Gegeven is de functie
`f(x)=1 +sqrt(10 x-x^2)`
.
De grafiek van
`f`
heeft de eindpunten
`A`
en
`B`
. Zie figuur.
Los op: `f(x)≥x` . Rond niet-gehele grenswaarden af op één decimaal.
Bereken met behulp van differentiëren de helling van de grafiek van `f` in het punt `P(2 ,5 )` .
Voor elke waarde van
`a`
, met
`a>0`
, is gegeven de functie
`h(x)=1 +sqrt(ax-x^2)`
.
Als
`a=10`
ontstaat de functie
`f`
.
Het domein van `h` hangt af van `a` . Onderzoek voor welke waarde van `a` het domein van `h` het interval `[0 ,100 ]` is.
Als je voor enkele waarden van `a` de grafiek van `h` tekent, blijkt dat de toppen van deze grafieken op een rechte lijn liggen.
Geef een vergelijking van deze lijn. Licht je antwoord toe.
(bron: examen wiskunde B havo 2000, eerste tijdvak)
De temperatuur van een gekoeld pakje of blikje frisdrank stijgt op een zonnig strand
snel. Dit heeft verschillende oorzaken. We beperken ons in deze opgave tot de oppervlakte
en het volume van de verpakking. Als een verpakking bij dezelfde inhoud een grotere
oppervlakte heeft, zal de frisdrank erin sneller opwarmen. Hiervoor is de warmte-uitwisselingsfactor
`F`
van belang.
In beide verpakkingen gaat vrijwel dezelfde hoeveelheid frisdrank. De warmte-uitwisselingsfactor `F` is verschillend.
Onderzoek welke verpakking de kleinste `F` -waarde heeft.
Voor een groot koffiezetapparaat moet een cilindervormige tank worden ontworpen met
een inhoud van
`8`
liter (1 liter =
`1000`
cm3). Noem de straal van het grondvlak van deze tank
`r`
en de hoogte van deze tank
`h`
(
`r`
en
`h`
in cm).
De hoogte
`h`
van de tank kun je uitdrukken in de straal
`r`
. Er geldt
`h=8000/ (πr^2)`
. Een eis die men aan het ontwerp van het koffiezetapparaat stelt, is dat de hoogte
`h`
tussen
`20`
cm en
`40`
cm ligt.
Bereken welke waarden voor de straal `r` dan zijn toegestaan. Rond de getallen in je antwoord af op één decimaal.
In plaats van grenzen aan de hoogte te stellen zou men ook de volgende eis kunnen
stellen:
"De afmetingen van de tank moeten zodanig zijn dat de koffie er zo lang mogelijk warm
in blijft. Dat wordt bereikt als de warmte-uitwisselingsfactor F van de tank zo klein
mogelijk is."
Voor de warmte-uitwisselingsfactor van een cilindervormige tank met een inhoud van
`8`
liter heeft men de formule
`F=2/r+ (πr^2) /4000`
gevonden.
Bereken met behulp van differentiëren de straal van een tank die aan deze eis voldoet. Rond de getallen in je antwoord af op één decimaal.
(bron: examen wiskunde B havo 2006, tweede tijdvak)