Kijk op `y=9` en welke `x` -coördinaten daarbij horen. Dat zijn `x=3` en/of `x=text(-)3` .
Worteltrekken geeft: `x=sqrt(8 )` en/of `x=text(-) sqrt(8 )` .
Alleen `x=0` .
Geen oplossing.
Maximaal uit twee. Dan moet `p>0` .
`text(-)0,01 * (x - 10) ^2 + 1,5 = 0,29`
Zie figuur.
Zie figuur.
Het antwoord `x=text(-)1` voldoet in deze situatie niet omdat `x` begint bij `0` , dus de oplossing `x=21` is hier de juiste. De speler staat dus `21` m van het tenniskanon verwijderd.
De vergelijking is: `text(-)0,01 * ( x - 10 ) ^2 + 1,5 = 0` .
Omdat deze vergelijking twee oplossingen heeft, zijn er twee nulpunten. Slechts één daarvan is voor het tenniskanon van betekenis.
Maak een terugrekenschema.
Als het goed is, vind je als oplossing: `x = sqrt( 150 ) + 10 ∨ x = text(-)sqrt( 150 ) + 10` .
Op ongeveer `22,25` m van het tenniskanon komt de bal op de grond.
Ja, de bal was in. Hij komt namelijk op ongeveer `22,25` m op de grond en het tennisveld is `24` m lang.
`text(-)0,5 (x + 1 ) ^2 + 5 = 0`
Maak eerst het rekenschema en daarna het bijbehorende terugrekenschema. Zie
Je vindt: `x = text(-)sqrt( 10 ) - 1 vv x = sqrt( 10 ) - 1` .
`( text(-)sqrt( 10 ) - 1; 0)` en `( sqrt( 10 ) - 1; 0)`
Eén oplossing.
Die oplossing is de `x` -waarde van de top van de parabool, dus `x = text(-)1` . Hier heb je geen terugrekenschema voor nodig.
`x = text(-)sqrt( 17 ) vv x = sqrt( 17 )`
Terugrekenen geeft: `x^2 = 20` en dus `x = text(-)sqrt( 20 ) vv x = sqrt( 20 )` .
Terugrekenen geeft `x^2 = 2` en dus `x = text(-)sqrt( 2 ) vv x = sqrt( 2 )` .
Heenrekenen:
`x stackrel{ - 8,5 }{rarr} x-8,2 stackrel{ (...)^2 }{rarr} (x-8,5)^2 stackrel{ * 5
}{rarr} 5(x-8,5)^2 stackrel{ - 12,5 }{rarr} 5 ( x - 8,5 ) ^2 - 12,5 = 100`
Terugrekenen:
`+- sqrt(22,5) + 8,5 stackrel{ + 8,5 }{larr} +-sqrt(22,5) stackrel{ sqrt(...) }{larr}
22,5 stackrel{ //5 }{larr} 112,5 stackrel{ + 12,5 }{larr} 100`
Dus `x = text(-)sqrt( 22,5 ) + 8,5 vv x = sqrt( 22,5 ) + 8,5` .
`0,5 x^2 + 1` | `=` | `5,5` | |
`0,5 x^2` | `=` | `4,5` | |
`x^2` | `=` | `9` | |
`x` | `=` | `± 3` |
Dus `x=text(-)3 vv x=3`
`8 - x^2` | `=` | `3` | |
`text(-)x^2` | `=` | `text(-)5` | |
`x^2` | `=` | `5` | |
`x` | `=` | `± sqrt( 5 )` |
Dus `x=text(-)sqrt5 vv x=sqrt5`
`4,5 x^2` | `=` | `50 - 0,5 x^2` | |
`5 x^2` | `=` | `50` | |
`x^2` | `=` | `10` | |
`x` | `=` | `± sqrt( 10 )` |
Dus `x=text(-)sqrt10 vv x=sqrt10`
`0,5 * ( x - 4 ) ^2 + 3` | `=` | `11` | |
`0,5 * ( x - 4 ) ^2` | `=` | `8` | |
`( x - 4 ) ^2` | `=` | `16` | |
`x - 4` | `=` | `± 4` | |
`x` | `=` | `± 4 + 4` |
De oplossing is: `x = 4 - 4 = 0 vv x = 4 + 4 = 8`
`6 - ( x + 2 ) ^2` | `=` | `0` | |
`text(-)( x + 2 ) ^2` | `=` | `text(-)6` | |
`( x + 2 ) ^2` | `=` | `6` | |
`x + 2` | `=` | `± sqrt( 6 )` | |
`x` | `=` | `± sqrt( 6 ) - 2` |
De oplossing is: `x = text(-)sqrt( 6 ) - 2 vv x = sqrt( 6 ) - 2`
De top van deze parabool is `( text(-)1, text(-)5 )` . Maak een grafiek bij deze tabel.
