Lineair en hyperbolisch

Lineair en hyperbolisch > Hyperbolische verbanden

123456Hyperbolische verbanden

Uitleg

Op de Afsluitdijk ligt een snelweg van $32$ km lengte. Hoe sneller je rijdt, hoe korter je over die $32$ km doet. Je gebruikt onderweg $5$ minuten voor het tanken van brandstof.

Je rijdt $120$ km/h op de snelweg. Je bent dan $32 / 120 \cdot 60 + 5 = 21$ minuten onderweg.
Bij grote drukte rijdt je $60$ km/h. Je bent dan $32 / 60 \cdot 60 + 5 = 37$ minuten onderweg.

Nu betekent verdubbeling van de snelheid NIET een halvering van de reistijd. Snelheid en reistijd zijn NIET omgekeerd evenredig.

Je ziet dat je de reistijd $t$ in minuten kunt berekenen door de afstand van $32$ km te delen door de snelheid $v$ (in km/h), met $60$ te vermenigvuldigen en tenslotte nog $5$ bij de uitkomst op te tellen: $t = \frac{32}{v} \cdot 60 = \frac{1920}{v} + 5$ .
Je spreekt van een hyperbolisch verband. Voor snelheden dicht bij $0$ wordt de reistijd heel erg groot. Voor hele grote snelheden komt de reistijd in de buurt van de $5$ minuten.

Applet: hyperbolisch verband

Tussen twee variabelen $x$ en $y$ bestaaat een hyperbolisch verband als er een formule van de vorm $y = \frac{c}{x} + d$ met $c$ en $d$ constant bij hoort.
De grafiek van zo'n hyperbolisch verband is een hyperbool.

Er zijn twee lijnen die de grafiek steeds dichter benadert zonder hem ooit te snijden: de $y$ -as en de lijn $y = d$ . Dergelijke lijnen noem je asymptoten.

De $y$ -as is de verticale asymptoot van de grafiek.
De lijn $y = d$ is de horizontale asymptoot van de grafiek.

Opgave 1

Je rijdt $32$ km over de snelweg en je stopt onderweg $5$ minuten om te tanken.

Hoe lang (in minuten) doe je over deze $32$ km als je $80$ km/h rijdt?

Hoe lang (in minuten) doe je daar over als je $40$ km/h rijdt?

Leg met behulp van je antwoorden bij a en b uit waarom nu de reistijd $t$ en de constante snelheid $v$ niet omgekeerd evenredig zijn.

Teken een grafiek van $t = \frac{1920}{v} + 5$ . Maak eerst een tabel met voor $v$ de waarden $10$ , $20$ , ..., $120$ .

Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid bijna $0$ wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?

Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid heel groot wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?

Opgave 2

In de applet in de Uitleg zie je de grafiek van het omgekeerd evenredig verband $y = \frac{c}{x} + d$ waarin $c$ en $d$ constanten zijn. Je kunt deze constanten aanpassen met de schuifbalkjes.

Neem $c = 1$ en $d = 2$ en bekijk de grafiek. De grafiek gaat door de punten $(1, 3)$ , $(2, 2,5)$ en $(0,5, 4)$ . Laat zien dat deze punten ook aan de formule voldoen.

Welke waarde heeft $y$ als $x = 100$ ? En als $x = 100000$ ?

Welke waarde heeft $y$ als $x = 0,01$ ? En welke als $x = 0,00001$ ?

Voor verschillende waarden van $c$ en $d$ krijg je verschillende grafieken. Het zijn allemaal hyperbolen. Neem $d = 2$ .

Bij welke waarde van $c$ gaat die hyperbool door het punt $(2, 3)$ ?

Waarom hebben al deze grafieken geen punt met $x = 0$ ? Geldt dit ook voor andere waarden van $d$ ?

Neem nu $c = 1$ .

Wat gebeurt er met de grafiek als $d$ verandert?

Opgave 3

Je kunt zowel bij lineaire als hyperbolische verbanden ook heel goed werken met negatieve getallen. In de applet van het Practicum tref je grafieken aan bij deze verbanden. Door de schuifbalkjes te gebruiken kun je de grafieken aanpassen.

Bekijk eerst de grafiek bij de formule van de vorm $y = a \cdot x + b$ .

Kies zelf waarden voor $a$ en $b$ en voorspel hoe de grafiek er uit komt te zien voordat je die waarden instelt in de applet. (Maak bijvoorbeeld een schets.) Controleer vervolgens je antwoord.

Van welk soort verband is hier sprake? Wat gebeurt er met de grafiek als je de constante $a$ verandert? En als je de constante $b$ verandert?

Bekijk nu de grafiek bij de formule van de vorm $y = \frac{c}{x} + d$ .

Stel eerst in $c = 1$ en $d = 2$ . Reken na dat de punten $(1, 3)$ , $(-1, 1)$ , $(4, 2,25)$ , $(-4, 1,75)$ , $(0,25, 6)$ en $(-0,25, -2)$ op de grafiek liggen.

Hoe komt het dat de grafiek uit twee losse delen bestaat? Welke asymptoten zijn er?

Kies zelf waarden voor $c$ en $d$ en voorspel hoe de grafiek er uit komt te zien voordat je die waarden instelt in de applet. (Maak bijvoorbeeld een schets.) Controleer vervolgens je antwoord.

Van welk soort verband is hier sprake? Wat gebeurt er met de grafiek als je de constante $c$ verandert? En als je de constante $d$ verandert?

verder | terug