Lineair en hyperbolisch > Hyperbolische verbanden
123456Hyperbolische verbanden

Uitleg

Je rijdt weer op de Afsluitdijk, die km lang is. Je stapt dit keer onderweg minuten uit om van het uitzicht te genieten. Bereken je nu de reistijd bij verdubbeling van de snelheid, zie je het volgende:

  • Bij een snelheid van km/h ben je minuten onderweg.

  • Bij een snelheid van km/h ben je minuten onderweg.

Nu betekent verdubbeling van de snelheid geen halvering van de reistijd. Snelheid en reistijd zijn niet omgekeerd evenredig.
Je ziet dat je de reistijd in minuten kunt berekenen door de afstand van  km te delen door de snelheid (km/h), met te vermenigvuldigen en ten slotte nog bij de uitkomst op te tellen:

Je spreekt van een hyperbolisch verband.

Voor snelheden dicht bij wordt de reistijd heel erg groot. Voor hele grote snelheden komt de reistijd in de buurt van de minuten.

De grafiek nadert naar de -as (de verticale asymptoot) en naar de horizontale lijn (de horizontale asymptoot).

Opgave 1

Je rijdt km over de snelweg en je stopt onderweg minuten om te tanken.

a

Hoeveel minuten doe je over deze km als je km/h rijdt?

b

Hoeveel minuten doe je daarover als je km/h rijdt?

c

Leg met behulp van je antwoorden bij a en b uit waarom nu de reistijd en de constante snelheid niet omgekeerd evenredig zijn.

d

Teken een grafiek van . Maak eerst een tabel met voor de waarden , , ..., .

e

Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid bijna wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?

f

Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid heel groot wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?

Opgave 2

Elk hyperbolisch verband heeft de vorm waarin en constanten zijn. Je kunt deze constanten aanpassen en bijpassende grafieken maken. Gebruik eventueel de applet in het Practicum .

a

Neem en . De grafiek gaat door de punten , en . Laat zien dat deze punten ook aan de formule voldoen.

b

Welke waarde heeft als ?
En als ?

c

Welke waarde heeft als ?
En welke als ?

Voor verschillende waarden van en krijg je verschillende grafieken. Het zijn allemaal hyperbolen. Neem .

d

Bij welke waarde van gaat die hyperbool door het punt ?

e

Waarom hebben al deze grafieken geen punt met ? Geldt dit ook voor andere waarden van ?

Neem nu .

f

Wat gebeurt er met de grafiek als verandert?

verder | terug