen bij a. Je wilt `O` maximaliseren, onder voorwaarde dat `2b+2h=10` , ofwel `b=5-h` .
Vul dat in bij de formule voor `O` : `O=(5-h)*h=5h-h^2` .
Je wilt het maximum van deze functie bepalen. Die ligt op `h=text(-)5/(2*(text(-)1))=5/2` , en dus `b=5-5/2=5/2` .
De lengte is `2400/30 = 80` m. De oppervlakte wordt: `(30 + 20 + 10)(80 + 10 + 10) = 6000` m2.
De breedte is dan `2400/80 = 30` m. De oppervlakte wordt: `(30 + 10 + 10)(80 + 20 + 10) = 50 * 110 = 5500` m2. En dat is kleiner.
De andere afmeting is dan `2400/x` m en de oppervlakte wordt: `A(x) = (x + 10 + 10)(2400/x + 10 + 20) = (x + 20)(2400/x + 30)` m2.
Met de GR of met behulp van differentiëren zoek je het minimum van:
`A(x) = (x + 20)(2400/x + 30)`
.
Je vindt een minimum van
`5400`
m2 bij
`x = 60`
m.
Dan is de voorkant van de fabriekshal
`x - 20`
en de breedte ervan dus:
`2400/(x - 20)`
.
De oppervlakte van het terrein is dan:
`A(x) = x(2400/(x - 20) + 30)`
.
Met de GR of met behulp van differentiëren zoek je het minimum van:
`A(x) = x(2400/(x - 20) + 30)`
.
Je vindt een minimum van
`5400`
m2 bij
`x = 60`
m.
Het blik is zuiver cilindervormig, het materiaal is overal even dik en eventuele opstaande randjes worden verwaarloosd. De hoeveelheid materiaal wordt dus alleen bepaald door de oppervlakte ervan.
De onder- en de bovenkant van het blik zijn cirkels met straal `r` en de mantel is een rechthoek met een hoogte van `h` cm en een breedte die gelijk is aan de omtrek van de grondcirkel.
Met
`I=1000`
vind je
`1000 =πr^2 h`
en dus:
`h=1000/ (πr^2)`
.
Als je nu in de formule voor
`A`
deze uitdrukking invult voor
`h`
, dan vind je:
`A(r)=2000/r+2 πr^2`
.
De gevonden functie
`A(r)=2000/r+2pi r^2`
heeft een minimum (GR of differentiëren) op
`r~~5,4`
.
Nu gebruik je
`h=1000/(pi r^2)`
om
`h~~10,8`
te vinden.
Neem aan dat het pakje een zuivere balk is met afmetingen
`x`
,
`x`
en
`h`
, alle drie in cm.
Uit
`I = x^2 h =200`
en
`A = 2x^2 + 4xh`
volgt:
`A = 2x^2 + 800/x`
.
Met de GR vind je dat
`A`
minimaal is als
`x ~~ 5,8`
cm.
Het pakje met de kleinste oppervlakte heeft `x ~~ 5,8` cm en `h ~~ 5,9` cm.
Bijvoorbeeld `W(x) = (90 - 4x)(1000 + 100x) - 60(1000 + 100x) = text(-)400x^2 - 1000x + 30000` , met `W` in eurocent.
De winst is maximaal als `x = text(-)1,25` . En dat betekent dat hij de prijs eigenlijk met `5` eurocent zou moeten verhogen om maximale winst te krijgen. Dus nee, beter niet.
Stel dat `x` het aantal pakken yoghurt is dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule: `(90-0,04(x-1000))x-60x` .
Je vindt een maximum bij `x=875` . Dus een afname van `125` pakken. Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met `5` eurocent moet verhogen voor maximale winst.
Stel `x` is het aantal extra pakken yoghurt dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule: `W=(90-0,04x)(1000+x)-60(1000+x)` .
Je vindt een maximum bij `x=text(-)125` . Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met `5` eurocent moet verhogen voor maximale winst.
`(600 - 5 *0,01 *600 )*(10 +5 *0,25 )=6412,50` , dus de opbrengst is € 6412,50.
`TO(p)=(600 -6 p)(10 +0,25 p)=6000 +90 p-1,5 p^2`
Voer deze functie in je GR in en bepaal het maximum.
`TO` is maximaal als `p=30` .
De lengte en breedte zijn dan `20-2x` en de hoogte `x` .
Dus: `I=x (20 -2 x) ^2` .
Bepaal het maximum bijvoorbeeld met de GR. Je vindt dat het maximum `593` cm3 is bij `x~~3,45` .
