Dat weet je niet zeker, hoewel de grafiek van `w = n^2 - n` als je alle waarden van `n` zou toelaten er echt als een parabool uitziet.
Werk de haakjes weg.
`w = (n - 0,5)^2 - 0,25 = (n-0,5)(n-0,5)-0,25`
geeft
`w=n^2-0,5n-0,5n+0,25-0,25 = n^2-n`
.
Omdat de grafiek bij deze tweede formule ontstaat door de grafiek van `y = x^2` `0,5` naar rechts te verschuiven en vervolgens `0,25` naar beneden te verschuiven. Het is dus een parabool met top `(0,5; 0,25)` .
`x` | `text(-)8` | `text(-)7` | `text(-)6` | `text(-)5` | `text(-)4` | `text(-)3` | `text(-)2` | `text(-)1` | `0` | `1` | `2` |
`y` | `16` | `7` | `0` | `text(-)5` | `text(-)8` | `text(-)9` | `text(-)8` | `text(-)5` | `0` | `7` | `16` |
De figuur wordt een dalparabool met top `(text(-)3 ,text(-)9 )` .
`(x+3) ^2-9 = x^2+6 x+9 -9 = x^2+6 x`
Je ziet dan meteen dat het om een dalparabool gaat met top `(text(-)3 ,text(-)9 )` . En dan kun je veel gemakkelijker een geschikte tabel maken en de grafiek tekenen.
`x^2+8 x= (x+4) ^2-16`
`x^2+16 x=(x+8) ^2-64`
`x^2+16 x+10 = (x+8) ^2-64 +10 = (x+8) ^2-54`
`y=x^2 - 6 x = x^2 + text(-)6 x = (x + text(-)3)^2 - (text(-)3)^2 = (x - 3)^2 - 9`
`(x + k)^2 - k^2 = x^2 + 2kx + k^2 - k^2 = x^2 + 2kx`
Dit kun je doen door de haakjes weg te werken.
`(x + 1/2 p)^2 - 1/4 p^2` | `=` | `` | |
`x^2+1/2px+1/2px+1/4p^2-1/4p^2` | `=` | `` | |
`x^2+px` | `` | `` |
Maar je kunt ook een kwadraat afsplitsen.
`x^2+px` | `=` | `` | |
`(x+1/2p)^2-(1/2p)^2` | `=` | `` | |
`(x+1/2p)^2-1/4p^2` | `` | `` |
`3(x^2 + 2x) = 3*x^2 + 3*2x = 3x^2 + 6x`
`y=3(x^2+2x)=3((x+1)^2 - 1) = 3(x+1)^2 - 3`
Top `(text(-)1, text(-)3)` .
`y=3x^2+6x+1=3*(x^2+2x)+1=3*((x+1)^2-1)+1=3(x+1)^2-3+1=3(x+1)^2-2`
Dalparabool met top `T(text(-)1, text(-)2)` .
`y=3x^2-6x=3*(x^2-2x)=3*((x-1)^2-1)=3(x-1)^2-3`
Dalparabool met top `T(1, text(-)3)` .
`y=text(-)0,5x^2-6x+2=text(-)0,5(x^2 + 12x) + 2=text(-)0,5((x+6)^2-36)+2=text(-)0,5(x+6)^2+20`
Bergparabool met top `T(text(-)6, 20)` .
Om ervoor te zorgen dat de gegeven formule er uit gaat zien als een functie waarvan de grafiek ontstaat uit die van `y = x^2` . Aan deze vorm kun je gemakkelijker aflezen of het een dal- of bergparabool betreft en wat de coördinaten van de top zijn.
Het gaat om een dalparabool, omdat het getal voor de haakjes (een `1` ) positief is. De top kun je uit de formule aflezen. De algemene vorm van een kwadratische formule is: `y=a*(x-p)^2+q` . De top is dan `(p, q)` .
Dan kun je een geschikte tabel maken om de grafiek te tekenen. Bij de top zit de symmetrieas, links daarvan heb je dezelfde uitkomsten als rechts.
Omdat het een dalparabool is waarvan de top onder de `x` -as ligt.
`(x-3)^2 - 1 = 0` geeft `(x-3)^2 = 1` en `x-3 = +-1` , zodat `x=2 vv x=4` .
`y = x^2+2 x =(x+1) ^2-1`
`y=x^2-4 x =(x-2) ^2-4`
`y = x^2-10 x+20 = (x-5 )^2-25+20 = (x-5 )^2-5`
`y=x^2-8 x+12 = (x-4 ) ^2-16 +12 = (x-4 ) ^2-4`
Kwadraat afsplitsen: `y=x^2 + 5x - 6 =(x + 2,5)^2 - 12,25` .
Dit is een dalparabool met top `(text(-)2,5; text(-)12,25)` .
Maak eerst een tabel met de top in het midden. Teken de grafiek bij deze tabel.
`x` | `text(-)6` | `text(-) 5` | `text(-) 4` | `text(-) 3` | `text(-) 2,5` | `text(-) 2` | `text(-) 1` | `0` | `1` |
`y` | `0` | `text(-) 6` | `text(-) 10` | `text(-) 12` | `text(-) 12,25` | `text(-) 12` | `text(-) 10` | `text(-) 6` | `0` |
`(x + 2,5)^2 - 12,25 = 0` geeft `(x + 2,5)^2 = 12,25` en `x+2,5 = +- 3,5` , zodat `x=1 vv x=text(-)6` .
