Optimaliseren > De kettingregelUitleg
Soms bestaat een functievoorschrift uit een serie geschakelde functies.
Bijvoorbeeld:
`S(x)= (3 x+1) ^2`
.
Een functiewaarde
`S(x)`
bereken je in twee stappen met functies
`g`
en
`f`
:
-
`g(x)=3 x+1`
-
`f(g(x))= (g(x)) ^2`
De functie `S(x)= (3 x+1 ) ^2 = (g(x)) ^2=f(g(x))` heet een samengestelde functie of kettingfunctie.
Deze kettingfunctie kun je niet zo maar differentiëren met de machtsregel:
`S'(x)≠2 (3 x+1) ^1=6 x+2`
Dat zie je door bij de functie
`S`
eerst de haakjes weg te werken en dan pas te differentiëren.
`S(x)=9 x^2+6 x+1`
en
`S'(x)=18 x+6`
.
Er is ook een andere manier.
Schrijf `g(x)=3x+1=u` en `f(u)=u^2` . Dan is `S(x)=f(g(x))` .
Het differentiëren van `S` gaat als volgt:
-
Bepaal de afgeleide van `g(x)` : `g'(x)=3`
-
Bepaal de afgeleide van `f(u)` : `f '(u)=2u`
-
De afgeleide van `S` is het product van bovenstaande twee afgeleides: `S'(x)=g'(x)*f '(u)=3*2u=6*(3x+1)=18x+6`
In het algemeen geldt dat als `S(x)=f(g(x))` dan is `S'(x)=f'(g(x))*g'(x)` .
Dit is de kettingregel.
Bekijk de
Waarom is `S` een samengestelde functie? Waaraan herken je dat?
De functie `S(x)` kan geschreven worden als `S(x)=f(g(x))` . Geef `g(x)=u` en `f(u)` .
Bepaal `g'(x)` en `f'(u)` .
Bepaal de afgeleide van `S(x)` met de kettingregel.
Gegeven is de samengestelde functie `f(x) = 3 (x-2)^2 - 2` .
Ontleed `f(x)` in afzonderlijke schakels.
Welke invoerwaarden passen bij de functiewaarde `25` ?
Deze functie kun je differentiëren zonder eerst de haakjes uit te werken. Laat zien hoe.
Gegeven is functie: `g(x)=(3x^2+2)^4` .
Deze functie kun je zien als een samenstelling van twee functies. Welke twee functies?
Bepaal met behulp van de kettingregel de afgeleide van `g` .
Schrijf de volgende functievoorschriften als een ketting van afzonderlijke functies.
`y=sqrt(x^2-1 )`
`y=3 x^3+1`
`y= (3 x^2+2) ^4`