Optimaliseren > De quotiëntregel
123456De quotiëntregel

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Eigen antwoord.

b

Bijvoorbeeld door die functie te schrijven als `f(x)=x^(text(-)1)` . De afgeleide wordt dan: `f'(x)=1 x^(text(-)2)=1/(x^2)` .

c

Gebruik de productregel en de kettingregel:
`f'(x) = t'(x)*(n(x))^(-1) + t(x)*text(-)1(n(x))^(text(-)2)*n'(x) = (t'(x))/(n(x)) - (t(x)*n'(x))/((n(x))^2)`

Door gelijknamig maken en beide breuken optellen krijg je:
`f'(x) = (t'(x)*n(x))/((n(x))^2) - (t(x)*n'(x))/((n(x))^2) = (t'(x)*n(x) - t(x)*n'(x))/((n(x))^2)`

Vergelijk dit antwoord met dat in de Theorie .

Opgave 1
a

`t'(x)=2x` en `n'(x)=1`

b

`g'(x)=(2x*(x-1)-x^2*1)/((x-1)^2) = (x^2-2x)/((x-1)^2)`

Ga na, dat dit inderdaad hetzelfde is als de afgeleide die in de Uitleg is gevonden.

Opgave 2
a

`t(x)=x` en `n(x)=x-2`

b

`f(x)=x* (x-2) ^(text(-)1)` geeft `f'(x)=1 * (x-2) ^(text(-)1)+x*text(-)1 (x-2) ^(text(-)2)*1 = 1/(x-2) - x/((x-2)^2)` .

Opgave 3
a

`f'(x)= (1 *(x-2 )-1 *x) /((x-2)^2)= (text(-)2)/((x-2)^2)`

b

Maak bij de versie van vorige opgave de breuken gelijknamig en tel ze op.

Opgave 4
a

`f'(x)= (1*x-(x+1 )*1) /x^2=text(-)1/(x^2)`

b

`f(x)=1 +x^(text(-)1)` geeft `f'(x)=text(-)x^(text(-)2)=text(-)1/(x^2)`

Opgave 5

`g'(x)= (6x^2-6x) /((2x-1)^2)`

Opgave 6
a

`f'(x)= ((2 x+1 )*6 x-(3 x^2-4 )*2) /((2 x+1)^2)= (6 x^2+6 x+8) /((2 x+1 )^2)`

b

`f(x)=4/(x-2)^2=4*(x-2)^(text(-)2)`

`f'(x)=(text(-)8)/((x-2)^3)`

c

Gebruik de quotiënt- en kettingregel.

`f'(x)= (3*(4 +x^2) ^ (1/2) -(3 x-1 )*1/2 (4 +x^2) ^ (text(-) 1/2) *2 x) / (4 +x^2) = (3 (4 +x^2)-x(3 x-1 )) /((4 +x^2)sqrt(4+x^2))= (12 +x) / ((4 +x^2)sqrt(4 +x^2))`

d

`f(x)= ((x+1 )(x-1 )) / (x+1) =x-1` (als `x≠text(-)1` ).

`f'(x)=1` (als `x≠text(-)1` ).

Opgave 7

`g'(x)=(2*(x^2+1)-2x*2x)/(x^2+1)^2=(text(-)2x^2+2)/(x^2+1)^2`

`g'(x)=0` geeft `text(-)2x^2+2=0` en `x=text(-)1 vv x=1` .

Met behulp van de grafiek of een tekenschema vind je min. `g(text(-)1)=text(-)1` en max. `g(1)=1` .

Opgave 8
a

`f'(x)=(3x^2*(1+x^4)+x^3*4x^3)/((1+x^4)^2)=(3 x^2-x^6) /((1 +x^4)^2)`

`f'(x)=0` geeft `3x^2-x^6=0` en `x=0 vv x=±root4 (3 )≈±1,32` (de noemer wordt bij die waarden niet `0` ).

Uit de grafiek of met behulp van een tekenschema vind je max. `f(1,32 )≈0,57` en min. `f(text(-)1,32 )≈text(-)0,57` .

b

`f'(1)=0,5` en `f(1)=0,5` geeft `y=0,5x` .

Opgave 9
a

`f'(x)= ((x^2-16x)*1-(2x-16)*(x+1))/((x^2-16x)^2)=(text(-)x^2-2 x+16) /((x^2-16 x) ^2)`

b

`g(x)=(x^2-4x+5)^(text(-)1)`

`g′(x)= (text(-)2 x+4) /((x^2-4 x+5) ^2)`

c

`h(x)=2x^2-10x+60+120x^(text(-)1)`

`h'(x)=4x-10-120/(x^2)`

d

`j'(x)=(2(x^2-10)-2x*2x)/((x^2-10)^2)=(text(-)2x^2-20)/((x^2-10)^2)`

e

`k(x)=text(-)4(1-3x^2)^(text(-)1)`

`k'(x)= (text(-)24 x) /((1 -3 x^2) ^2)`

f

`l'(x)=200 -2000/(x^2)`

Opgave 10
a

`f'(x)=(3(x^2+2)-3x*2x)/((x^2+2)^2)=(text(-)3x^2+6)/((x^2+2)^2)`

`f'(x)=0` geeft `text(-)3x^2+6=0` en dus `x=text(-)sqrt(2) vv x=sqrt(2)` .

