$32/80\cdot 60+5=29$ minuten.

$32/40\cdot 60+5=53$ minuten.

Als $v$ twee keer zo groot wordt (van $40$ km/h naar $80$ km/h) dan wordt $t$ niet gehalveerd.

Doen, je krijgt een stuk van een hyperbool.

Je reistijd wordt dan heel erg groot. De grafiek gaat dus in de buurt van de verticale $t$-as heel sterk omhoog.

Je reistijd benadert dan de $5$ minuten. De grafiek gaat dus voor grote waarden van $v$ vlak boven de horizontale asymptoot $v=5$ lopen.

Bijvoorbeeld $x=2$ geeft $y=\frac{1}{2}+2=\mathrm{2,5}$ dus $(2,\mathrm{2,5})$ voldoet aan de formule. Controleer zo ook de andere twee punten.

$\mathrm{2,01}$; $\mathrm{2,00001}$.

$102$; $10002$.

$3=\frac{c}{2}+2$ geeft $1=\frac{c}{2}$ en dus $c=2$.

Delen door $0$ geeft geen reële uitkomst. Dat geldt voor alle waarden van $d$.

De grafiek wordt naar boven of beneden (dus in de $y$-richting) verschoven.

Een nuttig "spel" om met een medeleerling te spelen. Wie doet alles goed?

Het gaat hier om een lineair verband. Als $b=0$ gaat de grafiek door $O(0,0)$ en kun je ook spreken van een recht evenredig verband.
Het veranderen van $a$ betekent het veranderen van het hellingsgetal (de richtingscoëfficiënt) van de grafiek. De grafiek gaat dan draaien om het startpunt $(0,b)$.
Het veranderen van $b$ heeft tot gevolg dat het startpunt $(0,b)$ hoger of lager komt te liggen. De grafiek verschuift dan in de $y$-richting.

Vul deze punten in de formule in en controleer dat je aan beide zijden van het isgelijkteken hetzelfde krijgt.

Er zijn twee losse delen omdat er bij $x=0$ geen uitkomst hoort. De verticale asymptoot is daarom de $y$-as en de horizontale asymptoot is de lijn $y=2$.

Een nuttig "spel" om met een medeleerling te spelen. Wie doet alles goed?

Het gaat hier om een hyperbolisch verband. Als $b=0$ kun je ook spreken van een omgekeerd evenredig verband.
Het veranderen van $c$ doet de grafiek uitrekken of inkrimpen. Wat er dan precies gebeurt leer je later nog.
Het veranderen van $b$ heeft tot gevolg dat de grafiek verschuift in de $y$-richting. Je kunt dat goed zien aan de horizontale asymptoot.

Bekijk nu welke formule in het voorbeeld is gevonden en vergelijk die met jouw eigen formule. Zijn ze hetzelfde?

(Houd er rekening mee dat $\frac{0.04+10a}{a}=0.04+\frac{10}{a}$.)

Een hyperbolisch verband.

Maak een grafiek bij deze tabel. Laat $k$ lopen van $0$ tot en met $\mathrm{0,20}$.

Je vindt met behulp van de tabel bij c, dat $k=\mathrm{0,06}$ als $a=500$. Het antwoord wordt (bekijk je grafiek): $a>500$

Eerst aan beide zijden van het isgelijkteken $\mathrm{0,04}$ aftrekken en je krijgt $\frac{10}{a}=\mathrm{0,02}$. Door analogierekenen vind je $a=\frac{10}{\mathrm{0,02}}=500$. (Bekijk eventueel alvast Voorbeeld 2.)

$K=\frac{32000}{a}+\mathrm{5,60}$.

$K=\frac{32000}{10000}+\mathrm{5,60}=\mathrm{8,80}$ euro.

$a>80000$. Gebruik een tabel (met grafiek) of ga slim rekenen.

$\frac{1920}{v}+5=25$

Met $96$ km/h of meer.

$\frac{600}{x}=12$ geeft $x=\frac{600}{12}=50$.

$k=\frac{180}{\mathrm{4,5}}=40$

$\frac{4400}{x-20}=11$ geeft $x-20=\frac{4400}{11}=400$, dus $x=420$

$\frac{2p-50}{1500}=\mathrm{0,5}$ geeft $2p-50=1500\cdot 0.5=750$, dus $p=400$

Je schets wordt een hyperbool met de $y$-as als verticale asymptoot en als horizontale asymptoot de lijn $y=5$. Verder teken je de lijn $y=17$. Bij het snijpunt vind je de gevraagde waarde van $v$.

$\frac{960}{v}=12$ geeft $v=\frac{960}{12}=80$.

