Lineair en hyperbolisch > Hyperbolische verbandenUitleg
Je rijdt weer op de Afsluitdijk, die `32` km lang is. Je stapt dit keer onderweg `5` minuten uit om van het uitzicht te genieten. Bereken je nu de reistijd bij verdubbeling van de snelheid, zie je het volgende:
-
Bij een snelheid van `120` km/h ben je `32 /120 *60 +5 =21` minuten onderweg.
-
Bij een snelheid van `60` km/h ben je `32 /60 *60 +5 =37` minuten onderweg.
Nu betekent verdubbeling van de snelheid geen halvering van de reistijd. Snelheid
en reistijd zijn niet omgekeerd evenredig.
Je ziet dat je de reistijd
`t`
in minuten kunt berekenen door de afstand van
`32`
km te delen door de snelheid
`v`
(km/h), met
`60`
te vermenigvuldigen en ten slotte nog
`5`
bij de uitkomst op te tellen:
`t=32/v*60 + 5 = 1920/v+5`
Je spreekt van een hyperbolisch verband.
Voor snelheden dicht bij `0` wordt de reistijd heel erg groot. Voor hele grote snelheden komt de reistijd in de buurt van de `5` minuten.
De grafiek nadert naar de `y` -as (de verticale asymptoot) en naar de horizontale lijn `t=5` (de horizontale asymptoot).
Je rijdt `32` km over de snelweg en je stopt onderweg `5` minuten om te tanken.
Hoeveel minuten doe je over deze `32` km als je `80` km/h rijdt?
Hoeveel minuten doe je daarover als je `40` km/h rijdt?
Leg met behulp van je antwoorden bij a en b uit waarom nu de reistijd `t` en de constante snelheid `v` niet omgekeerd evenredig zijn.
Teken een grafiek van `t=1920/v+5` . Maak eerst een tabel met voor `v` de waarden `10` , `20` , ..., `120` .
Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid bijna `0` wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?
Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid heel groot wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?
Elk hyperbolisch verband heeft de vorm
`y=c/x+d`
waarin
`c`
en
`d`
constanten zijn. Je kunt deze constanten aanpassen en bijpassende grafieken maken.
Gebruik eventueel de applet in het
Neem `c=1` en `d=2` . De grafiek gaat door de punten `(1, 3 )` , `(2; 2,5 )` en `(0,5; 4 )` . Laat zien dat deze punten ook aan de formule voldoen.
Welke waarde heeft
`y`
als
`x=100`
?
En als
`x=100000`
?
Welke waarde heeft
`y`
als
`x=0,01`
?
En welke als
`x=0,00001`
?
Voor verschillende waarden van `c` en `d` krijg je verschillende grafieken. Het zijn allemaal hyperbolen. Neem `d=2` .
Bij welke waarde van `c` gaat die hyperbool door het punt `(2, 3 )` ?
Waarom hebben al deze grafieken geen punt met `x=0` ? Geldt dit ook voor andere waarden van `d` ?
Neem nu `c=1` .
Wat gebeurt er met de grafiek als `d` verandert?