Eigen antwoord.
Bijvoorbeeld door die functie te schrijven als `f(x)=x^(text(-)1)` . De afgeleide wordt dan: `f'(x)=1 x^(text(-)2)=1/(x^2)` .
Gebruik de productregel en de kettingregel:
`f'(x) = t'(x)*(n(x))^(-1) + t(x)*text(-)1(n(x))^(text(-)2)*n'(x) = (t'(x))/(n(x))
- (t(x)*n'(x))/((n(x))^2)`
Door gelijknamig maken en beide breuken optellen krijg je:
`f'(x) = (t'(x)*n(x))/((n(x))^2) - (t(x)*n'(x))/((n(x))^2) = (t'(x)*n(x) - t(x)*n'(x))/((n(x))^2)`
Vergelijk dit antwoord met dat in de
`t'(x)=2x` en `n'(x)=1`
`g'(x)=(2x*(x-1)-x^2*1)/((x-1)^2) = (x^2-2x)/((x-1)^2)`
Ga na, dat dit inderdaad hetzelfde is als de afgeleide die in de
`t(x)=x` en `n(x)=x-2`
`f(x)=x* (x-2) ^(text(-)1)` geeft `f'(x)=1 * (x-2) ^(text(-)1)+x*text(-)1 (x-2) ^(text(-)2)*1 = 1/(x-2) - x/((x-2)^2)` .
`f'(x)= (1 *(x-2 )-1 *x) /((x-2)^2)= (text(-)2)/((x-2)^2)`
Maak bij de versie van vorige opgave de breuken gelijknamig en tel ze op.
`f'(x)= (1*x-(x+1 )*1) /x^2=text(-)1/(x^2)`
`f(x)=1 +x^(text(-)1)` geeft `f'(x)=text(-)x^(text(-)2)=text(-)1/(x^2)`
`g'(x)= (6x^2-6x) /((2x-1)^2)`
`f'(x)= ((2 x+1 )*6 x-(3 x^2-4 )*2) /((2 x+1)^2)= (6 x^2+6 x+8) /((2 x+1 )^2)`
`f(x)=4/(x-2)^2=4*(x-2)^(text(-)2)`
`f'(x)=(text(-)8)/((x-2)^3)`
Gebruik de quotiënt- en kettingregel.
`f'(x)= (3*(4 +x^2) ^ (1/2) -(3 x-1 )*1/2 (4 +x^2) ^ (text(-) 1/2) *2 x) / (4 +x^2) = (3 (4 +x^2)-x(3 x-1 )) /((4 +x^2)sqrt(4+x^2))= (12 +x) / ((4 +x^2)sqrt(4 +x^2))`
`f(x)= ((x+1 )(x-1 )) / (x+1) =x-1` (als `x≠text(-)1` ).
`f'(x)=1` (als `x≠text(-)1` ).
`g'(x)=(2*(x^2+1)-2x*2x)/(x^2+1)^2=(text(-)2x^2+2)/(x^2+1)^2`
`g'(x)=0` geeft `text(-)2x^2+2=0` en `x=text(-)1 vv x=1` .
Met behulp van de grafiek of een tekenschema vind je min. `g(text(-)1)=text(-)1` en max. `g(1)=1` .
`f'(x)=(3x^2*(1+x^4)+x^3*4x^3)/((1+x^4)^2)=(3 x^2-x^6) /((1 +x^4)^2)`
`f'(x)=0` geeft `3x^2-x^6=0` en `x=0 vv x=±root4 (3 )≈±1,32` (de noemer wordt bij die waarden niet `0` ).
Uit de grafiek of met behulp van een tekenschema vind je max. `f(1,32 )≈0,57` en min. `f(text(-)1,32 )≈text(-)0,57` .
`f'(1)=0,5` en `f(1)=0,5` geeft `y=0,5x` .
`f'(x)= ((x^2-16x)*1-(2x-16)*(x+1))/((x^2-16x)^2)=(text(-)x^2-2 x+16) /((x^2-16 x) ^2)`
`g(x)=(x^2-4x+5)^(text(-)1)`
`g′(x)= (text(-)2 x+4) /((x^2-4 x+5) ^2)`
`h(x)=2x^2-10x+60+120x^(text(-)1)`
`h'(x)=4x-10-120/(x^2)`
`j'(x)=(2(x^2-10)-2x*2x)/((x^2-10)^2)=(text(-)2x^2-20)/((x^2-10)^2)`
`k(x)=text(-)4(1-3x^2)^(text(-)1)`
`k'(x)= (text(-)24 x) /((1 -3 x^2) ^2)`
`l'(x)=200 -2000/(x^2)`
`f'(x)=(3(x^2+2)-3x*2x)/((x^2+2)^2)=(text(-)3x^2+6)/((x^2+2)^2)`
`f'(x)=0` geeft `text(-)3x^2+6=0` en dus `x=text(-)sqrt(2) vv x=sqrt(2)` .
