Optimaliseren > ToepassingenVoorbeeld 2
Bekijk de figuur. Vanuit het aansluitingspunt `A` moet naar punt `H` van een woonhuis een nieuwe leiding worden gegraven. Het graven en weer dichtmaken van een sleuf in de tuin kost `1,5` keer zo veel tijd als datzelfde werk langs de wegkant `AB` . Hoe moet er worden gegraven om alles zo snel mogelijk te doen?
Neem
`x`
voor de lengte van
`BP`
.
Ga na dat dan
`30 -x`
de lengte van
`AP`
en
`sqrt(x^2+100 )`
de lengte van
`PH`
is.
Als
`t`
de benodigde tijd per meter langs de weg is, is
`1,5 t`
de benodigde tijd per meter door de tuin.
De totale benodigde tijd
`T`
is daarom:
`T(x)=t(30 -x)+1,5 tsqrt(x^2+100 )`
.
Bepaal de waarde van
`x`
waarvoor
`T`
maximaal is door de afgeleide gelijk te stellen aan
`0`
.
`T(x) = t(30 -x+1,5 sqrt(x^2+100 ))` geeft `T'(x) = t(text(-)1 + (1,5 x) / (sqrt(x^2+100 )))` .
| `T'(x) = t(text(-)1 + (1,5 x) / (sqrt(x^2+100 )))` | `=` | `0` | |
| `text(-)1 + (1,5 x) / (sqrt(x^2+100 ))` | `=` | `0` | |
| `sqrt(x^2+100 )` | `=` | `1,5 x` | |
| `1,25 x^2` | `=` | `100` | |
| `x` | `=` | `sqrt(80 )≈8,94` |
Er moet `21,06` meter langs de wegkant worden gegraven en vandaar rechtstreeks door de tuin naar het woonhuis.
Bekijk de gegevens uit
Iemand wil een serre aan zijn huis bouwen met vier even grote rechthoekige kozijnen. Elk kozijn is `2,5` meter hoog en `3` meter breed. Hij bestudeert de mogelijke opstellingen waarbij twee kozijnen `AB` en `DE` loodrecht op de muur worden bevestigd. De andere twee `BC` en `CD` worden zo geplaatst dat de vloeroppervlakte van de serre maximaal wordt.
|
|
|
Stel een formule op voor de vloeroppervlakte `A(x)` (m2) van de serre.
Bepaal `A'(x)` . Geef aan welke differentieerregels je gebruikt.
Voor welke `x` is de vloeroppervlakte maximaal?
Hoe groot is de maximale vloeroppervlakte ongeveer?