Exponentiële verbanden > Exponentieel verval
123456Exponentieel verval

Uitleg

In het stadje `H` werd jaren geleden het aantal ratten geschat op `7000` . Door bestrijding moest de hoeveelheid ratten `R` iedere maand met `10` % afnemen.

Dit betekende dat er aan het eind van elke maand nog `100-10=90` % van de ratten over zou blijven.
De "groeifactor" per maand is dan `0,90` .
De bijbehorende formule voor het aantal ratten is:
`R = 7000 * 0,9 ^t` met `t` de tijd in maanden.
Hiernaast zie je de bijbehorende grafiek. Je ziet het aantal ratten behoorlijk snel afnemen.

Als er sprake is van afname met een vast percentage spreek je van exponentieel verval. De groeifactor is bij exponentieel verval een getal tussen `0` en `1` zoals je ziet.

Opgave 1

Het aantal dieren `A` van een bedreigde soort bestond in 2013 nog uit `25000` exemplaren. De populatie nam met `8` % per jaar af.

a

Is er sprake van exponentieel verval? Licht je antwoord toe.

b

Hoeveel bedraagt de groeifactor `g` per jaar?

c

Geef de formule voor het verloop van de populatie `A` afhankelijk van de tijd `t` .

d

Vul de tabel in ( `t=0` in 2013) en teken een bijpassende grafiek.

tijd `t` (jaar) `0` `4` `8` `12` `16` `20`
aantal dieren `A` `25000`
e

Lees uit de grafiek af in welk jaar de populatie gehalveerd is.

f

Wordt het aantal dieren ooit `0` als het verval zo doorgaat?

Opgave 2

In de Duitse stad Hameln groeide ooit (in 1284) het aantal ratten exponentieel.

jaartal 1282 1283 1284
aantal ratten ( `xx 100` ) `400` `480` `576`

Het gemeentebestuur wilde vanaf 1284 door inzet van een rattenvanger een even grote afname in procenten bewerkstelligen als de toename in de jaren daarvoor.

a

Gebruik de aantallen voor 1282 en 1283 en bereken de groeifactor van de toename in een decimaal nauwkeurig.

b

Hoe groot wordt de groeifactor bij een even grote procentuele afname vanaf 1284?

c

Stel een formule op voor het aantal ratten `R` , met het aantal jaar `t` als tijdseenheid. Stel 1 januari 1284 op `t = 0` .

d

Zijn er twee jaar na het begin van bestrijding weer evenveel ratten als twee jaar voor het begin?

verder | terug