Optimaliseren > Toepassingen
123456Toepassingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Probeer dit eerst zelf op te lossen, denk aan de formules voor de inhoud en de oppervlakte van een cilinder. De oplossing wordt verder uitgewerkt in de Uitleg .

Opgave 1
a

De goot is een zuivere balk waarvan de wanden allemaal even dun zijn. Hierdoor wordt de hoeveelheid materiaal alleen bepaald door de oppervlakte ervan.

b

Als de breedte van de goot `x` is, dan moet `x + 2h = 40` cm, de totale breedte van de kunststofplaat. Daaruit volgt `2h = 40-x` en `h = 20 - 0,5x` .

c

Omdat `h = 20 - 0,5x` wordt `I(x)=200*x*h=200x(20-0,5x)=4000x-100x^2` .

d

`I'(x)=4000 -200 x=0` geeft `x=20` . Dat er van een maximum sprake is, zie je aan de grafiek van `I` : een bergparabool.

Opgave 2
a

Oppervlakte grondvlak (en bovenvlak): `b*b=b^2` .
Oppervlaktes zijkant: `b*h` .
Oppervlakte pak: `2b^2+4bh` .

b

Vul de uitdrukking `h=1500/b^2` in in de formule `A=2b^2+4bh` .
Dit geeft `A(b) = 2b^2+4b*1500/b^2 = 2b^2+6000/b` .

c

`A'(b)=4b-6000/b^2=0` geeft `b^3=1500` en dus `b~~11,45` .

Opgave 3

Neem `x` voor de lengte van `BP` .
Ga na dat dan `30 -x` de lengte van `AP` en `sqrt(x^2+100 )` de lengte van `PH` is.

Als `t` de benodigde tijd per meter langs de weg is, is `2t` de benodigde tijd per meter door de tuin.
De totale benodigde tijd `T` is daarom: `T(x)=t(30 -x)+2tsqrt(x^2+100 )` .
Bepaal de waarde van `x` waarvoor `T` maximaal is door de afgeleide gelijk te stellen aan `0` .

`T(x)` `=` `t(30 -x+2sqrt(x^2+100 ))`
`T'(x)` `=` `t(text(-)1 + (2x) / (sqrt(x^2+100 )))`
`0` `=` `t(text(-)1 + (2x) / (sqrt(x^2+100 )))`
`0` `=` `text(-)1 + (2x) / (sqrt(x^2+100 ))`
`sqrt(x^2+100 )` `=` `2x`
`3x^2` `=` `100`
`x` `=` `sqrt(100/3)≈5,77`

Er moet `24,23` meter langs de wegkant worden gegraven en vandaar rechtstreeks door de tuin naar het woonhuis.

Opgave 4
a

De hoogte van driehoek `BCD` met als basis `2x` is `sqrt(9-x^2)` .

De oppervlakte van driehoek `BCD` is daarom `1/2*2x*sqrt(9-x^2)=x*sqrt(9-x^2)` .

De oppervlakte van rechthoek `BDEA` is `2x*3=6x` .

De vloeroppervlakte `A` is `A(x)=6x+x*sqrt(9-x^2)` .

b

`A'(x)=6+sqrt(9-x^2)-(x^2)/(sqrt(9-x^2))`

De differentieerregels die je gebruikt zijn de machtsregel, somregel, productregel en kettingregel.

c

Door de afgeleide van `A` gelijk te stellen aan `0` , kun je de extreme waarden van `A` uitrekenen.

`A'(x) = 6 +sqrt(9 -x^2)-x^2/ (sqrt(9 -x^2))` `=` `0`
`6 sqrt(9 -x^2)` `=` `2 x^2-9`
`36(9-x^2)` `=` `(2x^2-9)^2`
`324-36x^2` `=` `4x^4-36x^2+81`
`x^4` `=` `243/4`
`x` `~~` `2,79`

Eerst links en rechts van het isgelijkteken vermenigvuldigen met `sqrt(9-x^2)` en herleiden. Dan ga je kwadrateren, vervolgens de haakjes wegwerken en herleiden. En tot slot links en rechts van het isgelijkteken tot de macht `1/4` .

Aan de grafiek van `A` of een tekenschema zie je dat er een maximum is bij `x~~2,79` .

De maximale vloeroppervlakte wordt bereikt als `x≈2,79` m.

d

De maximale vloeroppervlakte is `A(2,79)=6*2,79+2,79*sqrt(9 -(2,79)^2)~~19,8` m2.

Opgave 5
a

Eigen antwoord.

b

Het blauwe streepjeslijntje is `A(x)` . Ga na dat de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden `x-1` en `A(x)` gelijkvormig is met de grotere rechthoekige driehoek met zijden `x` en `sqrt(2,5^2-x^2)` .
Daaruit volgt: `(x-1) /x= (A(x)) / (sqrt(2,5^2-x^2))` .

c

`A(x)=(1 -1/x)sqrt(2,5^2-x^2)` geeft `A'(x)=1/x^2*sqrt(2,5^2-x^2)+(1 -1/x)* (- x) / (sqrt(2,5^2-x^2))` .
`A'(x)=0` levert op `(sqrt(2,5^2-x^2)) /x^2= (x-1) / (sqrt(2,5^2-x^2))` en dus `x^3-x^2=2,5^2-x^2` en `x^3=6,25` zodat `x=root3 (6,25 )≈1,84` .
Ga na dat er inderdaad van een maximum sprake is.

