Kwadratisch en exponentieel > Exponentiële verbanden
123456Exponentiële verbanden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

128 lagen papier.

b

1024 lagen papier.

c

Nee, want er komen niet bij elke keer halveren en stapelen evenveel lagen bij.

d

Het aantal lagen verdubbelt bij elke keer snijden, dus je moet de eerst laag (van 1) steeds weer met 2 vermenigvuldigen. Dat levert deze formule op: L = 1 2 n .

e

Slechts 13 keer snijden en stapelen in totaal.

Opgave V2
a

In beide gevallen € 2000.

b

Scenario A: € 2400.
Scenario B: 2000 + 0,25 2000 = 2500 euro.

c

In scenario A wel, want dan komt er jaarlijks hetzelfde bedrag van € 400 bij. In scenario B niet, want dan komt er een steeds hoger bedrag bij elk jaar.

d

1,25

Opgave 1
a

B = 6 2 10 = 6144 mln.

b

Omdat het aantal elk uur verdubbelt, komt er elk uur evenveel bij als je al had. Dus 100 %.

c

Ongeveer 3 mln, want het aantal bij t = 0 is er het dubbele van het uur daarvoor.

d

Ongeveer B = 6 2 2,5 33,9 mln.

Opgave 2
a

Op 1-1-2011: € 10.200.
Op 1-1-2012: € 10,404.

b

Omdat in 2012 de 2 % extra niet moet worden gerekend over € 10.000, maar over € 10.200. Je spreekt van "rente op rente" .

c

€ 10.612,08

d

Met 102 / 100 = 1,02 .

e

Uit dat van 1 januari 2013 door met 1,02 te vermenigvuldigen.
Uit dat van 1 januari 2010 door vier keer met 1,02 te vermenigvuldigen.

f

S = 10000 1,02 t

g

S = 10000 1,02 9 11950,93 euro (in centen nauwkeurig).

h

Dat hangt er van af hoe de bank de rente bijschrijft, maandelijks of jaarlijks. Als dat jaarlijks is, dan is dit spaarbedrag nog hetzelfde als dat op 1 januari 2019. Anders zou het gelijk moeten zijn aan S = 10000 1,02 9,5 12069,84 euro.

Opgave 3
a

4% per jaar erbij betekent dat elk jaar 100% groeit naar 104%. Dus wordt het kapitaal jaarlijks met 104 / 100 = 1,04 vermenigvuldigd.

b

K = 1000 1,04 10 1480,24 euro.

c

Maak je tabel verder af. Je vindt dat dit op t = 18 het geval is.

Opgave 4
a

1,05

b

6090 1,05 2 6714 Megaton.

c

C = 6090 1,05 t

d

C = 6090 1,05 4 7402 Megaton.

e

C = 6090 1,05 2,7 6947 Megaton.

Opgave 5
a

Exponentiële groei met groeifactor 1,004 per jaar.

b

Lineaire groei met hellingsgetal 25 mijl/uur.

c

Lineaire groei met hellingsgetal 3 cm/uur.

d

Exponentiële groei met groeifactor 2 per jaar.

e

Exponentiële groei met groeifactor 1,05 per jaar.

Opgave 6
a

Je deelt de opeenvolgende jaarlijkse aantallen op elkaar. En je kijkt of daar steeds ongeveer hetzelfde getal uit komt. Dit getal is dan de jaarlijkse groeifactor.

b

Met 10% ongeveer.

c

V = 3045 1,10 t

d

Ongeveer V = 3045 1,10 9 7180 .

Opgave 7
a

Als je de opeenvolgende bevolkingsaantallen op elkaar deelt, vind je steeds ongeveer 1,01. Inderdaad is er dus van exponentiële groei sprake.

b

Met 1% ongeveer.

c

1.01 10 1.1046 en dus is het groeipercentage per 10 jaar ongeveer 10,5%.

d

N = 254,11 1,10 t mln, of ook N = 254,11 10 6 1,10 t .

e

Eigen antwoord. Goed om te controleren of dit ook echt zo is.

f

Je kunt wel berekenen wat er uit je formule komt. Op bijvoorbeeld 1 juli 2012 zou je t = 22,5 kunnen nemen. Je krijgt dan N 317,87 mln. Maar het is erg onwaarschijnlijk dat dit ook het werkelijke aantal inwoners is omdat in de loop van het jaar de groei natuurlijk niet keurig exponentieel verloopt, maar veel meer schoksgewijs. Verder is de groeifactor niet erg nauwkeurig en slechts gebaseerd op een hele korte periode die alweer enige tijd geleden is. Eigenlijk is het antwoord op de vraag dat dit niet kan, tenminste niet met enige betrouwbaarheid.

