Optimaliseren

Opgave 1

Differentieer.

a

`f(x)=2(3x^2-6)^8`

b

`g(x)=sqrt(x^2+1 )`

c

`h(x)=4 xsqrt(x^2+1 )`

d

`j(x)= (4 x) / (x^2-1)`

e

`k(x)= (x^2+1) / (4 x)`

f

`l(x)= (2 x) / (sqrt(x^2+1 ))`

Opgave 2

Gegeven is de functie: `f(x)=text(-) x+root3 (x)` .

a

Bereken met behulp van differentiëren de extremen van `f` . Rond af op twee decimalen.

b

De raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x=1` snijdt de `y` -as in punt `A` . Bereken exact de coördinaten van `A` .

Opgave 3

Gegeven is de functie: `f(x)= (15 x) / (x^2+36)` .

a

Bereken algebraïsch de extremen van `f` .

b

In welke punt(en) is de raaklijn aan de grafiek van `f` evenwijdig met de lijn `y=5/24 x-5` ?

c

De lijn `x=p` met `3 < p < 8` snijdt de grafiek van `f` in punt `A` en de lijn `y=1` in punt `B` . Bereken algebraïsch voor welke waarde van `p` de lengte van lijnstuk `AB` maximaal is.

Opgave 4

Een boer wil voor zijn kippen een stuk grond met hekken af zetten. Hij heeft drie hekken van elk vijf meter lang. Deze hekken zet hij in de vorm van een trapezium tegen een grote muur.

Bereken algebraïsch wat de grootst mogelijke oppervlakte is die de boer kan afzetten. Geef je antwoord in m². Rond af op twee decimalen.

Opgave 5

Gegeven zijn de functies: `f_(p)(x)=px(6 -2 x) ^3` voor verschillende waarden van `p` .

a

Toon aan dat `f_(p)'(x)=p(6 -8 x) (6 -2 x) ^2` .

b

Voor elke waarde van `p` met `p≠0` heeft zo'n functie precies één uiterste waarde bij `x=0,75` . Toon dat aan.

c

Voor welke `p` heeft de grafiek van `f` een extreme waarde van `text(-)273,375` ?

Opgave 6

In een gelijkbenige rechthoekige driehoek $A B C$ is $A B$ de basis; $A B = 16$ cm. In deze driehoek wordt rechthoek $P Q R S$ beschreven, zie figuur.

Bereken de maximale oppervlakte die deze rechthoek kan hebben.

Opgave 7

Een zwemmer is in nood voor de kust van Bergen. De tekening geeft een beeld van de situatie. De zwemmer in nood bevindt zich bij punt `B` in zee. Een lid van de reddingsbrigade ziet de zwemmer in nood en wil in actie komen. Zij bevindt zich in punt `A` . Ze wil natuurlijk via de snelste weg naar de drenkeling toe. Maar wat is de snelste weg?
Een deel van de weg moet ze rennend afleggen en een deel zwemmend. Ze rent met een gemiddelde snelheid van `6` m/s en ze zwemt met een gemiddelde snelheid van `1,5` m/s. Hoe kan ze het snelst hulp bieden? Noem het punt waar ze in het water stapt `K` .
Punt `K` kan overal langs de aangegeven `100` m-lijn liggen. De tijd die ze nodig heeft om in `B` te komen moet natuurlijk zo klein mogelijk zijn. Noem de totale tijd `t` , de gemiddelde snelheid over het strand `v_s` en de gemiddelde snelheid in zee `v_z` .

a

Stel een formule op voor `t` als functie van `x` .

b

Bepaal met behulp van differentiëren de minimale tijd die ze nodig heeft om de zwemmer te bereiken.

c

Bepaal de kortste weg.

Testen