Lineair en hyperbolisch > Omgekeerd evenredig
123456Omgekeerd evenredig

Uitleg

Op de Afsluitdijk ligt een snelweg van 32 km lengte. Hoe sneller je rijdt, hoe korter je over die 32 km doet. De tijd die je nodig hebt is omgekeerd evenredig met de snelheid: rijd je twee keer zo snel, dan heb je de helft van de reistijd nodig.

  • Je rijdt 120 km/h op de snelweg. Je bent dan 32 / 120 60 = 16  minuten onderweg.

  • Bij grote drukte rijdt je 60 km/h. Je bent dan 32 / 60 60 = 32  minuten onderweg.

Je ziet dat je de reistijd t in minuten kunt berekenen door de afstand van 32 km te delen door de snelheid v (in km/h) en met 60 te vermenigvuldigen: t = 32 v 60 = 1920 v .
De grafiek van zo'n omgekeerd evenredig verband zie je hiernaast. Voor snelheden dicht bij 0 wordt de reistijd heel erg groot. Voor hele grote snelheden wordt de reistijd vrijwel 0.

Applet: grafiek omgekeerd evenredig verband

Twee variabelen x en y zijn omgekeerd evenredig als het vermenigvuldigen van x met een getal k tot gevolg heeft dat y met 1 k wordt vermenigvuldigd. Bijvoorbeeld: wordt x twee keer zo groot, dan wordt y een half keer zo groot.
Bij een omgekeerd evenredig verband hoort een formule van de vorm y = c x met c constant.
Je kunt die formule ook schrijven als x y = c .

De grafiek van zo'n omgekeerd evenredig verband is een hyperbool.

Opgave 1

Je rijdt 32 km over de snelweg.

a

Hoe lang (in minuten) doe je daar over als je 80 km/h rijdt?

b

Hoe lang (in minuten) doe je daar over als je 40 km/h rijdt?

Als het goed is heb je bij a en b ontdekt dat bij een twee keer zo grote snelheid een half keer zo grote reistijd hoort.

c

Laat nu met behulp van de formule in de Uitleg zien dat dit altijd waar is door de formules bij v en bij 2 v met elkaar te vergelijken.

d

Teken een grafiek van t = 1920 v . Maak eerst een tabel met voor v de waarden 10, 20, ..., 120.

e

Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid bijna 0 wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?

f

Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid heel groot wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?

Opgave 2

In de applet in de Uitleg zie je de grafiek van het omgekeerd evenredig verband y = c x waarin c een constante is. Je kunt c aanpassen met een schuifbalkje.

a

Neem c = 1 en bekijk de grafiek. De grafiek gaat door de punten ( 1 , 1 ) , ( 2 , 0,5 ) en ( 0,5 , 2 ) . Laat zien dat deze punten ook aan de formule voldoen.

b

Welke waarde heeft y als x = 100 ? En als x = 100000 ?

c

Bij welke waarde van x geldt y = 100 ? En welke als y = 100000 ?

Voor verschillende waarden van c krijg je verschillende grafieken. Het zijn allemaal hyperbolen.

d

Bij welke waarde van c gaat die hyperbool door het punt ( 2 , 3 ) ?

e

Waarom hebben al deze grafieken geen punt met x = 0 ?

Opgave 3

Het omgekeerde van een getal g is het getal dat met g vermenigvuldigt 1 oplevert.

a

Laat zien dat het omgekeerde van g gelijk is aan 1 g .

b

Wat is het omgekeerde van 3? En van 3 7 ?

c

Waarom heeft 0 geen omgekeerde?

d

Leg uit waarom "omgekeerd evenredig" hetzelfde betekent als "recht evenredig met het omgekeerde" .

verder | terug