Ruimtelijke figuren > Diagonaalvlakken
1234567Diagonaalvlakken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zeker langer dan `9,5` cm (de langste afmeting van het pakje). Maar het moet er ook schuin in passen... Hoe je zo'n lengte kunt bepalen, leer je in dit onderdeel.

Opgave 1
a
b

Is `ABFE` een diagonaalvlak van de balk? Licht je antwoord toe.

ja

nee

c

`ABGH` is inderdaad een diagonaalvlak: het ligt "binnen" de balk. Het heeft de vorm van een rechthoek.

d

`AG` en `BH` .

e

`BG` is een ribbe van het diagonaalvlak `ABGH` . Het ligt in zijvlak `BCGF` en niet in een diagonaalvlak.

Opgave 2
a

Ja, `ADLK` is een rechthoek.

b

`DBFTH` is volgens de afspraak in de Uitleg een diagonaalvlak. (Het blijft lastig om af te spreken wat een diagonaalvlak precies is.) `T` is het midden van `KL` .

c

Dit vlak verbindt niet twee ribben van het prisma.

Opgave 3
a
b

Ze liggen beide in het grondvlak en dat is een grensvlak van de piramide en dus geen diagonaalvlak.

c

Alle lijnstukken die hoekpunten met elkaar verbinden, zijn al ribben van de piramide of diagonalen van grondvlak/grensvlak `ABCD` .

d

Bestaan er piramides die lichaamsdiagonalen hebben?

ja

nee

e

Ja, de vlakken `ACT` en `BDT` . Er zijn er dus twee.

Opgave 4
a

Vanuit elke verticale ribbe, kun je er drie tekenen (de andere twee zijn grensvlakken). Er zijn zes verticale ribben en `6xx3 = 18` . Maar nu heb je alle diagonaalvlakken dubbel geteld, dus het zijn er negen, allemaal rechthoeken.

b

Zes, allemaal zeshoeken.

c

Elk verticale diagonaalvlak heeft er twee en dat zijn ook meteen alle lichaamsdiagonalen. Dus achttien stuks.

Opgave 5
a

In elke balk kun je vanuit elk hoekpunt een lichaamsdiagonaal trekken, dus in totaal `8 xx 1 = 8` . Maar dan tel je ze allemaal dubbel: `AG = GA` enzovoort. Er zijn dus `(8xx 1) /2=4`  lichaamsdiagonalen in elke balk.

b

Vanuit elk hoekpunt kun je drie lichaamsdiagonalen trekken, dat zijn er in totaal `12 xx 3 = 36` . Maaar dan tel je ze allemaal dubbel: `AJ = JA` enzovoort. Er zijn dus `(12 xx 3) /2 = 18` lichaamsdiagonalen in dit prisma.

c

Elke ribbe van een balk kun je met één andere ribbe verbinden tot een diagonaalvlak. Dat maakt twaalf diagonaalvlakken, maar dan tel je ze telkens allemaal dubbel vanuit beide ribben. Dus in totaal zes diagonaalvlakken.

d

Elke verticale ribbe van het prisma kun je met drie andere ribben verbinden tot een diagonaalvlak. Dat maakt `6 xx 3 = 18` diagonaalvlakken, maar dan tel je ze allemaal dubbel. Elke horizontale ribbe van het prisma kun je met één ribbe verbinden tot een diagonaalvlak. Dat maakt twaalf diagonaalvlakken, maar dan tel je ze allemaal dubbel. Dus in totaal `9 + 6 = 15` diagonaalvlakken.

Opgave 6
a

In `ACGE` , `ABGH` en `AFGD` .

b

In rechthoek `ABCD` is `AC ~~ 6,4` cm.
Teken nu rechthoek `ACGE` met `AC = 6,4` en `CG = 3` cm.

c

In rechthoek `ACGE` is `AG ~~ 7,1` cm.

Opgave 7

Elk zijvlak is een vierkant van `1` bij `1` cm.

Een zijvlaksdiagonaal is ongeveer `1,4` cm.

Teken een rechthoekig diagonaalvlak van `1,4` bij `1` cm.

Een lichaamsdiagonaal is ongeveer `1,7` cm.

Opgave 8

Het grondvlak is een rechthoek van `5,5` bij `4,0` cm. Meet de diagonaal ervan.

Teken dan een verticaal rechthoekig diagonaalvlak op ware grootte en meet daarin de lichaamsdiagonaal. De lichaamsdiagonaal is ongeveer `11,7` cm.

Opgave 9
a

Zie de figuur bij c. `AC ~~ 5,7` cm.

b

Zie de figuur bij c. `AT ~~ 6,6` cm.

c

Je tekent eerst vierkant `ABCD` en daar zet je op elke zijde een driehoek met een zijde van `4` cm en twee zijden van `6,6` cm. Gebruik je passer.

Opgave 10
a
b

Er zijn twee echt verschillende diagonaalvlakken.

c

Twee echt verschillende diagonaalvlakken zijn `ACGE` (met diagonaal `AG` ) en `ABGH` (ook met diagonaal `AG` ). Teken deze op ware grootte en meet de lichaamsdiagonaal. Hij is ongeveer `7,5` cm.

d

Aan elk van de zes grensvlakken ontstaan vier delen, dus totaal `4xx6=24` delen.

e

Er ontstaan drie soorten driezijdige piramides, met een top die recht boven het hoekpunt van hun bijbehorende grondvlak ligt.