$v>80$ en formeel ook $v<0$

Je schets wordt een complete hyperbool (die uit twee delen bestaat) met de $y$-as als verticale asymptoot en als horizontale asymptoot de lijn $y=5$. Het gaat nu om het snijpunt met de $v$-as.

$\frac{960}{v}=-5$ geeft $v=\frac{960}{-5}=-192$.

Hierbij moet je goed op de asymptoot letten. Nu moet $v$ inliggen tussen $-192$ en $0$.

$K=\frac{150}{a}+\mathrm{0,02}$

Als je $a$ verdubbelt (bijvoorbeeld van $1000$ naar $2000$) dan wordt $K$ niet gehalveerd ($K$ gaat dan van $\mathrm{0,17}$ naar $\mathrm{0,095}$).

Zie figuur. (Maak eerst een tabel.)

Eerst los je $\frac{150}{a}+\mathrm{0,02}=\mathrm{0,05}$ op. Dit geeft $\frac{150}{a}=\mathrm{0,03}$ en dus $a=5000$.
Nu kijk je in je grafiek en je vindt $a>5000$. Dus bij minstens $5000$ kopieën komt de school uit de kosten.

$\frac{2400}{x}=\mathrm{3,2}$ geeft $x=\frac{2400}{\mathrm{3,2}}=750$.

$\frac{50}{x}=250$ geeft $x=\frac{50}{250}=\mathrm{0,2}$.

$\frac{t-15}{300}=\mathrm{1,3}$ geeft $t-15=390$ en dus $t=405$.

$d-5=\frac{800}{50}=16$ en dus $d=21$.

Maak eerst tabellen. Zie figuur (gemaakt met GeoGebra).

Je vindt $(\mathrm{2,6};\mathrm{3,6})$ en $(\mathrm{-1,6};\mathrm{-0,6})$.

De twee oplossingen zijn $x\approx \mathrm{-1,6}$ en $x\approx \mathrm{2,6}$.

De oplossingen zijn $x<\mathrm{-1,6}$ en $0<x<\mathrm{2,6}$ (wat je leest als: $x$ ligt in tussen $0$ en $6$).

$\frac{4}{x}=-6$ geeft $x=\frac{4}{-6}=\mathrm{-}\frac{2}{3}$.

$2-\mathrm{0,5}x=\frac{80}{10}=8$ geeft $x=-12$.

$\frac{25}{x^2}=1$ geeft $x^2=25$ en dus $x=5$ of $x=-5$.

De formule voor $y$ afhankelijk van $x$ is $y=\frac{4}{x}+5$ . Die kun je zelf vinden door eerst de waarde van $d$ uit de gegeven horizontale asymptoot af te leiden en dan het gegeven punt in te vullen.
Bij $x=10$ hoort $y=\mathrm{5,2}$ .

Je vult nu beide punten in de formule $y=\frac{c}{x}+d$ in. Dit geeft: $9=\frac{c}{2}+d$ en $8=\frac{c}{4}+d$. Hieruit volgt dat $\frac{c}{4}=1$ en dus dat $c=4$. En daaruit kun je $d$ afleiden: bijvoorbeeld $9=\frac{4}{2}+d$ geeft $d=7$. De complete formule wordt: $y=\frac{4}{x}+7$.
Bij $x=10$ hoort $y=\mathrm{7,4}$.

$k=\mathrm{0,14}+\frac{2400}{a}$

Los op $\mathrm{0,14}+\frac{2400}{a}=\mathrm{0,19}$.
Dit geeft $a=48000$. Dus je moet meer dat $48000$ km per jaar rijden om uit de kosten te komen als je een benzineauto hebt.

$k=\mathrm{0,05}+\frac{3800}{a}$

Los op $\mathrm{0,05}+\frac{3800}{a}=\mathrm{0,19}$.
Dit geeft $a\approx 27183$. Dus je moet meer dat $27182$ km per jaar rijden om uit de kosten te komen als je een dieselauto hebt.

Maak een grafiek bij deze tabel.

Hiervoor heb je waarschijnlijk een pc nodig.

De grafiek houdt steeds de vorm van een "kommetje" of een "bultje" (als $c$ negatief is). Behalve wanneer $c=0$, dan valt je grafiek samen met de $x$-as.
(Bij het onderwerp Kwadratische verbanden V1 zul je meer leren over dergelijke grafieken.)

Maak een grafiek bij deze tabel.

Hiervoor heb je waarschijnlijk een pc nodig.

De grafiek houdt steeds een vergelijkbare vorm (als $c$ negatief is komen beide "punten" naar beneden te liggen). Behalve wanneer $c=0$, dan valt je grafiek samen met de $x$-as.