Optimaliseren

Optimaliseren > Totaalbeeld

Overzicht

123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

`f'(x)=96x(3x^2-6)^7`

`g'(x)=x/ (sqrt(x^2+1 ))`

`h'(x)=4 sqrt(x^2+1 )+ (4 x^2) / (sqrt(x^2+1 ))`

`j'(x)= (text(-)4 x^2+4) /(x^2-1) ^2`

`k'(x)=1/4-1/ (4 x^2)`

`l'(x)=2/ ((x^2+1 )sqrt(x^2+1 ))`

Opgave 2

`f(x)=text(-)x+x^(1/3)`

`f'(x)=text(-)1 +1/ (3 root3 (x^2)) =0` geeft `x=±sqrt(1/27)` .
Aan de grafiek of met behulp van een tekenschema kun je zien dat:
min. `f(text(-)0,19 )≈text(-)0,38` en max. `f(0,19 )≈0,38` .

`f'(1 )=text(-) 2/3` en `f(1 )=0`

Vergelijking van de raaklijn: `y=text(-) 2/3x+2/3` .
`x=0` invullen geeft `y=2/3` , dus `A(0, 2/3)` .

Opgave 3

`f'(x)= (text(-)15 x^2+540) /(x^2+36 ) ^2=0` geeft `x=±6` .
Met behulp van een tekenschema van `f'` of de grafiek van f vind je:
min. `f(text(-)6 )=text(-)1,25` en max. `f(6 )=1,25` .

`f'(x)=(text(-)15x^2+540)/(x^2+36)^2`	`=`	`5/24`
`5(x^2+36)^2`	`=`	`24(text(-)72x^2+540)`
`(x^2+36)^2`	`=`	`text(-)72x^2+2592`
`x^4`	`=`	`1296`
`x`	`=`	`text(-)6 vv x=6`

In de punten `(text(-)6; text(-)1,25)` en `(6; 1,25)` is de raaklijn aan de grafiek van `f` evenwijdig met de lijn `y=5/24x-5` .

De lengte van `AB` is `L(p)=(15p)/(p^2+36)` .

`L'(p)=(text(-)15 p^2+540) /(p^2+36 ) ^2=0` geeft `p^2=36` en dus `p=text(-)6 vv p=6` .

Alleen `p=6` voldoet.

Opgave 4

De oppervlakte `A` van het trapezium is: `A(x)=(x+5)*sqrt(25-x^2)` .

`A'(x)=sqrt(25-x^2)+(x+4)*(text(-)x)/(sqrt(25-x^2))=0` geeft `text(-)2x^2-5x+25=0` en `x=text(-)5 vv x=2,5` .

Alleen `x=2,5` voldoet.

De oppervlakte is maximaal `A(2,5)~~32,48` m².

Opgave 5

`f_p'(x)`	`=`	`p(6-2x)^3+3px(6-2x)^2*text(-)2`
``	`=`	`p(6-2x)(6-2x)^2-6px(6-2x)^2`
``	`=`	`p(6 -8 x) (6 -2 x) ^2`

`f_(p)'(x)=0` geeft `x=0,75 vv x=3` .
In `x=3` wisselt de afgeleide (vanwege het kwadraat) niet van teken. Daar is dus geen uiterste waarde. In `x=0,75` wisselt de afgeleide wel van teken, dus daar zit de enige extreme waarde.

`p=text(-)4`

Opgave 6

Stel $A P = x$ , dan is ook $P S = x$ (gelijkbenige rechthoekige driehoeken!).
De oppervlakte van rechthoek $P Q R S$ is dan $A (x) = x (16 - 2 x) = 16 x - 2 x^{2}$ .
$A' (x) = 16 - 4 x = 0$ geeft $x = 4$ .
De oppervlakte van de rechthoek $P Q R S$ is maximaal als hij een vierkant is van $4$ bij $4$ cm.