`q = 12 - 0,1p`
geeft
`0,1p = 12 - q`
en
`p = 120 - 10q`
.
Hieruit kun je afleiden dat de prijs
`0`
is wanneer er
`12000`
autopeds worden verkocht. Dit betekent dat:
`0 le q le 12`
.
`p=120-10q` invullen geeft: `TO=pq=120 q-10 q^2` .
`TW=TO-TK=text(-)1,5 q^3+12,5 q^2`
Maximum bepalen met de GR geeft `q=5,5555...` . Er is maximale winst als `q=5556` . De prijs van een autoped is dan € 64,44.
`GTK=(TK)/q=1 ,5 q^2-22 ,5 q+120` en die functie heeft een minimum bij een afzet van `7500` stuks.
Noem de diepte
`d`
en de hoogte
`h`
, beide in dm.
`1`
m3 = 1000 dm3, dus:
`1000 =6 *d*h`
en dus
`h=1000/ (6 d)`
.
Voor de totale oppervlakte
`A`
in m2 geldt:
`A=6 d+12 h+2 dh`
.
Substitutie van
`h=1000/(6d)`
in de formule van
`A`
geeft
`A=6 d+2000/d+1000/3`
.
Bepaal het minimum met de grafische rekenmachine. Je vindt `d≈18,3` dm. De bijbehorende waarde voor de hoogte is ongeveer `9,1` dm.
De lengte van het linker voetpad is `sqrt(x^2+40^2)=sqrt(x^2+1600)` en de lengte van het rechter voetpad is `sqrt((80-x)^2+60^2)=sqrt(x^2-160x+10000)` .
Los op: `sqrt(x^2 + 1600) = sqrt(x^2 - 160x + 10000)` . Dit geeft `x = 52,5` .
Nu moet `L(x) = sqrt(x^2 + 1600) + sqrt(x^2 - 160x + 10000)` minimaal zijn. Dit levert op: `x = 32` m en `L~~128` .
Dus de totale lengte is dan ongeveer `128` m.
(naar: examen wiskunde B havo in 2011, eerste tijdvak)
Neem voor het grondvlak van de rechthoekige ruimte een vierkant met zijde
`x`
. Met behulp van gelijkvormigheid kun je dan afleiden dat de hoogte ervan gelijk is
aan
`h=6 -1/2x`
. De inhoud ervan is dan
`I=x^2(6 -1/2x)=6 x^2-1/2x^3`
.
Met behulp van je GR vind je een maximale inhoud als
`x=8`
en dus
`h=2`
. De afmetingen zijn dus
`8 xx 8 xx 2`
m.
Noem een kampeerplaats
`x`
bij
`x`
meter. Voor elke plaats is dan
`x^2+20`
m2 nodig. Omdat je over
`1`
ha beschikt, kun je
`10000/ ((x^2+20 ))`
plaatsen aanleggen. De prijs per overnachting wordt:
`2 ,50 x+4 ,50`
.
De totale opbrengst per nacht wordt:
`TO(x)=10000/ (x^2+20) *(2,50 x+4,50 )= (25000 x+45000) / (x^2+20)`
.
Maximum met de GR bepalen geeft
`x≈3,02`
.
Een kampeerplaats wordt ongeveer
`3`
m breed.
Zet in één weide `23` kamelen en in de andere `39` weides achtereenvolgens `32, 33, 34, ..., 70` kamelen. De weide met `70` kamelen is die in het centrum van Amsterdam.
Nu is: `23+32+33+...+70=23+39*(32+70)/2=2012` .
Er is dus een verdeling waarbij er `70` kamelen in de weide in het centrum van Amsterdam komen.
Stel dat er hooguit `69` kamelen in de weide in het centrum van Amsterdam komen. Dan komen er in de weide die het één na drukst is hooguit `68` kamelen en de weide die op twee na het drukst is, krijgt dan hooguit `67` kamelen, enzovoort.
In totaal zijn er dan hooguit `69+68+...+30=40*(30+69)/2=1980` kamelen over de weides verdeeld. Er blijven dan nog `32` kamelen over. Er is dus geen oplossing met minder dan `70` kamelen.
Het minimale aantal kamelen is `70` .
Doen.
Neem aan dat de breedte van zo’n poster wordt voorgesteld door `x` dm. Leid een formule af voor de oppervlakte `A` van het bedrukte deel als functie van `x` .
`A(x)=(x-2 )(100/x-3 )`
`A(x)` maximaliseren geeft `x≈8,2` dm.
De poster moet ongeveer `8,2` bij `12,2` dm worden.
Het sportveld is ongeveer `100` bij `64` m.