Vergelijkingen

Vergelijkingen > Breuken in formules

123456Breuken in formules

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Maak beide breuken eerst gelijknamig.
$\frac{3}{5} + \frac{2}{7} = \frac{21}{35} + \frac{10}{35} = \frac{31}{35}$

$\frac{3}{5} - \frac{2}{7} = \frac{21}{35} - \frac{10}{35} = \frac{11}{35}$
Meestal trek je in deze situatie de kleinste breuk van de grootste af. Doe je dit andersom dan krijg je een negatief getal als antwoord.

$\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{35}$

Maak beide breuken eerst gelijknamig.
$\frac{3}{5} / \frac{2}{7} = \frac{21}{35} / \frac{10}{35} = \frac{21}{10}$

${(\frac{3}{5})}^{2} + {(\frac{2}{7})}^{2} = \frac{9}{25} + \frac{4}{49} = \frac{441}{1225} + \frac{100}{1225} = \frac{541}{1225}$

Opgave 1

$\frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{p s}{q s} + \frac{q r}{q s} = \frac{p s + q r}{q s}$

$\frac{2}{p} + \frac{3}{q} = \frac{2 q}{p q} + \frac{3 p}{p q} = \frac{2 q + 3 p}{p q}$

$\frac{2}{a} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2 a} - \frac{a}{2 a} = \frac{4 - a}{2 a}$

$\frac{a}{2} + \frac{1}{a} = \frac{a^{2}}{2 a} + \frac{2}{2 a} = \frac{a^{2} + 2}{2 a}$

Opgave 2

$\frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{p r}{q s}$

$\frac{2}{p} \cdot \frac{3}{q} = \frac{6}{p q}$

$\frac{2}{a} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{2 a} = \frac{1}{a}$

$\frac{a}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}$

Opgave 3

$\frac{p}{q} / \frac{r}{s} = \frac{p s}{q s} / \frac{q r}{q s} = \frac{p s}{q r}$

$\frac{2}{p} / \frac{3}{q} = \frac{2 q}{p q} / \frac{3 p}{p q} = \frac{2 q}{3 p}$

$\frac{2}{a} / \frac{1}{2} = \frac{4}{2 a} / \frac{a}{2 a} = \frac{4}{a}$

$\frac{a}{2} / \frac{1}{a} = \frac{a^{2}}{2 a} / \frac{2}{2 a} = \frac{a^{2}}{2}$

Opgave 4

$\frac{3}{2 a} + \frac{5}{b} = \frac{3 b}{2 a b} + \frac{10 a}{2 a b} = \frac{10 a + 3 b}{2 a b}$

$\frac{3}{2 a} \cdot \frac{5}{b} = \frac{15}{2 a b}$

$\frac{3}{2 a} / \frac{5}{b} = \frac{3 b}{2 a b} / \frac{10 a}{2 a b} = \frac{3 b}{10 a}$

${(\frac{3}{2 a})}^{2} = \frac{3}{2 a} \cdot \frac{3}{2 a} = \frac{9}{4 a^{2}}$

Opgave 5

$\frac{1}{3} a + \frac{1}{2 a} = \frac{a}{3} + \frac{1}{2 a} = \frac{2 a^{2}}{6 a} + \frac{3}{6 a} = \frac{2 a^{2} + 3}{6 a}$

$\frac{1}{3} a \cdot \frac{1}{2 a} = \frac{a}{3} \cdot \frac{1}{2 a} = \frac{a}{6 a} = \frac{1}{6}$ (je vereenvoudigt de breuk door teller en noemer door $a$ te delen)

$\frac{1}{3} a + \frac{1}{2 a} = \frac{a}{3} + \frac{1}{2 a} = \frac{2 a^{2}}{6 a} + \frac{3}{6 a} = \frac{2 a^{2} + 3}{6 a}$

${(\frac{1}{3} a)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2 a})}^{2} = \frac{a^{2}}{9} \cdot \frac{1}{4 a^{2}} = \frac{a^{2}}{36 a^{2}} = \frac{1}{36}$

Opgave 6

Oefen jezelf met AlgebraKIT. Daarin kun je ook de antwoorden bekijken en uitleg uitklappen.

