Modelleren > Dynamische modellen
12345Dynamische modellen

Verwerken

Opgave 8

Je hebt op 1 januari 2015 een saldo van € 1240,00. En je besluit dat geld op een spaarrekening te zetten. Verder maak je aan het begin van elke maand € 50,00 naar die spaarrekening over, te beginnen op 1 februari 2015. Je krijgt aan het eind van elke maand `0,5` % rente over het saldo van dat moment. Je haalt voorlopig geen geld van deze spaarrekening en je doet ook geen andere stortingen.

a

Bereken het saldo op 1 april 2015.

b

Leg uit dat het saldo `K` van je bankrekening `t` maanden na 1 januari 2015 kan worden berekend door `K(t + 1)=K(t)*1,005+50` met `K(0) = 1240` .

c

Bereken het saldo op 1 juli 2015.

Opgave 9

Staatsbosbeheer heeft een bepaald perceel waarop ongeveer `6000` bomen van een bepaalde soort kunnen staan. Dit perceel is bedoeld als productiebos: na een aantal jaren zijn de eerste bomen groot genoeg om te kunnen worden gekapt. Om een stabiele jaarlijkse opbrengst te hebben wordt er jaarlijks maar `18` % van de bomen gekapt en worden er `1000` aangeplant. Het eerste jaar zijn er `5000` bomen geplant.

Stel een dynamisch model op voor het aantal bomen op dit perceel en maak een tabel van het verloop van de eerste zes jaren ervan.

Opgave 10

In 2005 leefden er in een natuurgebied `5000` konijnen. Hun aantal is in de jaren daarna telkens met `5` % toegenomen.

a

Ontwerp een dynamisch groeimodel voor het aantal konijnen `K` waarin `t` het aantal jaren na 2005 is.

b

Maak een tabel van de groei van het aantal konijnen in de loop van de tijd. Van wat voor soort groei is er sprake?

c

Na hoeveel jaar zullen er voor het eerst meer dan `15000` konijnen zijn?

Deze groei van het aantal konijnen kan niet onbeperkt doorgaan. In dit natuurgebied is slechts plaats voor een beperkt aantal konijnen. Een onderzoeker heeft een aangepast groeimodel opgesteld. Daarin is `K(t + 1) = c*K(t)(8000 - K(t))` , waarin `K(0) = 5000` . Dit model blijkt in 2006 precies hetzelfde geschatte aantal konijnen op te leveren als het model dat je bij a hebt ontworpen en ook in de daarop volgende jaren redelijk bij dat model te passen.

d

Welke waarde moet `c` dan hebben?

e

Maak voor dit aangepaste groeimodel een tabel van het aantal konijnen in de loop van de tijd.

Opgave 11

Als je melk uit de koelkast haalt en in een glas schenkt, loopt de temperatuur op vanaf `T(0 )=6` °C (de temperatuur binnen de koelkast) naar de kamertemperatuur van `20` °C. De toename van de temperatuur per minuut is recht evenredig met het temperatuursverschil met de omgeving.

a

Leg uit dat hieruit deze modelformule is af te leiden: `T(t+1 )=T(t)+c*(20 -T(t))` , waarin `t` het aantal minuten is.

Neem aan dat `c=0,1` .

b

Bepaal na hoeveel minuten de temperatuur van de melk minder dan `1` °C verschilt van de kamertemperatuur.

c

Laat zien hoe de grenswaarde uit de gegeven modelformule is af te leiden.

Opgave 12

In het begin van het internettijdperk was er een tijdje een concurrentiestrijd tussen twee populaire internetbrowsers, noem ze bijvoorbeeld "Discoverer" en "Landscape" . De gebruikers van deze internetbrowsers zagen jaarlijks reikhalzend uit naar de nieuwste versie van de Discoverer of Landscape. Maar sommige gebruikers wisselden ook nogal eens van browser. In deze graaf zie je de wisselingen voor een bepaald jaar. In dat jaar werd onderzocht wat er zou gebeuren als deze vervangingen en wisselingen elk jaar zo zouden doorgaan.

a

Stel bij deze situatie een rekenmodel op. Noem het aantal gebruikers van de Discoverer `D(t)` en dat Landscape `L(t)` en neem `Delta t = 1` jaar. Ga ervan uit dat `D(0 )=0,5` en `L(0 )=0,5` .

b

Bepaal hoeveel procent van de gebruikers uiteindelijk de Discoverer zal gebruiken als dit rekenmodel geldig zou zijn gebleven.

Opgave 13

In veel natuurgebieden is er sprake van een wisselwerking tussen de roofdieren en hun prooi, zoals vossen en konijnen. Modellen die zo’n wisselwerking bestuderen, heten prooi-roofdiermodellen. De Italiaanse wiskundige Vito Volterra en de Amerikaanse wiskundige Alfred J. Lotka ontwierpen in 1925/1926 een dynamisch model voor dergelijke wisselwerkingen. Als `P(t)` het aantal prooidieren en `R(t)` het aantal roofdieren op tijdstip `t+1` is, zien hun vergelijkingen er in discrete vorm zo uit:

`P(t+1) = P(t)*(a-b*R(t))`
`R(t+1) = R(t)*(c+d*P(t))`

Hierin zijn `a` , `b` , `c` en `d` positieve getallen.

a

Verklaar hoe je in dit model kunt zien dat roofdieren voor minder prooidieren zorgen.

b

Stel `a < 1` , wat zou er dan met het aantal prooidieren gebeuren?

c

Neem `a=1,08, b=0,0015, c=0,8, d=0,00048, P(0)=600` en `R(0)=50` .

Hoeveel prooi- en roofdieren zijn er op `t=3` ?

Opgave 14

Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci (ongeveer 1180-1250) geeft in zijn boek "Liber Abaci" uit 1202 het volgende raadsel weer:
"In een afgesloten gebied zet ik één paar konijnen. Dit paar werpt elke maand één paar jongen. Al die jongen krijgen op hun beurt ook weer jonge konijntjes, maar pas vanaf hun tweede levensmaand en dan ook weer elke maand één paar jongen. Hoeveel paren konijnen zijn er nu na één jaar?"

a

Stel een dynamisch rekenmodel op voor het aantal paren konijnen `A` na `n` maanden.

b

Beantwoord de vraag die Leonardo van Pisa in zijn raadsel stelt.

c

Hoeveel paren konijnen (die meteen elke maand één paar jongen krijgen) zijn er in het begin in het afgesloten gebied gezet, als er na een jaar `1131`  paren konijnen zijn?

verder | terug