Uit de grafiek of met behulp van een tekenschema vind je min. `f(text(-)sqrt(2))=text(-)3/4sqrt(2)` en max. `f(sqrt(2))=3/4sqrt(2)` .

b

`f'(1)=1/3` en `f(1)=1` geeft `y=1/3 x+2/3` .

Opgave 11
a

`H'(t)=(1/(sqrt(2t+6))*3t-sqrt(2t+6)*3)/(9t^2)=(t-(2t+6))/(3t^2*sqrt(2t+6))=(text(-)t-6)/(3t^2*sqrt(2t+6))`

b

`I'(x)=(2pi(pi^2-3x^2)-(2pix-5)*text(-)6x)/(pi^2-3x^2)^2=(6pix^2-30x+2pi^3)/(pi^2-3x^2)^2`

c

`A'(r)=(2*sqrt(4r+8)-2r*2/(sqrt(4r+8)))/(4r+8)=(4r+16)/((4r+8)sqrt(4r+8))`

d

`T(x)=((x-2)(x+2))/(x-2)=x+2` (als `x ne 2` ).

`T'(x)=1` (als `x ne 2` ).

Opgave 12
a

`f'(x)= (8(x^2+4)-(8x+12)*2x) /((x^2+4 ) ^2)=(text(-)8x^2-24x+32)/((x^2+4)^2)`

`f'(x) = 0` geeft `text(-)8x^2-24x+32 = 0` en `x^2+3x-4=(x+4)(x-1)=0` .
Dit levert op `x=text(-)4 vv x=1` .

Met behulp van de grafiek vind je min. `f(text(-)4 )=text(-)1` en max. `f(1 )=4` .

b
`f(x)` `=` `3/2`
`(8 x+12) / (x^2+4)` `=` `3/2`
`3x^2+12` `=` `16x+24`
`3x^2-16x-12` `=` `0`
`x` `=` `text(-)2/3 vv x=6`

Met behulp van de grafiek vind je: `x < text(-) 2/3 vv x>6` .

c

`f(0)=3` , dus `B(0, 3)` .

`f(x)=0` geeft `8x+12=0` en dus `x=text(-)1,5` . Punt `A` heeft de coördinaten `(text(-)1,5; 0)` .

De vergelijking van de lijn door `AB` is `y=2x+3` .

`f'(0)=2` en `f(0)=3` .

De vergelijking van de raaklijn aan `f` in punt `B` is dus ook `y=2x+3` .

Opgave 13
a

`f'(x) = (3(x+3)^2*3x^2-(x+3)^3*6x)/((3x^2)^2) = ((x+3)^2*3x-(x+3)^3*2)/(3x^3) = ((x-6)(x+3)^2)/(3x^3)` .

b

`f'(x)=0` als `x=text(-)3 vv x=6` .

Met behulp van de grafiek of een tekenschema vind je min. `f(6 )=6,75` .

Opgave 14Verpakking
Verpakking
a

Stel de breedte is `x` cm, dan is de lengte `4 x` cm. En dan is `4 x^2h=1000` dus `h=250/x^2` .
Hieruit volgt voor de lengte `L` van het lint: `L(x)=10 x+1000/x^2` .

b

`L'(x)=10 -2000/x^3=0` geeft `x^3=200` en dus `x≈5,8` cm.
Met behulp van de grafiek van `L` of een tekenschema van `L'` zie je dat `L` een minimum heeft voor `x≈5,8` . De afmetingen van het doosje zijn dan: `5,8 *23,4 *7,3` (in cm).

Opgave 15Gelijkstroomcircuit
Gelijkstroomcircuit
a

`P(R)=R*12/((R+12)^2)= (144 R) /((R+12 ) ^2)`

b

`P'(R)= (text(-)144 R+1728) /((R+12) ^3)=0` geeft `text(-)144R+1728=0` , dus `R=12` .
Het maximaal ontwikkelde vermogen is `P(12 )=3` watt.

Opgave 16
a

`f'(x)=7/((1 - x) ^2)`

b

`g'(x)= (0,5 -2,5 x^3) / ((1 + x^3)^2 sqrt(x))`

c

`H'(t)=1/((t+1) ^2)`

d

`y'(x)= (text(-)4 x^5+4 x^3-8 x) /((1 +x^2)^5)`

Opgave 17
a

Min. `f(1,55 )≈3,22` en max. `f(6,45 )≈0,78` .

b

`y=text(-) x+4`

Opgave 18
a

Min. `f(text(-) sqrt(2 ))=text(-)5 sqrt(2 )` en max. `f(sqrt(2 ))=5 sqrt(2 )` .

b

Die raaklijn zit bij `x=0` (zie grafiek) en `f'(0 )=10` .

verder | terug