Kwadratische verbanden > Kwadraat afsplitsen
12345Kwadraat afsplitsen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Dat weet je niet zeker, hoewel de grafiek van `w = n^2 - n` als je alle waarden van `n` zou toelaten er echt als een parabool uitziet.

b

Werk de haakjes weg.

`w = (n - 0,5)^2 - 0,25 = (n-0,5)(n-0,5)-0,25` geeft
`w=n^2-0,5n-0,5n+0,25-0,25 = n^2-n` .

c

Omdat de grafiek bij deze tweede formule ontstaat door de grafiek van `y = x^2` `0,5` naar rechts te verschuiven en vervolgens `0,25` naar beneden te verschuiven. Het is dus een parabool met top `(0,5; 0,25)` .

Opgave 1
a
`x` `text(-)8` `text(-)7` `text(-)6` `text(-)5` `text(-)4` `text(-)3` `text(-)2` `text(-)1` `0` `1` `2`
`y` `16` `7` `0` `text(-)5` `text(-)8` `text(-)9` `text(-)8` `text(-)5` `0` `7` `16`

De figuur wordt een dalparabool met top `(text(-)3 ,text(-)9 )` .

b

`(x+3) ^2-9 = x^2+6 x+9 -9 = x^2+6 x`

c

Je ziet dan meteen dat het om een dalparabool gaat met top `(text(-)3 ,text(-)9 )` . En dan kun je veel gemakkelijker een geschikte tabel maken en de grafiek tekenen.

Opgave 2
a

`x^2+8 x= (x+4) ^2-16`

b

`x^2+16 x=(x+8) ^2-64`

c

`x^2+16 x+10 = (x+8) ^2-64 +10 = (x+8) ^2-54`

d

`y=x^2 - 6 x = x^2 + text(-)6 x = (x + text(-)3)^2 - (text(-)3)^2 = (x - 3)^2 - 9`

Opgave 3
a

`(x + k)^2 - k^2 = x^2 + 2kx + k^2 - k^2 = x^2 + 2kx`

b

Dit kun je doen door de haakjes weg te werken.

`(x + 1/2 p)^2 - 1/4 p^2` `=` ``
`x^2+1/2px+1/2px+1/4p^2-1/4p^2` `=` ``
`x^2+px` `` ``

Maar je kunt ook een kwadraat afsplitsen.

`x^2+px` `=` ``
`(x+1/2p)^2-(1/2p)^2` `=` ``
`(x+1/2p)^2-1/4p^2` `` ``
c

`3(x^2 + 2x) = 3*x^2 + 3*2x = 3x^2 + 6x`

d

`y=3(x^2+2x)=3((x+1)^2 - 1) = 3(x+1)^2 - 3`

e

Top `(text(-)1, text(-)3)` .

Opgave 4
a

`y=3x^2+6x+1=3*(x^2+2x)+1=3*((x+1)^2-1)+1=3(x+1)^2-3+1=3(x+1)^2-2`

Dalparabool met top `T(text(-)1, text(-)2)` .

b

`y=3x^2-6x=3*(x^2-2x)=3*((x-1)^2-1)=3(x-1)^2-3`

Dalparabool met top `T(1, text(-)3)` .

c

`y=text(-)0,5x^2-6x+2=text(-)0,5(x^2 + 12x) + 2=text(-)0,5((x+6)^2-36)+2=text(-)0,5(x+6)^2+20`

Bergparabool met top `T(text(-)6, 20)` .

Opgave 5
a

Om ervoor te zorgen dat de gegeven formule er uit gaat zien als een functie waarvan de grafiek ontstaat uit die van `y = x^2` . Aan deze vorm kun je gemakkelijker aflezen of het een dal- of bergparabool betreft en wat de coördinaten van de top zijn.

b

Het gaat om een dalparabool, omdat het getal voor de haakjes (een `1` ) positief is. De top kun je uit de formule aflezen. De algemene vorm van een kwadratische formule is: `y=a*(x-p)^2+q` . De top is dan `(p, q)` .

c

Dan kun je een geschikte tabel maken om de grafiek te tekenen. Bij de top zit de symmetrieas, links daarvan heb je dezelfde uitkomsten als rechts.

d

Omdat het een dalparabool is waarvan de top onder de `x` -as ligt.

`(x-3)^2 - 1 = 0` geeft `(x-3)^2 = 1` en `x-3 = +-1` , zodat `x=2 vv x=4` .

Opgave 6
a

`y = x^2+2 x =(x+1) ^2-1`

b

`y=x^2-4 x =(x-2) ^2-4`

c

`y = x^2-10 x+20 = (x-5 )^2-25+20 = (x-5 )^2-5`

d

`y=x^2-8 x+12 = (x-4 ) ^2-16 +12 = (x-4 ) ^2-4`

Opgave 7
a

Kwadraat afsplitsen: `y=x^2 + 5x - 6 =(x + 2,5)^2 - 12,25` .

Dit is een dalparabool met top `(text(-)2,5; text(-)12,25)` .

b

Maak eerst een tabel met de top in het midden. Teken de grafiek bij deze tabel.

`x` `text(-)6` `text(-) 5` `text(-) 4` `text(-) 3` `text(-) 2,5` `text(-) 2` `text(-) 1` `0` `1`
`y` `0` `text(-) 6` `text(-) 10` `text(-) 12` `text(-) 12,25` `text(-) 12` `text(-) 10` `text(-) 6` `0`
c

`(x + 2,5)^2 - 12,25 = 0` geeft `(x + 2,5)^2 = 12,25` en `x+2,5 = +- 3,5` , zodat `x=1 vv x=text(-)6` .

