Optimaliseren > Toepassingen
123456Toepassingen

Voorbeeld 1

Een fabriek maakt kartonnen pakken voor vruchtensap in de vorm van een balk met een vierkant grondvlak. Het pak heeft een inhoud van `1,5` liter. Voor de fabrikant is het belangrijk dat er zo min mogelijk karton wordt gebruikt, dan blijven de kosten namelijk laag.
Wat zijn de optimale afmetingen van het pak?

> antwoord

Stel een wiskundig model op. Neem aan dat elk pak een zuivere balk is met een vierkant grondvlak en dat de benodigde hoeveelheid karton gelijk is aan de totale oppervlakte van het pak. De twee bepalende variabelen zijn de breedte van het grondvlak `b` en de hoogte `h` . Neem beide in centimeter.
Gegeven is de inhoud van een pak ( `1,5` L `= 1500` cm3), de eis is dat de oppervlakte minimaal moet zijn.
Voor de inhoud van de balk geldt: `I=b^2h` .
Voor de oppervlakte van de balk geldt: `A=2b^2+4bh` .

Met `I=1500` vind je `b^2h=1500` en dus: `h=1500/ (b^2)` .
Vul in de formule voor `A` deze uitdrukking in voor `h` . Dit geeft: `A(b)=2b^2+6000/b` .

Met behulp van differentiëren of de grafische rekenmachine vind je dat voor `b≈11,45` cm en `h≈11,47` cm de totale oppervlakte minimaal is.

Opgave 2

Gebruik de gegevens uit Voorbeeld 1.

a

Hoe kom je aan de formule voor de oppervlakte van het pak?

b

Laat zien hoe je de formule voor `A(b)` kunt afleiden.

c

Bepaal de afgeleide van `A(b)` en bereken met behulp daarvan de waarde van `b` waarvoor `A(b)` minimaal is.

verder | terug