De eerste twee soorten piramides liggen aan de voor-, zij- en achterkanten van de balk en zijn `4/2=2` cm hoog. Deze hebben een driehoekig grondvlak dat een kwart-punt is tussen de diagonalen van een rechthoek van `5` bij `4` cm. Dat is een driehoek van `4` cm breed en `2,5` cm hoog of een driehoek van `5` cm breed en `2` cm hoog.

De andere soort piramide ligt aan de boven- en onderkant van de balk, is `5/2=2,5`  cm hoog en heeft een driehoekig grondvlak dat een kwart-punt is van (de diagonalen van) een vierkant van `4` bij `4` cm. Dat is dus een driehoek van `4` cm breed en `2` cm hoog, waarvan `2` zijden loodrecht op elkaar staan. De top ligt precies boven het hoekpunt bij de loodrechte zijden in het grondvlak.

Opgave 11
a
b

Het zijn de driehoeken `ACT` en `BDT` waarvan twee zijden (ribben) gelijk zijn aan `6`  cm. De onderste zijde is telkens de diagonaal van het grondvlak. Deze is ongeveer `8,5` cm lang (in de tekening).

Opgave 12

Het grootste potlood dat in het bakje kan loopt van links voor in het bakje naar rechtsboven. Dit is dus de lichaamsdiagonaal. Om de lichaamsdiagonaal van dit bakje te bepalen, teken je eerst het grondvlak van dit bakje op ware grootte (figuur `ABCD` in de tekening). Daarin meet je de diagonaal `AC` op, die is ongeveer `10,2`  cm.

Deze lengte gebruik je om het diagonaalvlak op ware grootte te tekenen (figuur `ACGE` in de tekening). Daarin meet je de diagonaal op en die is ongeveer `10,6` cm.

Opgave 13
a

Diagonaalvlakken lopen altijd tussen (minstens) twee paar evenwijdige ribben.

Er zijn `((5-3)xx5)/2=5` diagonalen van het grondvlak (zie figuur), dus er zijn vijf verticale diagonaalvlakken (die lopen van een opstaande ribbe naar een andere opstaande ribbe). Deze vlakken zijn allemaal rechthoeken.

b

Meet in de tekening hoe lang de kortste diagonaal van het grondvlak is. Dit zijn de diagonalen vanuit het hoekpunt tegenover de schuine zijde naar een hoekpunt van de schuine zijde.

Je meet nu diagonaal `AC` op en vindt dat deze `5,4`  cm is.

Dus het kleinste rechthoekige diagonaalvlak is ongeveer `5,4` cm bij `5` cm.

c

Het is de diagonaal van het zojuist getekende kleinste rechthoekige diagonaalvlak. Alleen nog even opmeten. Dan vind je ongeveer `7,4` cm.

d

Vanwege de symmetrie hebben twee paar diagonalen van het grondvlak dezelfde lengte (ongeveer `5,4` en `5,8` cm). De langste diagonaal (tussen de twee hoekpunten van de langste, loodrechte zijden) is ongeveer `7,1` cm lang.

Deze diagonalen zijn telkens de breedte van het bijbehorende rechthoekige diagonaalvlak van `5` cm hoog, dus er zijn totaal ook maar drie echt verschillende lichaamsdiagonalen in de bijbehorende drie rechthoekige diagonaalvlakken.

Opgave 14
a

Met deze schaal is elke meter `1` cm.

b

De waslijn is een lichaamsdiagonaal van het prisma. Het ligt in het rechthoekige diagonaalvlak met als lengte de getekende diagonaal in het voorvlak, die is ongeveer `5,2` cm lang. Daarna teken je het diagonaalvlak op schaal (het is natuurlijk `8` cm breed, de lengte van de tent). Bij opmeten vind je dan dat de waslijn ongeveer `9,5` cm lang is. Dat is in werkelijkheid dus `9,5` m.

Opgave 15

Tetraëder: geen diagonaalvlakken en geen lichaamsdiagonalen.

Kubus: Elke ribbe kun je verbinden met één andere ribbe om een diagonaalvlak te krijgen, er zijn `12` ribben dus `12//2 = 6` diagonaalvlakken. Elk hoekpunt kun je met één ander hoekpunt verbinden door een lichaamsdiagonaal, er zijn `8` hoekpunten dus `8//2 = 4` lichaamsdiagonalen.

Octaëder: Elke ribbe kun je verbinden met één andere ribbe om een diagonaalvlak te krijgen, er zijn `12` ribben dus `12//2 = 6` diagonaalvlakken. Elk hoekpunt kun je met één ander hoekpunt verbinden door een lichaamsdiagonaal, er zijn `6` hoekpunten dus `6//2 = 3` lichaamsdiagonalen.

Dodecaëder: Elke ribbe kun je verbinden met één andere ribbe om een diagonaalvlak te krijgen, er zijn `30` ribben dus `30//2 = 15` diagonaalvlakken. Elk hoekpunt kun je met `10` andere hoekpunten verbinden door een lichaamsdiagonaal, er zijn `20` hoekpunten dus `200//2 = 100` lichaamsdiagonalen.

Icosaëder: Er zijn `20` grensvlakken, `20 xx 3 // 5 = 12` hoekpunten en `20 xx 3 // 2 = 30` ribben. De diagonaalvlakken zijn vijfhoeken. Vanuit elk hoekpunt kun je drie van die vijfhoeken maken en `12 xx 3 // 2 = 24` . Het aantal lichaamsdiagonalen is `12 xx 6 // 2 = 36` .

Opgave 16

Ongeveer `5,9` cm

Opgave 17
a

`DK ~~ 12,0` cm

b

Nee, want een diagonaalvlak verbindt (minstens) twee ribben met elkaar, en `GH` is geen ribbe.

verder | terug