Opgave 6

De lengte van `CD` is `L(p)=x-4-1/8(0,5x-2)^5` .
`L'(p)=1-5/16*(0,5p-2)^4=0` geeft `(0,5p-2)^4=3,2` en `0,5p-2=root(4)(3,2) vv 0,5p-2=text(-)root(4)(3,2)` .

Dus: `p=4+2root(4)(3,2)~~6,67 vv p=4-2root(4)(3,2)~~1,33` (vervalt).

Met behulp van de grafiek of een tekenschema zie je dat je te maken hebt met een maximum.

De lengte `CD` is maximaal als `p~~6,67` .

Opgave 7

De lengte van `AB` is `L(p)=sqrt(p)-p^2` .
`L'(p)=1/ (2 sqrt(p)) -2 p=0` geeft `4 psqrt(p)=1` en dus `p^3=1/16` .
De lengte van `AB` is maximaal als `p=root3 (1/16)≈0,40` .

Opgave 8

De oppervlakte `A` van rechthoek `ABCD` is `A(p)=2 p(4 -p^2)=8 p-2 p^3` .
`A'(p)=8 -6 p^2=0` als `p=±sqrt(4/3)` .
De maximale oppervlakte is `5 1/3sqrt(4/3)` .

Opgave 9
a

Doen.

b

Eigen antwoord.

c

`A(x)=(x-2 )(100/x-3 )`

d

`A'(x)=text(-)3 +200/x^2=0` geeft `x^2=200/3` en dus `x≈8,2` dm.

e

De poster moet ongeveer `8,2` bij `12,2` dm worden.

Opgave 10

Noem de basis van de gelijkbenige driehoek `x` , dan zijn de benen elk `10 -1/2x` .
De oppervlakte is dan `A(x)=1/2xsqrt( (10 -1/2x) ^2- (1/2x) ^2)=1/2xsqrt(100 -10 x)` .
`A'(x)=1/2sqrt(100 -10 x )- (2,5 x) / (sqrt(100 -10 x)) =0` geeft `100 -10 x=5 x` en dus `x=6 2/3` .
De zijden zijn dus alle drie `6 2/3` cm.

Opgave 11

`ΔABC` is gelijkvormig met `ΔADE` , dus `x/ (x+1) =3/ (DE)` zodat `DE= (3 x+3) /x=3 +3/x` .
De lengte van de ladder is `L(x)=sqrt( (x+1) ^2+ (3 +3/x) ^2)` .
Met behulp van differentiëren bepaal je nu het minimum van `l(x)= (x+1) ^2+ (3 +3/x) ^2` .
Je vindt een minimale lengte van `7,56` m.

Opgave 12
a

De lengte van `OP` is `L(p)=sqrt(p^2+ ((4 -p^2)) ^2)=sqrt(p^4-7 p^2+16 )` .
`L(p)` is minimaal als `l(p)=p^4-7 p^2+16` dat is.
`l'(p)=4 p^3-14 p=0` als `p=0 ∨p=±sqrt(3,5 )` .
De minimale lengte van lijnstuk `OP` is `L(±sqrt(3,5 ))=sqrt(3,75 )` .

b

De oppervlakte van rechthoek `APQB` is `A(p)=2 p(4 -p^2)=8 p-2 p^3` .
`A'(p)=8 -6 p^2=0` als `p=±sqrt(4/3)` .
De maximale oppervlakte is `5 1/3sqrt(4/3)` .

Opgave 13
a

Maak een schets van de situatie.

b

`A'(k)=sqrt(10 -2 k)-k/ (sqrt(10 -2 k)) =0` geeft `sqrt(10 -2 k)=k/ (sqrt(10 -2 k))` en `10 -2 k=k` zodat `k=3 1/3` .

Opgave 14
a

Als `p=1` is `f(x)= (x^2+1) /x=x+1/x` .
`f'(x)=1 -1/x^2=0` geeft `x^2=1` en dus `x=text(-)1 ∨x=1` .
Extremen max. `f(text(-)1 )=text(-)2` en min. `f(1 )=2` .

b

`f'(x)=1 -p/x^2=0` geeft `x^2=p` .
Er zijn geen oplossingen als `p < 0` en ook als `p=0` zijn er geen extremen.

c

`f'(0 )=1 - p/x^2` en `f'(2 )=1 - p/4=text(-)1` geeft `p=8` .

Opgave 15
a

Min. `f(0 )=f(1 )=0` en max. `f(1/2)=1/256` .

b

`k=5/9`

Opgave 16

Ongeveer `0,85` m.

verder | terug