Optimaliseren > De productregelUitleg
Als de lengte en de breedte van een rechthoek functies van
`x`
zijn, dan is de oppervlakte
`A`
een productfunctie in
`x`
:
`A(x)=f(x)*g(x)`
Verander de oppervlakte van deze rechthoek door
`x`
te laten toenemen tot
`x+h`
. De nieuwe oppervlakte is:
`A(x+h)=f(x+h)*g(x+h)`
De toename van `A(x)` bestaat uit drie rechthoekjes:
-
een rechthoekje met een oppervlakte van `f(x)*(g(x+h)-g(x))`
-
een rechthoekje met een oppervlakte van `g(x)*(f(x+h)-f(x))`
-
een klein vierkantje met oppervlakte `(f(x+h)-f(x))*(g(x+h)-g(x))`
Deel je die toename door
`h`
, dan geldt:
`(A(x+h)-A(x)) /h`
`≈f(x)* (g(x+h)-g(x)) /h+g(x)* (f(x+h)-f(x)) /h + ((f(x+h)-f(x))*(g(x+h)-g(x)))/h`
Ofwel:
`(A(x+h)-A(x)) /h`
`≈f(x)* (g(x+h)-g(x)) /h+g(x)* (f(x+h)-f(x)) /h + (f(x+h)-f(x))/h *(g(x+h)-g(x))/h
* h`
En voor
`h rarr 0`
is dit:
`A'(x)=f(x)*g'(x)+g(x)*f'(x)`
Dit is de productregel, een differentieerregel om de afgeleide van een productfunctie
te bepalen.
Gegeven is de functie `P(x)=f(x)*g(x)` . Je kunt deze functie opvatten als de oppervlakte van een rechthoek met lengte `f(x)` en breedte `g(x)` .
De toename van de oppervlakte op `[x, x+h]` is
`ΔP=Δf(x)*Δg(x)`
`ΔP=f(x)*Δg(x)+g(x)*Δf(x)+Δf(x)*Δg(x)`
`ΔP=f(x)*Δg(x)+g(x)*Δf(x)`
Uit de toename van de oppervlakte kun je een regel voor het differentiëren van
`P(x)=f(x)*g(x)`
afleiden.
Stel dat
`f(x)=x^2`
en dat
`g(x)=x^4`
.
Bepaal met de productregel de afgeleide van de productfunctie.