`x` | `text(-)4` | `text(-)3` | `text(-)2` | `text(-)1` | `0` | `1` | `2` |
`y` | `17,5` | `5` | `text(-)2,5` | `text(-)5` | `text(-)2,5` | `5` | `17,5` |
`2,5 ( x + 1 ) ^2 - 5` | `=` | `0` | |
`2,5 ( x + 1 ) ^2` | `=` | `5` | |
`( x + 1 ) ^2` | `=` | `2` | |
`x + 1` | `=` | `± sqrt( 2 )` | |
`x` | `=` | `± sqrt( 2 ) - 1` |
Dus de oplossing is `x = sqrt( 2 ) - 1 vv x = text(-)sqrt( 2 ) - 1` en de nulpunten zijn `x~~text(-)2,42` en `x~~0,42` .
Als `a = text(-)5` . Dit is de `y` -coördinaat van de top.
Als `a < text(-)5` .
Je krijgt de vergelijking `1,5(x-1)^2-4 = 2` .
Balansmethode: `1,5(x-1)^2 = 6` geeft `(x-1)^2 = 4` en `x-1=+-2` .
Oplossing: `x = text(-)1 vv x = 3` .
Je krijgt de vergelijking `text(-)2(x-2)^2+3 = text(-)5` .
Balansmethode: `text(-)2(x-2)^2 = text(-)8` geeft `(x-2)^2 = 4` en `x-2=+-2` .
Oplossing: `x = 0 vv x = 4` .
Omdat de variabele `x` aan beide zijden van het isgelijkteken voorkomt.
`(x - 2)^2 - 9 = x^2 - 4x + 4 - 9 = x^2-4x-5`
Omdat je dan een vorm krijgt (namelijk `x^2 - 4x - 5 = 5` ) waarmee je (voorlopig) niet verder kunt.
Het rekenschema is:
`x stackrel{ - 2 }{rarr} x-2 stackrel{ (...)^2 }{rarr} (x-2)^2 stackrel{ - 9 }{rarr}
(x - 2)^2 - 9 = 5`
Terugrekenen geeft:
`+-sqrt(14) + 2 stackrel{ + 2 }{larr} +- sqrt(14) stackrel{ sqrt(...) }{larr} 14 stackrel{
+ 9 }{larr} 5`
Dus `x=text(-)sqrt(14)+2 vv x=sqrt(14)+2` .
`x^2 + 5` | `=` | `(4 - x)^2` | |
`x^2 + 5` | `=` | `16 - 8x + x^2` | |
`5` | `=` | `16 - 8x` | |
`8x` | `=` | `11` | |
`x` | `=` | `11/8` | |
`x` | `=` | `1,375` |
Dus de oplossing is: `x = 1,375`
`2x^2 + 5` | `=` | `14 - x^2` | |
`3x^2` | `=` | `9` | |
`x^2` | `=` | `3` | |
`x` | `=` | `±sqrt(3 )` |
Dus de oplossing is: `x=text(-)sqrt(3 ) vv x=sqrt(3 )`
`0,5x^2` | `=` | `6 + 0,5(x - 2)^2` | |
`0,5x^2` | `=` | `0,5x^2 - 2x + 8` | |
`0` | `=` | `text(-)2x + 8` | |
`2x` | `=` | `8` | |
`x` | `=` | `4` |
Dus de oplossing is: `x=4`
Bij het terugrekenen moet je worteltrekken uit een negatief getal en dat geeft geen reële uitkomsten.
Als je de grafieken van `y=(x+4)^2+12` en `y=5` tekent, zie je dat deze geen snijpunten met elkaar hebben.
Na haakjes wegwerken krijg je `x^2 + 28 = 0` en die vergelijking heeft geen oplossingen. Je moet namelijk worteltrekken uit een negatief getal en dat geeft geen reële uitkomsten.
Als je de grafieken van `y=(x+4)^2+12` en `y=8x` tekent, zie je dat deze geen snijpunten met elkaar hebben.
De top is `(2, 3)` en het betreft een dalparabool.
