Modelleren > Dynamische modellen
12345Dynamische modellen

Uitleg

Griep is een besmettelijke ziekte die van mens tot mens wordt overgedragen. Als de griep opduikt, zijn er gezonde mensen, zieke mensen en mensen die ziek zijn geweest maar beter zijn geworden. Alleen zieke mensen steken gezonde mensen aan. De gemiddelde ziekteduur is vier dagen. Daarna ben je voor langere tijd immuun, je kunt deze griep dan niet langer meer krijgen. Je begint op een bepaalde dag met `100000` personen waarvan er `100` ziek zijn en `500` immuun. Hoe verloopt het aantal zieken per dag, hoeveel is dit maximaal?

Bij het opstellen van een wiskundig model voor het verloop van de griep moet je bedenken met welke factoren je rekening moet houden. In een eenvoudig griepmodel wordt alleen gerekend met:

  • `G(t)` is het aantal gezonde personen op zeker tijdstip `t` ;

  • `Z(t)` is het aantal zieken op dat tijdstip;

  • `I(t)` is het aantal immune personen op dat tijdstip.

Een dag later zit je op tijdstip `t + 1` . De modelformules zijn bijvoorbeeld:

  • `G(t+1) = G(t) - 0,2Z(t)`

  • `Z(t+1) = Z(t) - 0,25Z(t) + 0,2Z(t)=0,95Z(t)`

  • `I(t+1) = I(t) + 0,25Z(t)`

Er wordt dan aangenomen dat dagelijks `20` % van alle zieken een gezond iemand aansteekt (ziek maakt) en dat per dag `25` % van alle zieken gezond wordt. Je ziet dat dit rekenmodel afhangt van de tijd. Het is daarom een zogenaamd "dynamisch model" . In dit geval wordt de tijd in stappen van telkens `Delta t = 1` dag doorlopen.

Opgave 1

Bekijk het rekenmodel voor een griepepidemie in de uitleg.

a

Waarop is de aanname gebaseerd dat gemiddeld elke dag `25` % van de zieken weer gezond (en dus immuun) wordt?

Bij het in de uitleg bedachte rekenmodel wordt ervan uitgegaan dat dagelijks `20` % van het aantal zieken een nieuwe zieke oplevert door besmetting.

b

In welke van de drie modelformules vind je dit (na vereenvoudiging) terug?

De bedenker van het rekenmodel heeft het bestand Griepepidemie gemaakt om het verloop van de griepepidemie door te rekenen.

c

In cel B6 staat de formule: =$B5-0,2*$C5
Leg uit dat dit overeenkomt met de formule: `G(t + 1) = G(t) - 0,2 * Z(t)`
Wat staat er in cel C6? En in cel D6?

d

Hoe gaat de griepepidemie verlopen? Maak een tabel tot `t=6` .

e

Hoe zit het nu met het maximale aantal zieken? Lijkt het model erg realistisch?

Opgave 2

Bij nader inzien lijkt het beschreven model niet goed te zijn: het aantal personen dat ziek wordt gemaakt door iemand die al ziek is, hangt natuurlijk vooral af van het aantal gezonde mensen (alleen die kunnen nog ziek worden). Dat zal geen vast percentage van het aantal zieken zijn. Dit hangt eerder af van het percentage gezonde mensen waarmee een zieke in contact komt en de kans dat dan ook de ziekte wordt overgedragen.

Het rekenblad in Excel wordt daarom wat aangepast. In cel C6 komt nu =$C5-0,25*$C5+0,02*0,5*$B5. Hieruit blijkt dat de kans dat de ziekte wordt overgedragen van een zieke op iemand die gezond is, op 50% is gesteld.

a

Hoe groot is het percentage gezonde mensen waarmee een zieke volgens dit model in contact komt?

b

Schrijf de drie bijbehorende modelformules op.

Dit verbeterde rekenmodel voor de griepepidemie is vertaald in het bestand Griepepidemie2.

c

Hoe gaat de griepepidemie nu verlopen? Maak de tabel verder af.

d

Lijkt dit model realistischer? Of zou je nog aanpassingen willen aanbrengen? En zo ja, welke dan?

e

Kun je een manier verzinnen om het model te testen?

verder | terug