Optimaliseren > ToepassingenVoorbeeld 3
Je ziet hier een dwarsdoorsnede van een garage met een garagedeur (in figuur `PQ` ). Bij het openen van de deur gaat de onderkant recht omhoog, terwijl de bovenkant langs het plafond horizontaal naar binnen gaat. Binnen in de garage moet dus voldoende ruimte zijn om te zorgen dat een auto niet beschadigd raakt door de naar binnen komende deur. De garagedeur is `2,50` m hoog en je auto is `1,50` m hoog. Hoe ver komt de deur op die hoogte van `1,50` m maximaal naar binnen?
Noem de afstand van
`P`
tot het plafond
`x`
en de afstand die de deur op een hoogte van
`1,50`
m naar binnen komt
`A`
, beide in m. Je kunt dan met behulp van gelijkvormige rechthoekige driehoeken afleiden:
`A(x)=( (x-1) /x)sqrt(2,5^2-x^2)`
Door
`A'(x)=0`
op te lossen vind je:
`x≈1,84`
m.
En omdat
`A(1,84 )≈0,77`
m, komt de garagedeur op een hoogte van
`1,50`
m zo'n
`77`
cm naar binnen.
Bekijk het probleem in
Probeer eerst om (zonder naar het antwoord te kijken) zelf een oplossing te vinden.
Bekijk nu de oplossing die wordt gegeven. Als je zelf een andere of geen oplossing hebt gevonden, probeer dan zelf de formule voor `A(x)` af te leiden.
Bereken met behulp van differentiëren voor welke `x` de waarde van `A` maximaal is.