Kwadratisch en exponentieel > Kwadratische verbanden
123456Kwadratische verbanden

Uitleg

Bekijk de applet: tennisbal

Een tennisser is aan het trainen. Op de baseline tegenover hem schiet een tenniskanon met grote snelheid een bal op hem af, precies in de lengte van het veld. Het tennisveld is 24 m lang en het net is 1 m hoog. Door in de applet de groene punt te bewegen zie je de baan van de bal ontstaan.
De baan van de bal is een kromme lijn. In het getekende assenstelsel geldt voor die baan de formule

h = -0,01 ( x 10 ) 2 + 1,5

Omdat in deze formule de onbekende x wordt gekwadrateerd, heet dit een kwadratisch verband. De grafiek van zo'n verband noem je een parabool. Overigens is de baan van een afgeschoten tennisbal beslist geen zuivere parabool, onder andere omdat er ook sprake is van luchtweerstand.

Bekijk de applet: kwadratisch verband

De formule y = x 2 beschrijft een kwadratisch verband.
De grafiek ervan heet dalparabool.
Elke parabool heeft een top. In dit geval is de top het laagste punt ( 0 , 0 ) .

De formule y = - x 2 beschrijft ook een kwadratisch verband.
De grafiek ervan heet bergparabool.
In dit geval is de top het hoogste punt ( 0 , 0 ) .

In het algemeen beschrijft een formule van de vorm y = a ( x p ) 2 + q een kwadratisch verband en is de bijbehorende grafiek een parabool met top ( p , q ) . Of er sprake is van een bergparabool of een dalparabool hangt af van de waarde van a: als a > 0 heb je een dalparabool, als a < 0 een bergparabool.

Opgave 1

Bekijk de Uitleg . Je ziet een formule voor de baan die een tennisbal onder bepaalde omstandigheden aflegt.

a

Gebruik de gegeven formule en vul de volgende tabel in:

x -4 0 4 8 10 12 16 20 24
h
b

Teken nu zelf de grafiek bij deze formule.

c

De grafiek is lijnsymmetrisch. Welke lijn is de symmetrieas?

d

Welk punt is de top van deze parabool?

e

Kleur het deel van je grafiek dat hoort bij de baan van de tennisbal. Laat zien dat uit de tabel volgt dat de bal inderdaad over het net gaat.

e

Bepaal met behulp van inklemmen in één decimaal nauwkeurig op welke afstand van het tenniskanon de bal op de grond komt.

Opgave 2

Bekijk nog eens de formule voor de baan die een tennisbal onder bepaalde omstandigheden aflegt in de Uitleg . Je kunt deze grafiek ook opbouwen vanuit de grafiek van y = x 2 .

Je kunt dit snel doen met behulp van de tweede applet in de Uitleg .

a

Teken (een deel van) de grafiek van y = x 2 . Maak eerst een tabel, neem voor x de getallen -12, -11, ..., 12.

b

Teken vervolgens de grafiek van y = ( x 10 ) 2 . Hoe pas je de tabel bij a aan? Wat is er aan deze grafiek anders dan aan die bij a? Wat wordt bijvoorbeeld de top van deze grafiek?

c

Teken nu de grafiek van y 3 = -0,01 ( x 10 ) 2 . Hoe pas je de tabel bij b aan? Wat is er aan deze grafiek anders dan aan die bij b?

d

Teken tenslotte de grafiek van y = -0,01 ( x 10 ) 2 + 1,5 . Hoe pas je de tabel bij c aan? Wat is er aan deze grafiek anders dan aan die bij c?

Je ziet dat de grafiek van y = -0,01 ( x 10 ) 2 + 1,5 uit die van y = x 2 kan ontstaan door verschuiven en door uitkomsten met een bepaald getal te vermenigvuldigen. Vandaar dat beide grafieken dezelfde vorm hebben: de paraboolvorm.

e

Welke verschuivingen moet je toepassen en met welk getal moet je uitkomsten vermenigvuldigen? En in welke volgorde moet dit allemaal gebeuren?

Opgave 3

In de tweede applet in de Uitleg kun je grafieken maken bij formules van de vorm y = a ( x p ) 2 + q .

Deze grafieken kunnen allemaal ontstaan uit die van y = x 2 door eerst een verschuiving evenwijdig aan de x-as, dan een vermenigvuldiging van alle uitkomsten met hetzelfde getal en tenslotte een verschuiving evenwijdig aan de y-as.

a

Neem a = 0,5 , p = 1 en q = 3 . Welke formule krijg je dan? Welke verschuivingen en vermenigvuldiging moet je toepassen op de grafiek van y = x 2 om hem te krijgen?

b

Neem a = 2 , p = 1 en q = -3 . Welke formule krijg je dan? Welke verschuivingen en vermenigvuldiging moet je toepassen op de grafiek van y = x 2 om hem te krijgen?

c

Neem a = -1 , p = 2 en q = 4 . Welke formule krijg je dan? Welke verschuivingen en vermenigvuldiging moet je toepassen op de grafiek van y = x 2 om hem te krijgen?

d

Oefen dit met behulp van de applet in het Practicum . Werk samen met een medeleerling: de één geeft de waarden voor a, p en q en de ander stelt de formule op en geeft de verschuivingen en de vermenigvuldiging.

Opgave 4

De formule y = -0,5 ( x 5 ) 2 + 8 beschrijft een kwadratisch verband.

a

Hoe kan de grafiek bij deze formule ontstaan uit die van y = x 2 ?

b

Welke lijn is de symmetrieas van de bijbehorende parabool? Welk punt is de top van de parabool?

c

Door de parabool te tekenen kun je de snijpunten ervan met de twee assen van het assenstelsel vinden. Bepaal die punten.

verder | terug