Uit de grafiek of met behulp van een tekenschema vind je min. `f(text(-)sqrt(2))=text(-)3/4sqrt(2)` en max. `f(sqrt(2))=3/4sqrt(2)` .
`f'(1)=1/3` en `f(1)=1` geeft `y=1/3 x+2/3` .
`H'(t)=(1/(sqrt(2t+6))*3t-sqrt(2t+6)*3)/(9t^2)=(t-(2t+6))/(3t^2*sqrt(2t+6))=(text(-)t-6)/(3t^2*sqrt(2t+6))`
`I'(x)=(2pi(pi^2-3x^2)-(2pix-5)*text(-)6x)/(pi^2-3x^2)^2=(6pix^2-30x+2pi^3)/(pi^2-3x^2)^2`
`A'(r)=(2*sqrt(4r+8)-2r*2/(sqrt(4r+8)))/(4r+8)=(4r+16)/((4r+8)sqrt(4r+8))`
`T(x)=((x-2)(x+2))/(x-2)=x+2` (als `x ne 2` ).
`T'(x)=1` (als `x ne 2` ).
`f'(x)= (8(x^2+4)-(8x+12)*2x) /((x^2+4 ) ^2)=(text(-)8x^2-24x+32)/((x^2+4)^2)`
`f'(x) = 0`
geeft
`text(-)8x^2-24x+32 = 0`
en
`x^2+3x-4=(x+4)(x-1)=0`
.
Dit levert op
`x=text(-)4 vv x=1`
.
Met behulp van de grafiek vind je min. `f(text(-)4 )=text(-)1` en max. `f(1 )=4` .
`f(x)` | `=` | `3/2` | |
`(8 x+12) / (x^2+4)` | `=` | `3/2` | |
`3x^2+12` | `=` | `16x+24` | |
`3x^2-16x-12` | `=` | `0` | |
`x` | `=` | `text(-)2/3 vv x=6` |
Met behulp van de grafiek vind je: `x < text(-) 2/3 vv x>6` .
`f(0)=3` , dus `B(0, 3)` .
`f(x)=0` geeft `8x+12=0` en dus `x=text(-)1,5` . Punt `A` heeft de coördinaten `(text(-)1,5; 0)` .
De vergelijking van de lijn door `AB` is `y=2x+3` .
`f'(0)=2` en `f(0)=3` .
De vergelijking van de raaklijn aan `f` in punt `B` is dus ook `y=2x+3` .
`f'(x) = (3(x+3)^2*3x^2-(x+3)^3*6x)/((3x^2)^2) = ((x+3)^2*3x-(x+3)^3*2)/(3x^3) = ((x-6)(x+3)^2)/(3x^3)` .
`f'(x)=0` als `x=text(-)3 vv x=6` .
Met behulp van de grafiek of een tekenschema vind je min. `f(6 )=6,75` .
Stel de breedte is
`x`
cm, dan is de lengte
`4 x`
cm. En dan is
`4 x^2h=1000`
dus
`h=250/x^2`
.
Hieruit volgt voor de lengte
`L`
van het lint:
`L(x)=10 x+1000/x^2`
.
`L'(x)=10 -2000/x^3=0`
geeft
`x^3=200`
en dus
`x≈5,8`
cm.
Met behulp van de grafiek van
`L`
of een tekenschema van
`L'`
zie je dat
`L`
een minimum heeft voor
`x≈5,8`
. De afmetingen van het doosje zijn dan:
`5,8 *23,4 *7,3`
(in cm).
`P(R)=R*12/((R+12)^2)= (144 R) /((R+12 ) ^2)`
`P'(R)= (text(-)144 R+1728) /((R+12) ^3)=0`
geeft
`text(-)144R+1728=0`
, dus
`R=12`
.
Het maximaal ontwikkelde vermogen is
`P(12 )=3`
watt.
`f'(x)=7/((1 - x) ^2)`
`g'(x)= (0,5 -2,5 x^3) / ((1 + x^3)^2 sqrt(x))`
`H'(t)=1/((t+1) ^2)`
`y'(x)= (text(-)4 x^5+4 x^3-8 x) /((1 +x^2)^5)`
Min. `f(1,55 )≈3,22` en max. `f(6,45 )≈0,78` .
`y=text(-) x+4`
Min. `f(text(-) sqrt(2 ))=text(-)5 sqrt(2 )` en max. `f(sqrt(2 ))=5 sqrt(2 )` .
Die raaklijn zit bij `x=0` (zie grafiek) en `f'(0 )=10` .