Ja, aan het getal voor de `x^2` . Dit wordt uiteindelijk de `a` in `y = a(x - p)^2 + q` . En omdat hier `a < 0` is dit een bergparabool.
Het kan ook zo:
`y ` | `=` | ` text(-)2x^2 - 16x + 2` | |
`y` | `=` | `text(-)2(x^2 + 8x - 1)` | |
`y` | `=` | `text(-)2((x + 4)^2 - 16 - 1)` | |
`y` | `=` | `text(-)2(x + 4)^2 + 34` |
De top is `(text(-)4, 34)` .
`text(-)2(x + 4)^2 + 34 = 0` geeft `(x+4)^2 = 17` en dus `x + 4 = +-sqrt(17)` , zodat `x = text(-)4+sqrt(17) vv x = text(-)4 - sqrt(17)` .
`y = 2(x - 2)^2 -2` met top `(2, text(-)2)` .
`y = 3(x - 2,5)^2 - 18,75` met top `(2,5; text(-)18,75)` .
`y = 0,1(x - 20)^2 - 39` met top `(20, text(-)39)` .
Kwadraat afsplitsen: `y = (x - 5)^2 - 20` . Zo heeft de formule de vorm van een kwadratisch verband. De top van de bijbehorende parabool is `(5, text(-)20)` .
`(x + 6)^2 - 36`
`(x + 6,5)^2 - 42,25`
`(x - 6)^2 + 10`
`(x + 2,5)^2 - 6,25`
`2(x - 3,5)^2 - 48,5`
Kwadraat afsplitsen geeft `y = 0,1(x - 50)^2 - 245` . Zo heeft de formule de vorm van een kwadratisch verband. De top van de bijbehorende parabool is `(50, text(-)245)` .
`(x+2)^2 - 4 = 0` geeft `(x+2)^2=4` en `x=0 vv x=text(-)4` .
Eerst beide zijden delen door
`2`
geeft:
`x^2-3x+2=0`
.
Kwadraat afsplitsen:
`(x-1,5)^2-0,25=0`
en
`x-1,5=+-sqrt(0,25)=+-0,5`
.
Dus
`x=1 vv x=2`
.
Iedere speler speelt tegen `n-1` tegenspelers, want je speelt niet tegen jezelf.
Maar als je dit met het totaal aantal spelers `n` vermenigvuldigt, dan tel je elke wedstrijd dubbel. A speelt immers tegen B, maar B dan ook tegen A en dat is dezelfde wedstrijd!
Dus moet je ook door `2` delen, de helft nemen.
`w = 1/2n(n-1 ) = 1/2(n^2-n)` .
`w = 1/2( (n-1/2 )^2 - 1/4 ) = 1/2 (n-1/2 ) ^2-1/8`
`1/2 (n-1/2 ) ^2-1/8 = 300` geeft `(n-1/2 )^2 = 600 1/4` en dus `n=text(-)24 vv n=25` .
Er kunnen maximaal `25` deelnemers zijn.
`x = 0` geeft `h = 1,80` . Dus op `1,80` m hoogte.
Kwadraat afsplitsen geeft `y = text(-)0,026(x - 10)^2 + 4,4` , dus de top is `(10; 4,4)` .
`text(-)0,026(x-10)^2+4,4 = 0`
geeft
`(x-10)^2 = (text(-)4,4)/(text(-)0,026) ~~ 169,23`
.
Dus
`x-10 ~~ +-sqrt(169,23) ~~ +- 13,01`
en
`x ~~ 10 +- 13,0`
.
Ze haalt ongeveer `23` m.
Kwadraat afsplitsen levert `h_1 = text(-)5(x - 1,1)^2 + 3,2` en `h_2 = text(-)5(x - 1,1)^2 + 3,2` . De kozijnhoogtes zijn dus `3,2` m.
Je moet dan oplossen
`h_1 = 0`
. Dat gaat als je kwadraat afsplitsen hebt toegepast. Je kunt ook eerst de grafieken
maken en daaruit aflezen.
De breedte van de portiekopening op de grond is
`1,60`
m.
Maak eerst geschikte tabellen en teken de grafieken. De werkelijke portieken zijn ronder van vorm.
Vul `a=0` in de formule in: `H=text(-)0,1*0^2+2a*0+sqrt(221)~~14,9` m.
Eerst kwadraat afsplitsen, daarna de top aflezen: `H = text(-)0,1(a-10)^2+sqrt(221)+10` .
Het hoogste punt is `sqrt(221)+10~~24,87` m.
Je moet dan oplossen `H = 0` . Dat gaat als je kwadraat afsplitsen hebt toegepast.
`text(-)0,1(a-10)^2+sqrt(221)+10=0` .
Je kunt ook eerst de grafiek maken en daaruit aflezen.
In beide gevallen vind je: `a~~25,8` en `a~~text(-)5,8` .
(naar: examen wiskunde vmbo-tl in 2011, tweede tijdvak)
Kwadraat afsplitsen geeft
`y = (x+2)^2-12`
.
Dit is een dalparabool met top
`(text(-)2, text(-)12)`
.
`x~~text(-)5,5 vv x~~1,5` .
`y = 3(x - 3)^2 -3` ; top `(3, text(-)3)` .
`y = text(-)0,1(x - 40)^2 + 158` ; top `(40, 158)` .