Opgave 8
a

Elke dag 20 % minder betekent dat van 100 % na een dag nog 80 % over is. De groeifactor is daarom 80 / 100 = 0,80 .
Het woord groei moet niet letterlijk worden opgevat, de concentratie neemt juist af. Er is daarom sprake van verval in plaats van groei.

b

C = 40 0,80 30 0,050 mg/L.

c

0,80 30 0,001 . Dus van 100 % is nog ongeveer 0,1 % over. Dus ongeveer 99,9 % is verdwenen.

Opgave 9
a

0,98

b

0,98 50 0,36 .
Er is dus na 50 jaar nog maar 36 % van het tropisch regenwoud over. Er is dan maar liefst 64 % verdwenen!

Opgave 10
a

0,95

b

K = 260 0,95 t

c

Volgens de formule:

jaartal 1970 1980 1990 2000
volwassen kabeljauwen (kiloton) 260 156 93 55

Dat klopt dus niet perfect, maar toch wel enigszins redelijk.

d

In 1981. (Maak je tabel nauwkeuriger vanaf 1980.)

e

K = 260 0,95 40 33 kiloton. (Er zijn waarschijnlijk maatregelen genomen tegen de overbevissing en is de stand van de kabeljauw iets verbeterd.)

Opgave 11
a

Het aantal personen dat zo’n brief krijgt wordt telkens 5 keer zo groot als iedereen blijft meedoen. Er is dus sprake van een vaste groeifactor.

b

5

c

25

d

In de vierde ronde.

e

5 + 25 + 125 + 625 = 780 .

f

Het aantal deelnemers gaat op zeker moment het aantal mensen overstijgen. In de tiende ronde moeten er al 9765625 mensen een brief ontvangen.

Opgave 12
a

Omdat er jaarlijks 2,60% bij komt, wordt je geld elk jaar 1,026 keer zoveel.

b

S = 1200 1,026 t

c

S = 1200 1,026 5 1364,33 euro.

d

Op 1 juni 2015: S = 1200 1,026 5 5 12 1379,00 .
Op 12 juni 2015 hetzelfde als op 1 juni 2015.

e

In 2037. (Maak een tabel.)

Opgave 13
a

De groeifactor per jaar is ongeveer 1,065. Controleer dit door de opeenvolgende aantallen konijnen op elkaar te delen.

b

K = 12400 1,065 t

c

K = 12400 1,065 10 23300 . (Rond ook zelf af op honderdtallen.)

d

Maak een tabel met negatieve getallen voor t. Je vindt dan bij t = -130 het aantal van 2 konijnen (hoewel dit vanwege de wijze van afronden twijfelachtig is). Dus ongeveer 130 jaar geleden.

Opgave 14
a

0,99.

b

F = 100 0,99 t

c

F = 100 0,99 80 44,8 gram.

d

Als deze groei echt zo doorgaat eigenlijk niet, er blijft altijd wel een heel klein deel over. Maar in de praktijk is de stof op zeker moment wel weg want dan is er minder dat één atoom over.

Opgave 15
a

Ongeveer 0,80. (Maak een tabel vanuit de grafiek en deel de opeenvolgende waarden op elkaar.)

b

C = 5 0,80 t

c

C = 5 0,80 7 1,0 %.

Opgave 16
a

Geen exponentiële groei, maar lineaire toename, steeds 3 er bij.

b

Exponentiële groei kan, met groeifactor 1 1 3 .

c

Exponentiële groei kan, met groeifactor 5.

d

Geen exponentiële groei.

e

Exponentiële groei kan, met groeifactor -4.

Opgave 16
a

1,15

b

Als de groei 5% zou zijn, dat moet over drie jaar gezien de hoeveelheid personenauto's worden vermenigvuldigd met 1,05 3 = 1,157625 en dat is meer dan 15% per jaar. De groei per jaar moet dus kleiner zijn dan 5%.

c

Je vindt door proberen (inklemmen) ongeveer 4,8%.

Opgave 17

Ongeveer 5,6% per jaar.

Opgave 18De groei van de wereldbevolking (1)
De groei van de wereldbevolking (1)
a

Deel de opvolgende bevolkingsaantallen op elkaar. Je vindt dat er vrijwel constante groeifactor van ongeveer 1,102.

b

Ongeveer 1000 1,102 10 2641 mln mensen.

c

Nee, nog veel harder. In 2000 waren er al meer dan 6 mld (miljard) mensen op Aarde.

Opgave 19De groei van de wereldbevolking (2)
De groei van de wereldbevolking (2)
a

1937 / 906 2,138 , dus het groeipercentage is ongeveer 113,8.

b

1,107 45 2,135 , dus dat klopt ongeveer.

c

653 / 728 0,897 , dus het vervalpercentage is ongeveer 10,3.

d

0,998 45 0,914 , dus dat klopt ongeveer.

e

Tot 2000 wordt de groei steeds sterker, er komen per jaar steeds meer mensen bij. Dat duidt op exponentiële groei. Na 2000 komen er jaarlijks juist steeds minder mensen bij. De groei lijkt af te vlakken.

verder | terug