Modelleren > Dynamische modellenToepassen
In veel natuurgebieden is er sprake van een wisselwerking tussen de roofdieren en hun prooi, zoals vossen en konijnen. Modellen die zo’n wisselwerking bestuderen, heten prooi-roofdiermodellen. De Italiaanse wiskunde Vito Volterra en de Amerikaanse wiskundige Alfred J. Lotka ontwierpen in 1925/1926 een dynamisch model voor dergelijke wisselwerkingen. Als `P(t)` het aantal prooidieren en `R(t)` het aantal roofdieren op tijdstip `t+1` is, zien hun vergelijkingen er in discrete vorm zo uit:
`P(t+1) = P(t)*(a-b*R(t))`
`R(t+1) = R(t)*(c+d*P(t))`
Hierin zijn `a` , `b` , `c` en `d` positieve getallen.
Verklaar hoe je in dit model kunt zien dat roofdieren voor minder prooidieren zorgen.
Stel `a lt 1` , wat zou er dan met het aantal prooidieren gebeuren?
Neem `a=1,08` , `b=0,0015` , `c=0,8` , `d=0,00048` , `P(0)=600` en `R(0)=50` .
Hoeveel prooi- en roofdieren zijn er op `t=3` ?
Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci (ongeveer 1180—1250) geeft in zijn boek
"Liber Abaci"
uit 1202 het volgende raadsel weer:
"In een afgesloten gebied zet ik één paar konijnen. Dit paar werpt elke maand één paar
jongen. Al die jongen krijgen op hun beurt ook weer jonge konijntjes, maar pas vanaf
hun tweede levensmaand en dan ook weer elke maand één paar jongen. Hoeveel paren konijnen
zijn er nu na één jaar?"
Stel een dynamisch rekenmodel op voor het aantal paren konijnen `A` na `n` maanden.
Beantwoord de vraag die Leonardo van Pisa in zijn raadsel stelt.
Hoeveel paren konijnen (die meteen elke maand één paar jongen krijgen) zijn er in het begin in het afgesloten gebied gezet, als er na een jaar `1131` paren konijnen zijn?