Het functievoorschrift is op te delen in afzonderlijke schakels. Je ziet dat aan het feit dat er maar op één plek een `x` in het voorschrift voorkomt.

`g(x)=2x^2+1` en `f(u)=u^2` .

`g'(x)=4x` en `f'(u)=2u` .

`S'(x)=16x^3+8x`

`x → x-2 → (x-2)^2 → 3 (x-2)^2 → 3 (x-2) ^2-2`

`3 (x-2) ^2-2 = 25` geeft `(x-2)^2=9` en `x=text(-)1 ∨x=5` .

`f'(x)=3 *2 (x-1) ^1=6 x-6`

`g(x)=h(u(x))` met `h(u)=u^4` en `u(x)=3x^2+2` .

`g'(x)=4(3x^2+2)^3*6x=24x(3x^2+2)^3`

`x → x^2 → x^2-1 → sqrt(x^2-1 )`

`x → x^3 → 3 x^3 → 3 x^3+1`

`x → x^2 → 3 x^2 → 3 x^2+2 → (3 x^2+2)^4`

`f(x)=root(3)(x)=x^(1/3)`

`f'(x)=1/3x^(text(-)2/3)=1/(3*root(3)(x^2))`

Schrijf `g(x)=x^3-4` , dan is `S(x)=f(g(x))` .

`S'(x)=f'(g(x))*g'(x)=(1)/(3*root(3)(x^3-4))*3x^2=x^2/(root(3)(x^3-4))`

`h(x)=sqrt(x^2+2 )`

`h'(x)=0,5(x^2+2)^(text(-)0,5)*2x=x/(sqrt(x^2+2))`

`k(x)=x+2` , met afgeleide `k'(x)=1` .

`f(u)=u^8` en `u=g(x)=2 x^2+1`

`f'(u)=8 u^7` en `g'(x)=4 x` geeft `h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=8 (g(x)) ^7*4 x=32 x (2 x^2+1 )^7` .

`h(x)= (2 x^3+4 x) ^4`

`h'(x)=4(2x^3+4x)^3*(6x^2+4)=(24x^2+16)(2x^2+4x)^3`

`k(x)=2 x^12+4 x^4`

`k'(x)=24 x^11+16 x^3`

`f(x)=2 x^ (1/2)`
`f'(x)=1/2x^ (text(-) 1/2) =1/ (sqrt(x))`

`f(x)=x^ (1 1/2)`
`f'(x)=1 1/2x^ (1/2) =1 1/2sqrt(x)`

`f(x)=5x^ (1/3)`
`f'(x)=5/3x^ (text(-) 2/3) =5/ (3 root3 (x^2))`

`f(x)=3 x^ (text(-)1/2)`
`f'(x)=text(-)3/2x^ (text(-)1 1/2) =text(-)3/ (2 xsqrt(x))`

`text(D)_f=[text(-)5, 5]` en `text(B)_f=[0, 5]` .

`f'(x)=1/2 (25 -x^2) ^ (text(-) 1/2) *(text(-)2 x)= (text(-) x) / (sqrt(25 -x^2))`

`f'(0)=0` geeft `(text(-)x)/(sqrt(25-x^2))=0` en dus `x=0` .

Met behulp van de grafiek of met behulp van een tekenschema zie je dat er een maximum is van `5` bij `x=0` .

Dus max. `f(0)=5` .

`f'(3 )=text(-)3/4` en `f(3)=4` geeft voor de raaklijn `y=text(-) 3/4x+6 1/4` .

