Ruimtelijke figuren > Grensvlakken, ribbenToepassen
Al in de Oudheid was bekend dat er precies vijf regelmatige lichamen zijn. Dat zijn lichamen waarvan alle ribben en alle vlakken en alle hoeken gelijk
zijn. Hier zie je er fraaie animaties van, die zijn gemaakt door
Rüdiger Appel. Bekijk zijn website maar eens, je vind er deze figuren onder de naam
"Platonic Solids"
(dat is Engels voor
"Platonische lichamen"
).
Je ziet in de applet (van links naar rechts) het tetraëder (regelmatig viervlak),
de kubus (hexaëder, of regelmatig zesvlak), het octaëder (regelmatig achtvlak), het
dodecaëder (regelmatig twaalfvlak) en het icosaëder (regelmatig twintigvlak).
Als je hun hoekpunten, hun ribben en hun grensvlakken telt, kom je tot:
aantal grensvlakken + aantal hoekpunten = aantal ribben + 2
Is dat toeval? Of kun je het verklaren?
En waarom zijn er niet meer dan vijf?
Er zijn precies vijf regelmatige ruimtelijke figuren. Dat zijn figuren waarvan alle
grensvlakken dezelfde vorm hebben.
Een bijzondere eigenschap van deze lichamen en van veel veelvlakken (lichamen waarvan
de grensvlakken platte vlakken zijn) is de formule van Euler. Je vindt hem bij
Controleer die formule voor de vijf regelmatige lichamen.
Klopt die formule voor een zeszijdig prisma?
Laat met een voorbeeld zien dat de formule van Euler nooit kan gelden voor lichamen met gebogen grensvlakken.
Geldt de formule van Euler ook voor deze voetbal? De bal is toch rond?
Bekijk de figuur. Deze figuur heet een Keplerster. Dit lichaam bestaat uit twee regelmatige viervlakken (tetraëders) door elkaar heen.
Hoeveel hoekpunten, hoeveel ribben en hoeveel grensvlakken heeft dit lichaam?