Exponentiële verbanden > Vergelijkingen
123456Vergelijkingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`100*1,04^t = 200`

b

Aflezen uit de grafiek: `t~~18` .

c

Dan maak je eerst een inklemtabel in één decimaal nauwkeurig in de buurt van `t=18` , bijvoorbeeld van `t=17,5` tot `t=18,5` . En omdat je dan ziet dat de waarde `200` wordt bereikt tussen `17,6` en `17,7` maak je daartussen een inklemtabel in twee decimalen. Je vindt dat `t~~17,7` de beste oplossing is.

Opgave 1
a

`t ~~ 35`

b

Maak een inklemtabel zoals in de uitleg, maar met meer decimalen. Je vindt: `t~~35,3` .

Opgave 2
a

`K_1 = 1000*1,04^t`
`K_2 = 800*1,06^t`

b

`K_1 = 1000*1,04^10≈1480,24` euro.
`K_2 = 800*1,06^10≈1432,68` euro.

c

`1000*1,04^t = 800*1,06^t`

d
`t` `K_1` (€) `K_2` (€) `K_1-K_2` (€)
`t=9` `1423,31` `1351,58` `71,73`
`t=10` `1480,24` `1432,68` `47,56`
`t=11` `1539,45` `1518,64` `20,81`
`t=12` `1601,03` `1609,76` `text(-)8,73`
`t=13` `1665,07` `1706,34` `text(-)41,27`

Bij `t=12` is het verschil het kleinst. Na twaalf jaar is de opbrengst ongeveer gelijk.

Opgave 3
a

`0,45*1,014^t = 1`

b

Ongeveer in 1959.

c
`t` `L` `L-1,00`
1957: `t=57` `0,9940` `text(-)0,0060`
1958: `t=58` `1,0079` `0,0079`
1959: `t=59` `1,0220` `0,0220`
1960: `t=60` `1,0363` `0,0363`

Bij `t = 57` is het verschil het kleinst. De oplossing is `1900+57=1957` . In 1957 is de hoeveelheid gebruikte landbouwgrond gelijk aan `1` miljard hectare.

Opgave 4
a

Iedere `15` minuten verdubbelt het aantal bacteriën. Daarbij hoort groeifactor `2` .
De groeifactor per uur is: `2^4=16` .

b

`B = 100*16^t`
Hierin is `B` het aantal bacteriën en `t` de tijd in uren.

c

Na `2` uur zijn er `100*16^2 = 25600` bacteriën.

d

Maak een tabel met `t` in uur (h) en benader de `100` miljoen bacteriën zo dicht mogelijk.

`t` (h) `B` `B-100000000`
`t=3` `409600` `text(-)99590400`
`t=4` `6553600` `text(-)93446400`
`t=5` `104857600` `4857600`

Na `5` uur zijn er meer dan `100` miljoen bacteriën.

Opgave 5

De groeifactor per dag is `1,18` . Stel het aantal ziektegevallen op `t=0` op 100.

Bij het aantal ziektegevallen `Z` tijdens een griepepidemie hoort het exponentiële verband: `Z=100*1,18^t` .

`Z` moet gelijk zijn aan `200` , dus de vergelijking wordt: `100*1,18^t = 200` .

Maak een inklemtabel.

`t` (dag) `Z` `Z-200`
`t=3` `164,30` `text(-)35,7`
`t=4` `193,88` `text(-)6,12`
`t=5` `228,78` `28,78`

Bij `t = 4` is het verschil het kleinst. Na ongeveer vier dagen is het aantal zieken verdubbeld.

Opgave 6
a

Maak een grafiek voor `t=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8` van `y_1 = 137*1,27^7` en `y_2=289+55t` .
Bij `t=6,4` zit je in de buurt van het snijpunt, dus bij de oplossing.

b

Maak een inklemtabel.

Je vindt: `t ~~ 6,5` .

Opgave 7

Teken eerst de grafieken van `y_1 = 4*1,2^t` en `y_2 = 12` om te bepalen waar ongeveer hun snijpunt zit.

Maak vervolgens een inklemtabel.

`t` `y_1=4*1,2^t` `y_2 = 12` `y_1 – y_2`
`t=5,9` `11,73` `12` `text(-)0,27`
`t=6,0` `11,94` `12` `text(-)0,06`
`t=6,1` `12,16` `12` `0,16`

Bij `t=6,0` is het verschil het kleinst, dus de oplossing is `t~~6,0` .

Opgave 8
`t` `137*(1,27)^t` `289 + 55*t` verschil
`t=5` `452,63` `564` `text(-)111,37`
`t=6` `574,83` `619` `text(-)44,17`
`t=7` `730,04` `674` `56,04`
`t=8` `927,15` `729` `198,15`

Bij `t=6` is het verschil het kleinst: `t=6` .

Opgave 9
a

Zoek in de grafiek welke `t` -waarde er hoort bij `D=2225` . Dat is ongeveer `t=6` .

b

Bij `t=12` zijn er voor het eerst minder dan `1112` dieren. Dus na `12` jaar.

c

De oplossing van de vergelijking is eigenlijk het antwoord op de vraag: "Na hoeveel tijd zijn er nog `1235` dieren over?"

d

Maak een inklemtabel.

Dat is na ongeveer `11,0` jaar, dus in januari van het elfde jaar.

e

Nee, het aantal dieren zal niet steeds gelijkmatig exponentieel doorgroeien. De aantallen per jaar zijn vermoedelijk gemiddelde aantallen per jaar. Eigenlijk is een doorgetrokken grafiek hier niet zo zinvol.

Opgave 10

De groeifactor per jaar is `0,88` . Stel het begingetal op `100` %.
Bij de vraag hoort de vergelijking: `100*0,88^t = 10` .

Die vergelijking los je op met een (inklem)tabel.

Bij `t=18` is het verschil het kleinst, dus na ongeveer `18` jaar is er nog `10` % van deze diersoort over.

Opgave 11
a

`V = 2000 − 1500*1,004^t`

b
c

Stine zal rond `t=53` minder dan € 150 overhouden (zie de grafiek). Dat is in het vijfde jaar.

`t` `2000 − 1500*1,004^t` (€)
`t=52` `153,95`
`t=53` `146,56`

Vanaf `t=53` houdt Stine minder dan € 150,00 over. Dat is vanaf mei (vijfde maand) in het vijfde jaar.

Opgave 12Wel- en niet-geïndustrialiseerde landen
Wel- en niet-geïndustrialiseerde landen
a

De vergelijking hoort bij de vraag:
"Op welk tijdstip na 1972 wonen er in de steden in de niet-geïndustrialiseerde landen vier keer zo veel mensen als in de steden in de geïndustrialiseerde landen?"

b

`t~~55` , dus in 2027.

c

Tussen `t = 54` en `t = 55` , dus in de loop van 2026.

Opgave 13
a

`W = 500*0,93^t`

b

Na ongeveer `35` minuten is `50` gram van de werkzame stof `W` nog niet in het bloed opgenomen.

c

Na ongeveer `33` minuten.

verder | terug