`f'(x)=4(x^2-100 )^3*2x=8x(x^2-100)^3`

`g'(x)=3(1-x)^3*text(-)1=text(-)3(1-x)^2`

`h'(x)=3*25(2-4x)^2*text(-)4=text(-)300(2-4x)^2`

`j'(x)=2p^2-4(px+3)^3*p=2p^2-4p(px+3)^3`

`h(x)=sqrt(x^2-x-1)`

`h(x)=(x^2-x-1)^(0,5)`

`h'(x)=0,5(x^2-x-1)^(text(-)0,5)*(2x-1)=(x-0,5)/(sqrt(x^2-x-1))`

`k(x)=x-1-sqrt(x-1)`

`k(x)=x-1-(x-1)^(0,5)`

`k'(x)=1-0,5(x-1)^(text(-)0,5)=1-1/(2sqrt(x-1))`

`f(x)=root(3)(x^7)=x^(7/3)`

`f'(x) =7/3x^ (4/3) =7/3xroot3 (x)`

`g(x)=1/x^3+4/x^2-3/x+1=x^(text(-)3)+4x^(text(-)2)-3x^(text(-)1)+1`

`g'(x)=text(-)3/x^4-8/x^3+3/x^2`

`h'(x)=3 * (1 -sqrt(x)) ^2*(text(-)1)/(2sqrt(x))=text(-) 3/ (2 sqrt(x)) * (1 -sqrt(x)) ^2`

`j(x)=2 x - 5/(1-x) = 2x - 5(1-x)^(text(-)1)`

`j'(x)=2 -5/(1 -x)^2`

`f'(x)=text(-)3(2x-6)^2*2=text(-)6(2x-6)^2`

`f'(x) le 0` voor alle waarden van `x` en `f'(x)=0` als `x=3` .

De grafiek van `f` is daarom dalend voor elke waarde van `x` behalve voor `x=3` .

`f'(2 )=text(-)24` en `f(2)=12` , geeft als raaklijn: `y=text(-)24x+60` .

`x=0` geeft `y=60` , dus `P(0, 60)` .

`(8-x^2) ge 0` geeft `text(-)sqrt(8) le x le sqrt(8)` , dus `text(D)_f=[text(-) sqrt(8 ),sqrt(8 )]` .

Het minimum ligt op de rand van het domein: min. `f(text(-) sqrt(8 ))=text(-) sqrt(8 )` .
Het maximum bepaal je met behulp van differentiëren.

`f'(x)`	`=`	`1 -x/ (sqrt(8 -x^2)) =0`
`sqrt(8 -x^2)`	`=`	`x`
`8-x^2`	`=`	`x^2`
`x^2`	`=`	`4`

Dit geeft `x=2` ( `x=text(-)2` vervalt).

Je vindt: max. `f(2 )=4` . Het bereik is `text(B)_f=[text(-) sqrt(8), 4]` .

`A(text(-) sqrt(8 ), text(-)sqrt(8 ))` en `B=(sqrt(8 ),sqrt(8 ))` .
De helling van lijn `AB` is gelijk aan `1` .
Los op: `f'(x)=1` .

`f'(x)=1 -x/ (sqrt(8 -x^2)) =1` geeft `x=0` .

`600 *30 +500 *70 =53000` euro.

`sqrt(600^2+500^2)*70 ≈54671,75` euro.

`K(x)=30 (600 -x)+70 sqrt(500^2+x^2)`

De minimale kosten vind je met behulp van `K'(x)=text(-)30 + (70 x) / (sqrt(500^2+x^2)) =0` .
Dit geeft `sqrt(500^2+x^2)=7/3x` en `40/9x^2=250000` , zodat `x≈237` .
Je kunt dus het beste eerst ongeveer `600-273=363` m langs de straat graven en daarna door het veld recht naar `C` graven.

`f'(x)=36 x (1 +x^2) ^2`

`y'(x)=text(-)16 (1 -4 x) ^3`

`R'(t)=(7,5)/ (π sqrt(15/π t))`

`f'(x)= (4 x) / (sqrt(10 +4 x^2))`

`K'(p)=text(-)3/ (p^2 sqrt(p))`

`f'(x)=3 x^2+ 2 + 3/ (2 x sqrt(x)) -2/x^3`

`text(D)_f = [text(-)2 , →〉`

`f'(x)=2 -1/ (2 sqrt(x+2 ))`

Min. `f(text(-)1 1/2)=text(-)3 +1/2sqrt(2 )` .

`text(B)_f=[text(-)3 +1/2sqrt(2 ), →〉`

`f'(0 )=2 -1/ (2 sqrt(2 )) ≈ 1,65` .