Modelleren > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Toepassen

Opgave 6Prooidier-roofdier modellen
Prooidier-roofdier modellen

In veel natuurgebieden is er sprake van een wisselwerking tussen de roofdieren en hun prooi, zoals vossen en konijnen. Modellen die zo’n wisselwerking bestuderen heten prooi-roofdiermodellen. De Italiaanse wiskunde Vito Volterra en de Amerikaanse wiskundige Alfred J. Lotka ontwierpen in 1925/1926 een dynamisch model voor dergelijke wisselwerkingen. Als `P(t)` het aantal prooidieren en `R(t)` het aantal roofdieren op tijdstip `t+1` is, zien hun vergelijkingen er in discrete vorm zo uit:

  • `P(t+1 )=P(t)*(a-b*R(t))`

  • `R(t+1 )=text(-) R(t)*(c-d*P(t))`

Hierin zijn `a` , `b` , `c` en `d` positieve getallen. Bekijk maar eens met behulp van een rekenblad in Excel of je grafische rekenmachine hoe dit model zich gedraagt.

De eerste vergelijking laat zien dat de prooidieren bij afwezigheid van de roofdieren ( `b=0` ) toenemen. De uitdrukking `a-b*R(t-1 )` laat echter zien, dat de toename vermindert afhankelijk van het aantal roofdieren `R` dat een periode eerder op ze heeft kunnen jagen.
De vergelijking voor de roofdieren kent een vergelijkbare interpretatie.

Kies waarden voor `a` , `b` , `c` en `d` en reken een prooi-roofdiermodel door. Onderzoek wat er of er een evenwichtssituatie ontstaat waarin de aantal stabiliseren. Het beste kun je een rekenblad in Excel maken waarin deze vier parameters instelbaar zijn zodat je wat realistische resultaten krijgt...
Tegenwoordig bestaan er diverse aangepaste prooi-roofdiermodellen en animaties ervan op internet. Bekijk bijvoorbeeld dit artikel uit de Scholarpedia.

Opgave 7Kogelbaan
Kogelbaan

De kogelbaan is een model voor de baan die een in vacuum (om luchtweerstand te kunnen verwaarlozen) onder een bepaalde hoek en met een bepaalde snelheid afgeschoten massapunt aflegt.
Noem de beginsnelheid `v_0` en de hoek waaronder het massapunt wordt afgeschoten `α` .

De snelheid in de `x` -richting is `v_0 cos(α)` .
De snelheid in de `y` -richting is `v_0 sin(α)` , maar daar telt ook de zwaartekracht nog mee.
Dus is:

`x=v_0 cos(α)*t` en `y=v_0 sin(α)*t-1/2g t^2` .

Hierin is `g` de gravitatieconstante: `g≈9,81` m/s2.
Hiermee maak je een model in Excel: Model kogelbaan.
Laat zien dat bij de baan de formule `y= (sin(α)) / (cos(α)) *x-g/ (2 v_0 (cos) ^2(α)) *x^2` hoort.
Kun je de gunstigste afschiethoek `α` bepalen als je de kogel zo ver mogelijk van het afschietpunt weer op de grond wilt laten komen?

Zie ook deze simulatie van de kogelbaan.

a

Leid zelf de vergelijking van de baan van deze parabool af.

b

Druk het punt waar de kogel weer op de grond komt uit in `v_0` , `α` en `g` .

c

Bij welk waarde voor `α` komt de kogel zo ver mogelijk? Druk de hoogte die de kogel dan haalt uit in `v_0` en `g` .

verder | terug