Opgave 7

$\frac{6 a}{8 a b} = \frac{2 \cdot 3 \cdot a}{2 \cdot 4 \cdot a \cdot b} = \frac{3}{4 b}$

$\frac{5 b}{15 b^{3}} = \frac{5 \cdot b}{5 \cdot 3 \cdot b \cdot b \cdot b} = \frac{1}{3 b^{2}}$

$\frac{7 a}{21} = \frac{7 \cdot a}{7 \cdot 3} = \frac{a}{3} = \frac{1}{3} a$

$\frac{5 a^{2} b}{a b} = \frac{5 a a b}{a b} = \frac{5 a}{1} = 5 a$

Opgave 8

$\frac{3 x^{2}}{x y} + \frac{x y}{4 y} = \frac{3 x}{y} + \frac{x y}{4 y} = \frac{12 x}{4 y} + \frac{x y}{4 y} = \frac{12 x + x y}{4 y}$ (Je ziet dat het verstandig is om niet zomaar beide breuken te vereenvoudigen. Ze moeten immers ook gelijknamig worden.)

$\frac{3 x^{2}}{x y} \cdot \frac{x y}{4 y} = \frac{3 x}{y} \cdot \frac{x}{4} = \frac{3 x^{2}}{4 y}$

Opgave 9

$\frac{2}{x} + \frac{1}{3 x}$	$=$	$1$	gelijknamig maken
$\frac{6}{3 x} + \frac{1}{3 x}$	$=$	$1$	breuken optellen
$\frac{7}{3 x}$	$=$	$1$	beide zijden $\cdot 3 x$
$7$	$=$	$3 x$	beide zijden $/ 3$
$x$	$=$	$\frac{7}{3}$

$\frac{1}{x} \cdot \frac{4}{x}$	$=$	$\frac{1}{4}$	breuken vermenigvuldigen
$\frac{4}{x^{2}}$	$=$	$\frac{4}{16}$	tellers gelijk, dus noemers ook
$x^{2}$	$=$	$16 x$	getallen proberen, denk om negatieve getallen
$x$	$=$	$x = 4$ of $x = -4$

$\frac{2}{3} + \frac{x}{9}$	$=$	$\frac{1}{6} x$	alle breuken gelijknamig maken
$\frac{12}{18} + \frac{2 x}{18}$	$=$	$\frac{3 x}{18}$	breuken optellen
$\frac{12 + 2 x}{18}$	$=$	$\frac{3 x}{18}$	noemers gelijk, dus tellers ook
$12 + 2 x$	$=$	$3 x$	beide zijden $- 2 x$
$x$	$=$	$12$

$\frac{2}{3} / \frac{x}{9}$	$=$	$12$	alle breuken gelijknamig maken
$\frac{6}{9} / \frac{x}{9}$	$=$	$12$	breuken delen
$\frac{6}{x}$	$=$	$12$	analogierekenen
$x$	$=$	$\frac{6}{12} = 0,5$

Opgave 10

$\frac{5}{a} + \frac{1}{2 b} = \frac{10 b}{2 a b} + \frac{a}{2 a b} = \frac{a + 10 b}{2 a b}$

$\frac{5}{a} \cdot \frac{1}{2 b} = \frac{5}{2 a b}$

$\frac{5}{a} / \frac{1}{2 b} = \frac{10 b}{2 a b} / \frac{a}{2 a b} = \frac{10 b}{a}$

${(\frac{1}{2 b})}^{3} = \frac{1}{2 b} \cdot \frac{1}{2 b} \cdot \frac{1}{2 b} = \frac{1}{8 b^{3}}$

Opgave 11

$\frac{5}{a} + \frac{4 a}{6 a^{2}} = \frac{5}{a} + \frac{2}{3 a} = \frac{15}{3 a} + \frac{2}{3 a} = \frac{17}{3 a}$

$\frac{5}{a} \cdot \frac{4 a}{6 a^{2}} = \frac{5}{a} \cdot \frac{2}{3 a} = \frac{10}{3 a^{2}}$

$\frac{5}{a} / \frac{4 a}{6 a^{2}} = \frac{5}{a} / \frac{2}{3 a} = \frac{15}{3 a} / \frac{2}{3 a} = \frac{15}{2} = 7,5$

${(\frac{5}{a})}^{2} - {(\frac{4 a}{6 a^{2}})}^{2} = {(\frac{5}{a})}^{2} - {(\frac{2}{3 a})}^{2} = \frac{25}{a^{2}} - \frac{4}{9 a^{2}} = \frac{225}{9 a^{2}} - \frac{4}{9 a^{2}} = \frac{221}{9 a^{2}}$

Opgave 12

Beide zijden $+ 4$ geeft $\frac{3}{x} = 12$ en daaruit volgt $x = \frac{3}{12} = 0,25$ .

