Lineair en hyperbolisch > Lineaire vergelijkingenUitleg
De productie van een nieuw soort verf kost € 3,50 per liter. Verder zijn de vaste
kosten (machines, gebouwen, enzovoort)
berekend op € 24000. De fabrikant van deze verf wil de verf verkopen voor € 7,20 per
liter.
Hoeveel liter moet hij verkopen om winst te gaan maken?
Je begint met het opstellen van de formules voor de kosten en de opbrengst.
De productiekosten
`K`
hangen af van het geproduceerde aantal liters
`a`
:
`K=24000 +3,50a`
Als alle geproduceerde verf verkocht wordt, hangt de opbrengst
`R`
ook van
`a`
af:
`R=7,20a`
Om winst te maken, moet de opbrengst hoger zijn dan de kosten, dus `R > K` . Vul je voor `R` en `K` de betreffende formules in, krijg je een lineaire ongelijkheid:
`7,20a > 24000 + 3,50a`
Om de vraag te beantwoorden: "Hoeveel liter moet hij verkopen om winst te gaan maken?" moet je deze lineaire ongelijkheid oplossen. Daarvoor los je eerst de bijbehorende lineaire vergelijking op:
`7,20a=24000 +3,50a`
Voor zo'n vergelijking gebruik je de balansmethode:
| `7,20a` | `=` | `24000 +3,50a` |
beide zijden
`- 3,50a`
|
| `3,70a` | `=` | `24000` |
beide zijden delen door
`3,70`
|
| `a` | `=` | `24000/(3,70) ≈ 6486,5` |
Als je ervan uitgaat dat de fabrikant alleen hele liters verkoopt, zijn de opbrengsten bij een verkoop van `6487` liter gelijk aan de kosten. Wordt er meer verkocht, worden de opbrengsten groter dan de kosten. Dan maakt de fabrikant dus winst. De oplossing van de lineaire ongelijkheid `7,20a>24000 +3,50a` is dus `a>6486,5` .
Bekijk het probleem in de
Waarom hoort bij de aan het begin van de uitleg gestelde vraag een ongelijkheid?
De oplossing van het probleem is dat het aantal geproduceerde liters `6487` liter of meer zou moeten zijn. Ga na dat bij `6487` liter inderdaad winst wordt gemaakt en bij `6486` niet.
Bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden bij lineaire verbanden speelt de balansmethode een grote rol. Die moet je goed beheersen. Los de vergelijkingen op met de balansmethode.
`15 a+38 =10 a+53`
`5 a-36 =text(-)96 -3 a`
`25 g-150 =18 g`
`15200 +0,8 x=8400 +2 x`
Voor de productie van een nieuw soort verf geldt dat de kosten per liter € 4,00 bedragen. De vaste kosten zijn € 21000,00. De fabrikant verkoopt zijn verf voor € 6,40 per liter.
Stel de formule op voor de productiekosten `K` en de opbrengst `R` voor wanneer alle verf wordt verkocht. Beide variabelen zijn afhankelijk van het aantal verkochte liters verf `a` .
Hoeveel liter moet de fabrikant verkopen voordat hij winst gaat maken?