Opgave 7

`t(x)= (sqrt(x^2+50^2)) /6+ (sqrt( (100 -x)^2+20^2)) /(1,5)`

`t'(x)=x/ (6 sqrt(x^2+2500 )) + (text(-)200 +2 x) / (3 sqrt(10400 -200 x+x^2)) =0` .
Deze vergelijking is alleen met de grafische rekenmachine op te lossen: `x≈95,6` m.
De bijbehorende minimale tijd is ongeveer `31,6` seconden.

Met het antwoord uit c bereken je de afstanden `AK` en `BK` .
`AK≈107,89` m en `BK≈20,48` m. De totale afstand is dus ongeveer `128,37` m.

Opgave 8File

File

Eerst alle eenheden gelijk maken: als `v` in m/s, dan is `R=3/4* ((3,6 v) /10) ^2=0,0972 v^2` .
Noem het aantal auto's per minuut `A` .
Bij elke auto hoort een totale lengte van `4 +R=4 +0,0972 v^2` m.
Daarvoor is een tijd nodig van `t= (4 +0,972 v^2) /v` s.
Per minuut kunnen er dus `A(v)= (3600 v) / (4 +0,972 v^2)` auto's doorstromen.
`A(v)` wil je maximaliseren. `A'(v)= (14400 -349,92 v^2) /((4 +0,0972 v^2)^2) = 0` geeft `v≈6,415` m/s.
De optimale doorstroomsnelheid is dan ongeveer `23` km/h.

Opgave 9Spiegel

Spiegel

`L(p)= sqrt( a^2 +x^2 ) +sqrt( b^2 + ((c-x)) ^2 )`

`L(x)=sqrt(4 +x^2)+sqrt(26 -10 x+x^2)` en `L'(x)=x/ (sqrt(4 +x^2)) + (-5 +x) / (sqrt(26 -10 x+x^2))` .
`L'(x)=0` geeft na kwadrateren `x^2(26 -10 x+x^2)=(4 +x^2)(x^2-10 x+25 )` en dan `3 x^2-40 x+100 =0` . Dit levert op `x= (40 ±sqrt(400 )) /6` en dus `x=10 ∨x3 1/3` .
`L` is minimaal als `x=3 1/3` dm.

Gebruik de gelijkvormigheid:
`∆AA'P` en `∆BB'P` zijn gelijkvormig, dus: `a/x =b/ (c-x)` .
En hieruit kun je `x` berekenen.

Opgave 10Wortelfuncties

Wortelfuncties

`f(x)=x` geeft `x≈5,9` .
Het antwoord is: `0 ≤x≤5,9` .

`f'(x)= (10 -2 x) / (2 sqrt(10 x-x^2))` geeft `f'(2 )=3/4` .

In de randpunten van het domein geldt: `ax–x^2=0` . Dus `100 a–10000 =0` en dit geeft `a=100` .

`ax–x^2` is maximaal als `a–2 x=0` . De `x` -coördinaat van de top is `a` en `h(a)=1 +a` .
Dus alle toppen liggen op de lijn `y=x+1` .

(bron: examen wiskunde B havo 2000, eerste tijdvak)

Opgave 11Warmtebalans

Warmtebalans

De inhoud in de verpakking is gelijk, dus hangt de `F` -waarde alleen af van de waarde van `A` ; naarmate `A` kleiner is, is de `F` -waarde kleiner.
De oppervlakte van de balkvormige verpakking is `A=2 (7,5 *4 +7,5 *10 +4 *10 )=290` (cm²).
De oppervlakte van de cilindervormige verpakking is `A=2 π*3^2+2 π*3 *10,6 ≈256` (cm²).
De `F` -waarde is het kleinst voor de cilindervormige verpakking.

`h>20` en `h < 40` , dus `8000/ (πr^2) >20` en `8000/ (πr^2) < 40` .
`8000/ (πr^2) =20` en `8000/ (πr^2) =40` oplossen geeft respectievelijk `r≈11,28` en `r≈7,98` .
`r` ligt tussen `8,0` en `11,3` .

`F'(r)=text(-)2/r^2+π/2000r=0` geeft `r^3=4000/π` en dus `r≈10,8` cm.

(bron: examen wiskunde B havo 2006, tweede tijdvak)

verder | terug