Modelleren > TotaalbeeldAntwoorden van de opgaven
Noem het deel van de basis dat aan de rechterkant buiten de rechthoek ligt `x` (cm). Voor de basis van de driehoek geldt dan: `b = 2x + 6` .
De hoogte van de driehoek bereken je uit `h/2 = (3+x)/x` . Dit geeft `h = 2 + 6/x` .
De oppervlakte van de driehoek is `A(x) = (x + 3)(2 + 6/x)` .
Met behulp van de grafische rekenmachine kun je het minimum bepalen. Je vindt `x =3` en `A = 24` .
De minimale oppervlakte is `24` cm2.
`11`
`11g^(2/3) = t`
geeft
`g=(t/11)^(3/2)~~0,027t^(3/2)`
.
Dus ongeveer
`0,027`
.
Als
`g=3`
, dan is
`t≈22,9`
. Dus bij een kalkoen van
`3`
kg duurt het ongeveer
`23`
minuten voordat het binnenste een temperatuur heeft van
`85`
°C.
Als
`g=6`
, dan is
`t≈36,3`
.
Dus een kalkoen van `6` kg heeft niet twee keer zo veel tijd nodig. Dit had je ook meteen aan de formule kunnen zien. `6` kg is twee keer zo zwaar als `3` kg, maar omdat `t` recht evenredig is met `g^(2/3)` is de bereidingstijd niet twee keer zo lang.
`T=80 +11 *g^ (2/3)` . Nee, de totale braadtijd is niet recht evenredig met een macht van het gewicht.
Stap 1:
Bij dit probleem spelen afstand, tijd, snelheid en schaal een rol.
Stap 2:
Afstanden worden geschaald, de tijd echter niet. De schaal is
`1 : 87`
en de snelheid van de echte locomotief is
`60`
km/h.
Stap 3:
Een snelheid van
`60`
km/h betekent dat een echte trein in een uur
`60`
km aflegt. Het model moet dan in een uur
`60/87 ~~ 0,69`
kilometer afleggen. Dat is ongeveer
`0,69`
km/h.
Stap 4:
De fabrikant kan het schaalmodel met een snelheid van
`0,69`
km/h laten rijden en zich afvragen of die beweging natuurlijk lijkt.
De achthoek kun je verdelen in een vierkant van
`x`
bij
`x`
, vier rechthoeken van
`x`
bij
`1/2x sqrt(2)`
en vier rechthoekige driehoeken van
`1/2x sqrt(2)`
bij
`1/2x sqrt(2)`
. De oppervlakte daarvan is dus:
`G = x^2 + 2x^2 sqrt(2) + x^2 = (2 + 2sqrt(2))x^2`
.
Voor de lengte van elke zijkant van het grote vierkant geldt:
`2h + x + xsqrt(2) = 18`
, dus
`h = 9 - 1/2 (1 + sqrt(2))x`
.
De inhoud
`I`
van het doosje is nu:
`I(x) = G * h = (2 + 2sqrt(2))x^2*(9 - 1/2 (1 + sqrt(2))x) ~~ 43,46x^2 - 5,83x^3`
.
Bepaal met de GR het maximum van de formule. Je vindt dat de maximale inhoud ongeveer `358` cm3 is.
Dag 1:
`500`
g ureum in het water.
`3`
% eraf geeft
`500 -15 =485`
g.
Dag 2:
`485 +500 =985`
.
`3`
% eraf geeft ongeveer
`955`
g.
Bij het begin van de derde dag zit er
`955`
g ureum in het water.
Aan het begin van dag 5 is er ongeveer `1854` g ureum in het water. Aan het einde van de dag (voor de verversing) is dat `2354` g. Gedurende de vijfde dag komt het ureumgehalte boven `2000` g, dus boven de wettelijke norm van `2` g per m3.
In de loop van de dag komt er
`500`
g bij en 's nachts verdwijnt
`20`
% van de totale hoeveelheid.
Je houdt
`80`
% over. Dus:
`U(n)=0,80 *(U(n-1) +500 )=0,8*U(n-1) +400`
.
Met Excel kun je snel een tabel maken. Met de rekenmachine kun je dit als volgt doen.
Voer in `0` en druk op Enter. Voer nu in 0.8Ans+400 en druk vaak op Enter. Je ziet dat de waarde van `2000` g steeds dichter wordt benaderd, maar nooit wordt bereikt.
Bij het begin van de achtste dag is er `1580,5696` g ureum aanwezig. In de loop van die dag komt er `500` g bij. Een gedeelte van de achtste dag is het ureumgehalte boven de wettelijke norm van `2000` g.
(naar: examen wiskunde A havo in 1991, eerste tijdvak)
Eigen antwoord.
`x = v_0 cos(α)*t` kun je schrijven als `t = x/(v_0 cos(alpha))` .
Dan is `y = v_0 sin(α)*x/(v_0 cos(alpha)) - 1/2 g (x/(v_0 cos(alpha)))^2` en dus `y = (sin(alpha))/(cos(alpha))*x - g/(2v_0^2 cos^2(alpha))*x^2` .
`y=0` geeft `x= (2 v_0 )/(g) * sin(α)cos(α)` .
`x= (2 v_0 )/(g) * sin(α)cos(α)`
is maximaal als
`sin(α)cos(α)`
zo groot mogelijk is.
Maak hiervan een grafiek (
`α`
in graden) voor
`0^@ ≤α≤90^@`
.
Bij
`45^@`
vind je het maximum en dan is
`x = (v_0)/g`
.
De bijbehorende grootste hoogte is `(v_0 )/(4 g)` .