Er zijn geen nulpunten, want de top van deze dalparabool ligt boven de `x` -as.
Maak gebruik van terugrekenen of van de balansmethode.
Je vindt: `x = text(-)sqrt( 8 ) + 2 ≈ text(-)0,83 vv x = sqrt( 8 ) + 2 ≈ 4,83` .
`x= text(-)20 vv x = text(-)10`
`x = text(-)sqrt( 2 ) vv x = sqrt( 2 )`
`x = text(-)sqrt( 3 ) + 7 vv x = sqrt( 3 ) + 7`
`6 + 5x^2 = 3 x^2 + 18` geeft `2x^2 = 12` .
`x = text(-)sqrt( 6 ) vv x = sqrt( 6 )`
`x = text(-)5 vv x = 3`
`x = text(-) sqrt( 2000 ) + 20 vv x = sqrt( 2000)+20`
Dan is `x = 0` en dat geeft `h = 1,5` m.
De top van de parabolische baan is
`(8; 33,5)`
.
De maximale hoogte is
`h = 33,5`
m en die wordt bereikt als
`x = 8`
m.
Je moet oplossen: `33,5 - 0,5(x - 8)^2 = 30` .
Terugrekenen geeft
`x = 8 +- sqrt(7)`
.
De vuurpijl spat uiteen als
`x = 8 + sqrt(7) ~~ 10,65`
m.
`(x + 5)^2` | `=` | `x^2` | |
`x^2+10x+25` | `=` | `x^2` | |
`10x` | `=` | `text(-)25` | |
`x` | `=` | `text(-)2,5` |
`x^2` | `=` | `12x^2` | |
`text(-)11x^2` | `=` | `0` | |
`x` | `=` | `0` |
`(x-4)^2` | `=` | `(x-5)^2` | |
`x^2-8x+16` | `=` | `x^2-10x+25` | |
`2x` | `=` | `9` | |
`x` | `=` | `4,5` |
`2x^2 +5` | `=` | `1-x^2` | |
`x^2` | `=` | `text(-)4` |
Er is geen waarde van
`x`
die gekwadrateerd
`text(-)4`
geeft.
Deze vergelijking heeft geen oplossing.
Stel je voor dat `x` het aantal rijen in zaal I is.
Dan zijn er `x*x=x^2` stoelen in zaal I.
En er zijn `(x+8)(x-6)` stoelen in zaal II.
De vergelijking wordt: `x^2 = (x + 8)(x - 6)` .
`x^2=(x+8)(x-6)` geeft `2x=48` .
Je krijgt `x = 24` en elke zaal heeft dus `576` stoelen.
Dat is de plaats waar de duiker in het water komt.
`m = 0` geeft `h=88` m.
`88 - 0,12 m^2 = 0`
`88 - 0,12 m^2 = 0` geeft `m^2=88/(0,12)` en `m~~+-27,1` .
De duiker springt ongeveer `27,1` m vooruit.
De beginhoogte is `96` meter, die komt dus op de plaats van de `88` in de vorige formule.
Je krijgt: `h = 96 - a * m^2` .
En `h = 0` als `m = 30` geeft `a=96/900~~0,11` .
Dus `h = 96 - 0,11 * m^2` .
Deze twee tuidraden hangen `615` m uit elkaar en precies in het midden daarvan is `x=0` .
`615/2=307,5` . Dus de ene hangt bij `x=text(-)307,5` en de andere bij `x=307,5` .
Invullen in de formule: `y = 149/409600*307,5^2 + 3 ~~37,4` m.
Dus beide tuidraden zijn ongeveer `37,4` m lang.
`149/409600 x^2 + 3 = 111,2` geeft `x^2~~297441,07` en `x~~ ±545,2` .
Dus de draden zitten ongeveer `1090,8` m van elkaar.
Oplossing: `x= text(-)31 vv x = 7` .
Oplossing: `x = text(-) sqrt( 5000 ) + 30 vv x = sqrt( 5000)+30` .
Oplossing: `x = text(-)4` .
Geen oplossing.
`(x-3)(x+4)=x^2`
De oppervlakte is in zowel de oude als de nieuwe situatie: `12*12=144` m2.
De top van deze parabool is `( text(-)1 , 5 )` . Het is een bergparabool.
`x=text(-)1 ± sqrt(10/7)`
Als `a = 5` . Dan is alleen de `x` -waarde van de top de oplossing.
Als `a > 5` .