Opgave 8
a

Ja, aan het getal voor de `x^2` . Dit wordt uiteindelijk de `a` in `y = a(x - p)^2 + q` . En omdat hier `a < 0` is dit een bergparabool.

b

Het kan ook zo:

`y ` `=` ` text(-)2x^2 - 16x + 2`
`y` `=` `text(-)2(x^2 + 8x - 1)`
`y` `=` `text(-)2((x + 4)^2 - 16 - 1)`
`y` `=` `text(-)2(x + 4)^2 + 34`
c

De top is `(text(-)4, 34)` .

d

`text(-)2(x + 4)^2 + 34 = 0` geeft `(x+4)^2 = 17` en dus `x + 4 = +-sqrt(17)` , zodat `x = text(-)4+sqrt(17) vv x = text(-)4 - sqrt(17)` .

Opgave 9
a

`y = 2(x - 2)^2 -2` met top `(2, text(-)2)` .

b

`y = 3(x - 2,5)^2 - 18,75` met top `(2,5; text(-)18,75)` .

c

`y = 0,1(x - 20)^2 - 39` met top `(20, text(-)39)` .

Opgave 10

Kwadraat afsplitsen: `y = (x - 5)^2 - 20` . Zo heeft de formule de vorm van een kwadratisch verband. De top van de bijbehorende parabool is `(5, text(-)20)` .

Opgave 11
a

`(x + 6)^2 - 36`

b

`(x + 6,5)^2 - 42,25`

c

`(x - 6)^2 + 10`

d

`(x + 2,5)^2 - 6,25`

e

`2(x - 3,5)^2 - 48,5`

Opgave 12

Kwadraat afsplitsen geeft `y = 0,1(x - 50)^2 - 245` . Zo heeft de formule de vorm van een kwadratisch verband. De top van de bijbehorende parabool is `(50, text(-)245)` .

Opgave 13
a

`(x+2)^2 - 4 = 0` geeft `(x+2)^2=4` en `x=0 vv x=text(-)4` .

b

Eerst beide zijden delen door `2` geeft: `x^2-3x+2=0` .
Kwadraat afsplitsen: `(x-1,5)^2-0,25=0` en `x-1,5=+-sqrt(0,25)=+-0,5` .
Dus `x=1 vv x=2` .

Opgave 14
a

Iedere speler speelt tegen `n-1` tegenspelers, want je speelt niet tegen jezelf.

Maar als je dit met het totaal aantal spelers `n` vermenigvuldigt, dan tel je elke wedstrijd dubbel. A speelt immers tegen B, maar B dan ook tegen A en dat is dezelfde wedstrijd!

Dus moet je ook door `2` delen, de helft nemen.

b

`w = 1/2n(n-1 ) = 1/2(n^2-n)` .

`w = 1/2( (n-1/2 )^2 - 1/4 ) = 1/2 (n-1/2 ) ^2-1/8`

c

`1/2 (n-1/2 ) ^2-1/8 = 300` geeft `(n-1/2 )^2 = 600 1/4` en dus `n=text(-)24 vv n=25` .

Er kunnen maximaal `25` deelnemers zijn.

Opgave 15
a

`x = 0` geeft `h = 1,80` . Dus op `1,80` m hoogte.

b

Kwadraat afsplitsen geeft `y = text(-)0,026(x - 10)^2 + 4,4` , dus de top is `(10; 4,4)` .

c

`text(-)0,026(x-10)^2+4,4 = 0` geeft `(x-10)^2 = (text(-)4,4)/(text(-)0,026) ~~ 169,23` .
Dus `x-10 ~~ +-sqrt(169,23) ~~ +- 13,01` en `x ~~ 10 +- 13,0` .

Ze haalt ongeveer `23` m.

Opgave 16Portieken
Portieken
a

Kwadraat afsplitsen levert `h_1 = text(-)5(x - 1,1)^2 + 3,2` en `h_2 = text(-)5(x - 1,1)^2 + 3,2` . De kozijnhoogtes zijn dus `3,2` m.

b

Je moet dan oplossen `h_1 = 0` . Dat gaat als je kwadraat afsplitsen hebt toegepast. Je kunt ook eerst de grafieken maken en daaruit aflezen.
De breedte van de portiekopening op de grond is `1,60` m.

c

Maak eerst geschikte tabellen en teken de grafieken. De werkelijke portieken zijn ronder van vorm.

Opgave 17Groeten uit Slagharen
Groeten uit Slagharen
a

Vul `a=0` in de formule in: `H=text(-)0,1*0^2+2a*0+sqrt(221)~~14,9` m.

b

Eerst kwadraat afsplitsen, daarna de top aflezen: `H = text(-)0,1(a-10)^2+sqrt(221)+10` .

Het hoogste punt is `sqrt(221)+10~~24,87` m.

c

Je moet dan oplossen `H = 0` . Dat gaat als je kwadraat afsplitsen hebt toegepast.

`text(-)0,1(a-10)^2+sqrt(221)+10=0` .

Je kunt ook eerst de grafiek maken en daaruit aflezen.

In beide gevallen vind je: `a~~25,8` en `a~~text(-)5,8` .

(naar: examen wiskunde vmbo-tl in 2011, tweede tijdvak)

Opgave 18
a

Kwadraat afsplitsen geeft `y = (x+2)^2-12` .
Dit is een dalparabool met top `(text(-)2, text(-)12)` .

b

`x~~text(-)5,5 vv x~~1,5` .

Opgave 19
a

`y = 3(x - 3)^2 -3` ; top `(3, text(-)3)` .

b

`y = text(-)0,1(x - 40)^2 + 158` ; top `(40, 158)` .

verder | terug