Vermenigvuldigen en gelijknamig maken geeft $\frac{2}{7 x} = \frac{7}{7 x} + \frac{14 x}{7 x}$ en hieruit volgt $2 = 7 + 14 x$ en dus $x = - \frac{5}{14}$

Eerst de breuken gelijknamig maken geeft $\frac{1}{2 x} + \frac{4}{2 x} = 1$ en daarna optellen geeft $\frac{5}{2 x} = 1$ .
Dit betekent dat $2 x = 5$ en dus $x = 2,5$ .

Eerst de breuken gelijknamig geeft $\frac{2}{4} / \frac{x}{4} = 6$ en dan delen geeft $\frac{2}{x} = 6$ .
En dus is $x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Opgave 13

Je betaalt 0,52 euro per gesprek en daar bovenop moet je nog de abonnementskosten verdelen over de gesprekken.

$k_{B} = 0,60 + \frac{5,00}{a}$

$0,52 + \frac{9,90}{a} = 0,60 + \frac{5,00}{a}$ geeft $\frac{4,90}{a} = 0,08$ en dus $a = \frac{4,90}{0,08} = 61,25$ . Dus bij ongeveer 61 belminuten per maand.

Opgave 14

$n \cdot \frac{n}{n - 1} = \frac{n}{1} \cdot \frac{n}{n - 1} = \frac{n^{2}}{n - 1}$

$n + \frac{n}{n - 1} = \frac{n}{1} + \frac{n}{n - 1} = \frac{n \cdot (n - 1)}{n - 1} + \frac{n}{n - 1} = \frac{n^{2} - n + n}{n - 1} = \frac{n^{2}}{n - 1}$

Inderdaad zijn van deze twee getallen het product en de som hetzelfde! (Alleen als $n = 2$ zijn deze twee getallen hetzelfde.)

Opgave 15Omgekeerde

Omgekeerde

Neem voor de breuk $\frac{t}{n}$ . Het omgekeerde is dan $\frac{n}{t}$ en $\frac{t}{n} \cdot \frac{n}{t} = \frac{t n}{n t} = \frac{n t}{n t} = 1$ .

Omdat $g$ maal zijn omgekeerde gelijk is aan $1$ .

Dit getal is $g$ en er geldt: $g = 4 \cdot \frac{1}{g}$ , dus $g = \frac{4}{g}$ .
Gelijknamig maken geeft $\frac{g^{2}}{g} = \frac{4}{g}$ en dus $g^{2} = 4$ . Dus $g = 2$ .

Noem het getal $g$ en er geldt: $g + \frac{1}{g} = 10 g$ en dus $\frac{1}{g} = 9 g$ .
Deze vergelijking oplossen geeft $g = \frac{1}{3}$ .

Opgave 16Bijzonder gemiddelde

Bijzonder gemiddelde

De afstand die heen is gevlogen bedraagt $a$ km. De terugreis is even lang, ook $a$ km. Heen doe je daar $\frac{a}{900}$ uur over, terug $\frac{a}{960}$ .
Over $2 a$ km doe je dus $\frac{a}{900} + \frac{a}{960}$ uur.
Je gemiddelde snelheid is $\frac{2 a}{\frac{a}{900} + \frac{a}{960}}$ km/uur. Dat kun je herleiden tot $2 a / (\frac{a}{900} + \frac{a}{960}) = 2 a / (\frac{16 a}{14400} + \frac{15 a}{14400}) = 2 a / (\frac{31 a}{14400}) = (\frac{28800 a}{14400}) / (\frac{31 a}{14400}) = \frac{28800 a}{31 a} \approx 929$ km/uur.

verder | terug